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第六讲 正余弦定理
一．知识梳理
1.直角三角形中各元素间的关系：在中，。
（1）三边之间的关系：。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
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2.斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
HYPERLINK "http://www." 。（R为外接圆半径）
3.正弦定理：的常见变形：
；
；
.
4.三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
5.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或 .
二．典型例题
例1．（1）在中，已知，，，则等于　　
A． B．或 C．或 D．
（2）在中，，，，则　　
A．2 B． C． D．3
变式1.（1）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　
A． B． C． D．
（2）.在中，已知，，，则　　
A．6 B．12 C．6或12 D．无解
例2.（1）已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
（2）设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则的形状为　　
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
变式2.在中，，，分别是内角，，的对边，若（其中表示的面积），且角的平分线交于，满足，则的形状是　　
A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
例3.（1）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
（2）设锐角三角形三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
（3）在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
例4.（1）已知中内角、、的对边分别是、、，，，，则满足条件的三角形有　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
（2）（多选）在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
（3）（多选）中，，，解的结果有两个，则可取下列那些值　　
A． B． C． D．
变式3.在中，，，，则此三角形　　
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
例5.（1）在中，一定成立的等式是　　
A． B． C． D．
（2）（多选）在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是　　
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则
C．若是锐角三角形，
D．若是钝角三角形，则
变式4．（1）（多选）在中，下列结论正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2）．已知为锐角三角形，则　　
A． B． C． D．
例6.（1）（多选）在中，角，，的对边分别为，，，若，则角可为　　
A． B． C． D．
（2）锐角中，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
例7.（1）在中，设角，，所对的边长分别为，，，，，的面积，则等于　　
A． B． C．或 D．
（2）我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为，若，，则用“三斜求积公式”求得的　　
A． B． C． D．
（3）若的三边长分别为2，3，4，则其面积为　　
A． B． C． D．
变式5.已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，且的面积为，则的值为　　
A．12 B．8 C． D．
例8．（1）在锐角中，若，且，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
（2）锐角中，内角，，所对边分别为，，，且，则的取值范围为　　
A．， B． C．， D．
（3）已知三内角，，的对边分别为，，，且，若角平分线段于点，且，则的最小值为　　
A．6 B．9 C． D．
变式6.的内角、、的对边分别为、、，已知，则的周长的最大值是　　
A． B． C． D．
例9.已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，的平分线交于，且，，则　　，　　．
（2）已知三条边上的高分别为3，4，6，则最小内角的余弦值为　　．
例10.（1）已知的内角，，的对边分别为，，，．
①求内角的大小；
②若，，求的面积．
（2）在中，角，，所对边分别为，，，现有下列四个条件：①；②；③；④．
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）已知同时满足上述四个条件中的三个，请选择使有解的三个条件，求的面积．
变式7.（1）已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
①求的值；
②若，求面积的最大值．
（2）在三角形中，角，，分别对应着边，，．已知，且．
①求的值；
②若，求的值．
三．课堂练习
1．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为　　
A．10 B．11 C．12 D．13
2．在中，，，，则的面积为　　
A． B． C． D．
3．在中，，，，则　　
A．2 B． C． D．3
4．（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是　　
A．
B．若，则
C．
D．若，且，则为等边三角形
5．（多选），，分别为内角，，的对边．已知，且，则　　
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
6．已知的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则　　．
7．在中，角、、的对边分别是、、，若满足，的三角形仅有一个，则面积的取值范围是　 ．
8．的内角，，所对的边分别为，，，，，内切圆半径为1，则的周长为　　．
9．已知的内角、、所对的边为、、，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若的外接圆半径为1，求的最大值．
10．请从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题．
问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知
（1）求；
（2）求的面积．
举一反三
一．选择题
1．已知的内角，，的对边分别为，，．若，则等于　　
A． B．4 C． D．3
2．在中，角、、所对应的三边分别为、、．若，，则下面式子中不可能成立的是　　
A． B．
C． D．
3．在中，，则　　
A．或 B．或 C．或 D．或
4．（多选）已知的内角，，的对边分别为，，，满足，且，则　　
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
5．在中，内角，，的对边分别是，，，则　　
A．若，则
B．若，则
C．若边上的高为，则当取得最大值时，
D．若边上的高为，则当取得最大值时，
二．填空题
6．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　．
7．在中，角，，所对的边分别为，，，如果，，面积为，那么　　．
8．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则　　．
9．在中，，，，则的外接圆的半径等于　　．
10．在中，内角，，所对应的边分别是，，，已知的面积为，，，则的值为　　．
三．解答题
11．现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．
在中，，，分别为内角，，所对的边，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
12．在中，点是的中点，且．
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，，求．
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