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第十六讲 期末复习
一．选择题
1．如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，则，两点之间的距离为　　
A．米 B．米 C．米 D．200米
2．在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
3．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为　　
A．1 B． C． D．
4．已知向量，是两个非零向量，且，则与夹角为　　
A． B． C． D．
5．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是　　
A．如果，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，，那么
D．如果，，那么与所成的角和与所成的角不相等
6．在中，角，，的对边分别为，，，，且，则的形状为　　
A．钝角三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
7．如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为　　
A． B． C． D．
8．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图的面积为1，则原梯形的面积为　　
A．1 B． C．2 D．
9．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组随机数；
162 966 151 525 271 932 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 163 537 039
据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为　　
A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6
10．将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为　　
A． B． C． D．
11．已知正四棱柱中，，，则直线和所成的角的余弦值为　　
A． B． C． D．
12．已知向量，满足，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
二．多选题
13．在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图．
则下列关于甲，乙两省新增确诊人数的说法，正确的是　　
A．甲省的平均数比乙省低 B．甲省的方差比乙省大
C．甲省的中位数是27 D．乙省的极差是12
14．已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是　　
A． B．
C． D．
15．任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是　　
A．
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
16．如图1，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，重合于点，得到如图2所示的三棱锥．则下列结论正确的是　　
A． B．平面平面
C．二面角的余弦值为 D．点到平面的距离为
17．如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点，则下列说法正确的是　　
A．异面直线与所成的角为
B．在上存在点，使平面
C．二面角的大小为
D．
18．在对某中学高一年级学生身高（单位：的调查中，随机抽取了男生23人、女生27人，23名男生的平均数和方差分别为170和10.84，27名女生的平均数和方差分别为160和28.84，则　　
A．总样本中女生的身高数据比男生的高散程度小
B．总样本的平均数大于164
C．总样本的方差大于45
D．总样本的标准差大于7
三．填空题
19．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥侧面一周，再次回到点，则该质点经过的最短路程为　　．
20．为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：，则该组数据的第80百分位数为　　．
21．如图，在四边形中，已知，，，，，则　　．
22．已知平面非零向量、、两两所成的角相等，且，则的值为　　．
36．在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为　　．
四．解答题
23．在①平面，②，③点在平面内的射影为的垂心．
这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答．
三棱锥中，，若_____，求三棱锥的体积．
注：如果选择多种条件组合分别解答，按第一种解答计分．
24．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中，的值；
（2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；
（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从，和，两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．
25．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为等品，低于10分的为等品．厂家将等品售价定为2000元件，等品售价定为1200元件．
下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中为抽取的第件产品的评分，，2，，16．
该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．
（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，
估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例；
估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．
（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品．请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）
26．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）设为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．
27．如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，．
（1）用，表示和；
（2）求向量与夹角的余弦值．
28．如图，在矩形中，，点是的中点，将沿线段折起到的位置，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求证：平面平面．
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