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第九讲 空间几何体
一．知识梳理
1.多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
2.旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
3.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
二.典型例题
例1.（1）下列关于棱柱的说法中，正确的是　　
A．棱柱的所有面都是四边形
B．一个棱柱中只有两个面互相平行
C．一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面
D．棱柱的侧棱长不都相等
（2）下列说法错误的是　　
A．长方体有6个面
B．三棱锥有4个顶点
C．三棱台有9条棱
D．三棱柱的侧面是全等的平行四边形
变式1.下列说法正确的是　　
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
例2.下列命题中正确的是　　
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．棱台的底面是两个相似的正方形
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
变式2.以下空间几何体是旋转体的是　　
A．圆锥 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥
例3.（1）在正方体中，，分别在和上（异于端点），则过三点，，的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是　　
A．正方形 B．不是正方形的菱形
C．不是正方形的矩形 D．梯形
（2）（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是　　
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体
（3）（多选）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是　　
A．当时，为四边形
B．当时，为等腰梯形
C．当时，与的交点满足
D．当时，为六边形
变式3.如图，在长方体中，，，分别为与中点．
（1）经过，作平面，平面与长方体六个表面所截的截面可能是边形，请根据的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
（2）若为直线上的一点，且，求过截面图形的周长；
例4.（1）已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，，，那么原的面积是　　
A． B． C．1 D．2
（2）如果一个正方形的边长为4，那么用斜二测画法画出其直观图的面积是　　
A． B． C．8 D．16
变式4.（1）下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有　　
①三角形的直观图是三角形． ②平行四边形的直观图是平行四边形．
③菱形的直观图是菱形．④正方形的直观图是正方形．
A．① B．①② C．③④ D．①②③④
（2）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则平面图形的面积为　　
A． B． C． D．
例5.如图，菱形的一边长为2，，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积．
变式5.（1）用斜二测画法西出下列平面图形水平放置的直观图．
例6.（1）圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角　　．
（2）一个圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为　　
A． B． C． D．
（3）．一圆台的母线长为，母线与轴的夹角为，上底面半径为，则下底面半径为　　，圆台的高为　　．
例7.（1）已知球的半径，，是球面上两点，若线段的长为，则、两点间的球面距离为　　．
（2）已知球的半径为1，，是该球面上的两点，且线段，点是该球面上的一个动点（不与，重合），则的最小值与最大值分别是　　
A． B． C． D．
（4）半径为13的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为、，则两个平行平面间的距离为　　．
变式6.设地球的半径为，在纬度为的纬线圈上有，两地，若这两地的纬线圈上的弧长为，则，两地之间的球面距离为　　
A． B． C． D．
三．课堂练习
1．一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是　　
A．三棱柱 B．四棱锥 C．四棱柱 D．五棱台
2．如图所示，下列四个几何体：
其中不是棱柱的序号是　　
A．① B．② C．③ D．④
3．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬圈上有甲、乙两地，甲地位于东经，乙位于西经，则甲乙两地在球面上的最短距离为　　
A．5400海里 B．2700海里 C．4800海里 D．3600海里
4．（多选）底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．下列正确的命题是　　
A．正方体是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．平行六面体的六个面均为平行四边形
D．如果直平行六面体的底面是正方形，那么这个几何体是正方体
5．（多选）以下命题中假命题的序号是　　
A．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
C．用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
6．圆锥的母线长为，高为，它的侧面展开图的中心角为　　弧度．
7．已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬，乙地纬度为北纬，则甲乙两地的球面距离是　　
8．某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，它是底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的周长为　　．
9．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
10．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长．求：圆锥的母线长．
举一反三
一．选择题
1．下列说法正确的是　　
A．通过圆台侧面一点，有无数条母线
B．棱柱的底面一定是平行四边形
C．圆锥的轴截面是等腰三角形
D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
2．如图所示的组合体，其结构特征是　　
A．由两个圆锥组合成的
B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
3．连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一平面内．则这个八面体的旋转轴共有　　
A．7条 B．9条 C．13条 D．14条
4．（多选）下列说法正确的是　　
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．长方体不一定是正四棱柱
C．底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D．正四面体一定是正三棱锥
5．（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是　　
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体
二．填空题
6．圆锥的底面半径为1，母线长为6，是底面圆周上一点，从拉一根绳子，环绕圆锥的侧面再回到，最短绳子长为　　．
7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中“勾股”一章有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺（即柱围3尺）．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤至少为　　尺．
8．已知点为坐标原点，点在轴上，正的面积为，其斜二测画法的直观图为△，则点到边的距离为　　．
9．正方体中，，分别是棱，上不与正方体顶点重合的动点，用平面截正方体，下列关于截面的说法正确的有　　．
①若，则截面为等腰梯形
②若，且时，截面为五边形
③截面的面积存在最大值
④截面的面积存在最小值．
10．如图为一几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，，，，点，，，及，，，共线，沿图中虚线将它们折叠，使，，，四点重合，则需要　　个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．
三．解答题
11．已知斜二测画法得到的直观图△是正三角形，画出原三角形的图形．
12．若一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，求它的高和斜高．
13．如图①，有一个圆柱形状的璃水杯，底面圆的直径为，高为，杯内有深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为（图②
（1）求图②中圆锥的母线与液面所在平面所成的角（用表示）；
（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求角的最大值；
（3）要保证倒出的溶液体积不少于，求角的取值范围（保留到．
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