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第三讲 平面向量应用
一．知识梳理
1.几何表示及坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
2.用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量
典型例题
例1．（1）在四边形中，，，，其中，不共线，则四边形是　　
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．无法确定
（2）设点，的坐标分别为，，，分别是曲线和上的动点，记，　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
例2.（1）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为　　
A．6 B． C． D．4
（2）已知点是内部一点，满足，，则实数为　　
A．2 B． C．4 D．
变式1.（1）已知点为内一点，且，则、、的面积之比等于　　．
（2）．已知点为内一点，满足，若，则　　
A． B． C． D．2
例3.（1）（多选）若内接于以为圆心，1为半径的圆，且，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
（2）已知为的垂心，且，则角的值为　　．
变式2.（1）设为的垂心（三角形三条高的交点），且，则的值为　　．
（2）设是的外接圆圆心、且，则　　
A． B． C． D．
例4.（1）如图，在四边形中，，点，分别是边，的中点，延长和交的延长线于不同的两点，，则的值为　　．
（2）在平行四边形中，，若，则　　
A． B． C． D．3
例5．已知内接于圆，且线段的延长线与线段的延长线相交．设，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
例6.如图是由等边和等边构成的六角星，图中，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为，若，则的值为　　
A． B． C． D．1
例7.（1）已知是边长为1的等边三角形，若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
（2），若对任意实数，恒成立，则实数的范围为　　
A． B．
C． D．
例8.（1）已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最小值是　　
A． B． C． D．
（2）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于　　．
例9.（1）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是　　
A． B． C． D．
（2）如图，在中，，点，分别在，上，且，．若与相交于点，则的取值范围是　　．
例10.（1）已知三角形为直角三角形，点为斜边的中点，对于线段上的任意一点都有，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
（2）在中，，，的平分线与边的交点为，点为边的中点，若，则的值是　　．
变式5.（1）已知在中，，，，为平面上一点，且，当最小时，向量与的夹角为　　．
（2）．如图，在中，，，，以为一边在的另一侧作正三角形，则　　．
课堂练习
1．在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为　　
A． B． C． D．0
2．已知外接圆的圆心为，若，，则的值是　　
A．18 B．36 C．72 D．144
3．设为内一点，已知，则　　
A． B． C． D．
4．（多选）如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是　　
A． B．1 C．5 D．9
5．（多选）已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标．若点、的广义坐标分别为，，，关于下列命题正确的是　　
A．线段、的中点的广义坐标为
B．、两点间的距离为
C．向量平行于向量的充要条件是
D．向量垂直于的充要条件是
6．在平行四边形中，，，，．若，则　　．
7．如图，在正六边形中，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围　　．
8．长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中，分别为，的中点，为与的交点，则　　．
9．如图，为的中线的中点，过点的直线分别交，两边于点，，设，请求出、的关系式，并记
（1）求函数的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，且，求实数的取值范围．
（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．
10．如图，已知的面积为14，、分别为边、上的点，且，与交于．设存在和使，，，．
（1）求及；
（2）用，表示；
（3）求的面积．
举一反三
一．选择题
1．已知圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
2．已知，，，若，则最大值为　　
A． B． C． D．
3．已知与为不共线的单位向量，其夹角，设，，有下列四个命题：
；，；
：若，，共线；：若，，共线．其中真命题的是　　
A．， B．， C．， D．，
4．（多选）如图，是的中点，，是平行四边形内（含边界）的一点，且．以下结论中正确的结论为　　
A．当时，，
B．当是线段的中点时，
C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点的轨迹是一条线段
D．的最大值为
5．（多选）若点是线段外一点，点是平面上任意一点，且，则下列说法正确的有　　
A．若且，则点在线段的延长线上
B．若且，则点在线段的延长线上
C．若，则点在外
D．若，则点在内
二．填空题
6．如图所示，在中，，，，是上一点，且满足，则实数　　；　　．
7．若，是两个非零向量，且，，则与的夹角取值范围是　　．
8．如图，在三角形中，点在边上，且，点是边的中点，与交于点，若，则　　．
9．已知所在平面内一点满足，则点是的　垂　心（填“内”、“外”、“重”、“垂” ，若的内角，边，则的最大值是　　．
10．已知为的垂心，且，，，，则　　．
三．解答题
11．小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当、、三点共线，为直线外一点，且时，（如图第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答．
（1）当或时，、两点的位置与所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由
（2）如图2，射线，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数的取值范围，并求当时，实数的取值范围．
（3）过作的平行线，延长、，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点在每个区域内运动（不含边界）时，实数，应满足的条件．（不必证明）
12．（1）如图，在中，设，，而与相交于点，试用向量，表示向量．
（2）已知为的外心，为边中点，，，求的值．
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