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布里渊区与能带
布里渊区与能带
简约区的体积＝倒格子原胞体积＝ b
简约区中k的取值总数＝ (k) b＝N＝晶体原胞数
每一个布里渊区的体积都等于倒格子原胞体积 b，每一个布里渊区都可以填充2N个电子。
由周期性边界条件
V： 晶体体积
考虑电子自旋，简约区中共可填充2N个电子。
1. En(k)函数的三种图象
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
扩展布里渊区图象：
不同的能带在k空间中不同的布里渊区中给出。每一个布里渊区有中一个能带，第n个能带在第n个布里渊区中。
简约布里渊区图象：
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
所有能带都在简约区中给出。
电子能量：
k: 简约波矢；n：能带标记
周期布里渊区图象：
由于认为k与k+Gl等价，因此可以认为En(k)是以倒格矢Gl为周期的周期函数，即对于同一能带n，有
n=1
n=2
n=3
在每一个布里渊区中给出所有能带。
2. 能带重叠的条件
在一维情况下，布里渊区边界上能量的突变为：
E＝E＋－E－＝2 Un —— 禁带宽度（能隙）
在三维情况下，在布里渊区边界上沿不同的k方向
上，电子能量的不连续可能出现在不同的能量范围。
ECⅠ > EBⅡ 能带重叠
ECⅠ< EBⅡ 有能隙
零级近似：
微扰项：
由零级近似求出自由电子的能量本征值和归一化波函数
与一维情况类似，一级微扰能量为
一级修正的波函数和二级微扰能量分别为
其中
＝{
当 k’＝k＋Gn
当 k’ k＋Gn
在BZ边界面上或其附近[k2 (k+Gn)2]时，相应的散射
波成分的振幅变得很大，要用简并微扰来处理。
当k离布里渊区边界较远时，由周期场的影响而产生
的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微扰。
简并分裂后，零级近似的波函数由相互作用强的几个
态的线性组合组成。
简并分裂后的能量：
在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量
多重简并的情况。对于g重简并，即有g个态的相互作用
强，其零级近似的波函数就需由这g个相互作用强的态
的线性组合组成，由此解出简并分裂后的g个能量值。
k
k1
k2
k3
kx
ky
k
k3
k2
k1
k4
k5
k6
k7
在三维情况下，在布里渊区边界面上的一般位置，电
子的能量是二重简并的，即有两个态的相互作用强，
其零级近似的波函数就由这两个态的线性组合组成；
例：在简单立方晶格的简约区中的M点（即简约区棱边
的中点），
电子能量为四重简并，即可以找到四个倒格矢Gn，使得k’=k－Gn态与k态的能量相等。
0
kx
ky
kz
k
M
k1
k2
k3
这四个态的零级能量分别为
简并分裂后的零级近似波函数应由这四个简并态的线性组合组成：
代入Schr dinger方程中，利用自由电子的波动方程，与一维情况相似，可得Secular方程：
根据立方晶体的点群对称性，在U(Gn)中倒格矢Gn的各指数互换位置或改变符号，应具有相等的U(Gn)。
只要给出U(r)的具体形式，即可求出其相应的各Fourier系数，再由上式的Secular方程求出简并分裂后的各能量值。

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