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第二讲 平面向量基本定理及坐标表示
一．知识梳理
1、平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使＝
其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2、平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
设＝，＝，则
＋＝，－＝，
，.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设，，则＝，
||＝
3、平面向量共线的坐标表示
设＝，＝，其中≠0.
∥ .
典型例题
例1．（1）设，是不共线的非零向量，且，．
①证明：，可以作为一组基底；
②以，为基底，求向量的分解式；
③若，求，的值．
（2）如图，平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点．若，．
①试以，为基底表示，；
②求证：，，三点共线．
例2.（1）在直角坐标系中，向量、、的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标．
（2）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　　．
（3）已知表示向量的有向线段始点的坐标，求它的终点的坐标．
（1），；
（2），；
（3），．
例3.（1）向量，，则　　
A．5 B．3 C．4 D．
（2）向量，，，，则与的值为　　
A．，1 B．1，2 C．2， D．，2
（3）已知向量，且，则实数　　
A．1 B． C． D．
（4）设向量，满足，，则　　
A．2 B． C． D．
变式1.（1）己知，，且，则　　
A．1 B．3 C． D．5
（2），，，，，则　　
A． B． C．3 D．5
（3）．已知向量，若为钝角，则的范围是　　
A． B．
C．，， D．，，
例4.（1）已知向量，，且，那么实数的值是　　
A． B． C． D．
变式2．已知向量，，，若为实数，，则　　
A．2 B． C．4 D．
例5.（1）已知，且点在线段的延长线上，，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
（2）．已知点，且点分有向线段所成的比是，则点坐标是　　
A． B． C． D．
（3）如图所示，在中，，，设，，若，则实数的值为　　
A． B． C． D．
例6.已知函数，求的最大值．
变式3.求函数的最大值．
例7.（1）已知菱形中，，，，，若，则　　
A． B． C． D．
（2）如图，已知为矩形内的一点，且，，，则　　．
变式4.（1）如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　．
（2）已知，，，四点共面，，，，则的最大值为　　．
（3）如图，平面内点在两条平行直线，之间，且到，的距离分别为1，2，点，分别在直线，上，且，则的最大值为　　．
三．课堂练习
1．设，，且，则　　
A．3 B．12 C． D．
2．如图，点，，，均在正方形网格的格点上．若，则　　
A．1 B． C． D．2
3．在四边形中，，，，其中，不共线，则四边形是　　
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．无法确定
4．（多选）如图，在四边形中，，，，为边上一点，且，为的中点，则　　
A． B．
C． D．
5．（多选）已知向量，，若向量，则可使成立的可能是　　
A． B． C． D．
6．与向量平行的单位向量为　　．
7．如图，中，为边上的中线，．若，且，则的值为　　．
8．在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍，若存在正实数，使得成立，则的最小值为　　．
9．在的边，上分别取点，，使，，设线段与交于点，记，，用，表示向量．
10．在中，，是的中点．
（1）若点是线段上任意一点，且，求的最小值；
（2）若点是内一点，且，，求的最小值．
四．举一反三
一．选择题
1．若，是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是　　
A．和 B．和
C．和 D．和
2．已知向量，不共线，且，，，则共线的三点是　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．已知的外心是边的中点，，，则的值为　　
A．5 B． C． D．
4．（多选）已知是平行四边形对角线的交点，则　　
A． B． C． D．
5．（多选）如图，，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则　　
A．
B．
C．，
D．满足的实数与的和为定值4
二．填空题
6．在平面直角坐标系中，已知三个点，，，点满足，则的最大值为　　．
7．如图，在等腰中，，，与，分别是，的三等分点，且，则　　．
8．在中，若，，，则的值是　　．
9．设向量，，若，则实数的值为　　．
10．设点是面积为6的内部一点，且有，则的面积为　　．
三．解答题
11．平面内给定三个向量，，，回答下列三个问题：
（1）试写出将用，表示的表达式；
（2）若，求实数的值；
（3）若向量满足，且，求．
12．在中，，与相交于点，设，
（1）用，表示；
（2）过点作直线分别与线段，交于点，，设，求证：．
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