资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第八讲 复数
一．知识梳理
1.复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 形如的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若，则为实数；若且，则为纯虚数
复数相等 且
共轭复数 与共轭且
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模 设对应的复数为，则向量的长度叫做复数的模
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数复平面内的点.
(2)复数平面向量.
3.复数的运算
设，则
(1)加法：
(2)减法：
(3)乘法：
(4)除法：
典型例题
例1．（1）已知为虚数单位，下列命题中正确的是　　
A．若，则
B．的虚部是
C．若，且，则
D．实数集在复数集中的补集是虚数集
（2）复数是虚数单位）的实部为　　
A．2 B． C． D．0
例2.（1）已知，若复数是虚数单位）是纯虚数，则　　
A．0 B．1 C． D．2
（2）已知是虚数单位，复数，．
（Ⅰ）当复数为实数时，求的值；
（Ⅱ）当复数为虚数时，求的值；
（Ⅲ）当复数为纯虚数时，求的值．
变式1.已知是虚数单位，，，“”是“复数是纯虚数”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例3.（1）已知是虚数单位，则　　
A．1 B． C． D．
（2）设，，，则　　
A． B．0 C．1 D．2
（3）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为　　
A．4 B． C．6 D．或6
变式2.（1）已知复数是虚数单位，则　　
A． B．1 C．5 D．
（2）复数，其中为虚数单位，则的实部是　　
A．4 B． C．3 D．
（3）已知复数，若为虚数单位，则　　
A． B． C． D．
例4.已知，则下列说法正确的是　　
A．复数的虚部为
B．复数对应的点在复平面的第二象限
C．复数的共轭复数
D．
例5.（1）已知是虚数单位）是关于的方程的根，，为实数，求的值；
（2）已知是虚数单位）是关于的方程的一个根，，为实数，求的值．
变式3.已知是关于的方程的一个根，求实数、的值．
例6.（1）设，则　　
A． B． C． D．
（2）已知两个复数，，则的值是　　
A．1 B．2 C． D．3
变式4.已知：复数．
（1）求的值；
（2）求的值．
例7.已知复数，，其中是实数．
（1）若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围；
（2）若是纯虚数，是正实数，
①求，
②求．
变式5．已知，为虚数单位，
（1）若，求；
（2）若，求实数，的值．
例8.（1）已知，则复平面内与对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例9.已知虚数满足．
①求；
②是否存在实数，是为实数，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
③若在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数．
变式6.（1）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则　　
A． B．3 C．5 D．
（2）．如图，在复平面上，平行四边形的3个顶点，，对应的复数分别为0，，．求顶点对应的复数．
例10.（1）设复数满足，则的最大值为　　
A． B． C．2 D．3
（2）已知复数，若存在实数，使成立．
①求证：定值；
②若，求的取值范围．
变式7.已知为虚数，为实数．
（1）若为纯虚数，求虚数；
（2）求的取值范围．
课堂练习
1．若，其中，都是实数，是虚数单位，则等于　　
A． B． C．0 D．1
2．已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为　　
A． B．1 C． D．2
3．已知，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（多选）已知非零复数，满足，则下列判断一定正确的是　　
A． B． C． D．
5．（多选）是虚数单位，下列说法中正确的有　　
A．若复数满足，则
B．若复数，满足，则
C．若复数，则可能是纯虚数
D．若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限
6．方程的根是　　．
7．若复数满足，则　　．
8．若，则取值范围是　 　．
9．已知是复平面内的平行四边形，顶点，，对应的复数分别为，，．
（1）求点对应的复数为；
（2）令复数，当实数取什么值时，复数表示的点位于第二或四象限．
10．为虚数单位，是虚数，是实数，且，．
（1）求及的取值范围；
（2）求的最小值．
举一反三
一．选择题
1．若是关于的实系数方程的一根，则　　
A．1 B． C．9 D．
2．已知复数，则　　
A．2 B． C．4 D．5
3．已知，，若为虚数单位），则的取值范围是　　
A．或 B．或 C． D．
4．（多选）已知复数，则下列结论正确的有　　
A． B．
C． D．
5．（多选）下列说法正确的是　　
A．若，则
B．若复数，满足，则
C．若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虛部相等
D．“”是“复数是虚数”的必要不充分条件
二．填空题
6．已知复数满足是虚数单位），则　　．
7．已知复数，为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且，则复数　　．
8．棣莫弗公式为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于第　　象限．
9．已知复数满足等式，则的最大值为　　．
10．已知为虚数单位，实数，满足，则　　．
三．解答题
11．在①为实数，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知复数：．
（1）若____，求实数的值；
（2）当在复平面内对应的点位于第三象限时，求的取值范围．
12．设，
（1）计算：；
（2）计算：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑