资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第十讲 点线面的位置关系
知识梳理
1.用集合表示
1）点在直线上，记作：；点不在直线上，记作；
2）点在平面内，记作：；点不在平面内，记作；
3）直线在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作；
4）直线不在平面内（即直线上存在不在平面内的点），记作；
5）直线和相交于点，记作，简记为；
6）平面与平面相交于直线，记作．
2、平面的三个公理及推论
1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
图形语言表述：如右图：
符号语言表述：
2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
图形语言表述：如右图，
符号语言表述：三点不共线有且只有一个平面，使．
3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．
图形语言表述：如右图：
符号语言表述：．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．
3.3个推论
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
4.直线与直线位置关系
1）两直线共面：如果两条直线在同一平面内（即平行或相交），则两直线共面．
2）两直线异面：如果两直线不同在任何一个平面内，则两直线异面．
二．典型例题
例1.用符号表示“点在直线上，不在平面内”，正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
例2.（1）两个平面能把空间分成几个部分　　
A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4
（2）下列命题中正确的是　　
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线
D．若、、是三条直线，且与都相交，则直线、、共面
变式1.在空间中，下列结论正确的是　　
A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面
C．一个点和一条直线确定一个平面 D．两条直线确定一个平面
例3.（1）空间四边形中，，，，分别是，，，的中点，且，则四边形是　　
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2）在空间四边形中，，分别为对角线，的中点，则与　　
A．平行 B．异面 C．相交 D．以上均有可能
例4.（1）如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．
①求证：、、、四点共面；
②设与交于点，求证：、、三点共线．
变式2.（1）在四面体中，，分别是线段，的中点，，分别是线段，上的点，且．求证：
①四边形是梯形；
②，，三条直线相交于同一点．
（2）已知空间四边形（如图所示），、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，．求证：
①、、、四点共面；
②三直线、、共点．
例5.（1）、、是三条不重合的直线，下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若直线，没有交点，则，异面
D．若，，则
（2）一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条　　
A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面
（3）．如图，在空间四边形中，、、、分别是四边上的中点，则直线和的位置关系是　　
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都可能
例6.（1）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点、，过直线做平面，使得点、到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
（2）在空间中，下列命题正确的是　　
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②直线直线，直线直线，，平面，所以平面；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④垂直于同一个平面的两条直线平行．
A．①③④ B．①④ C．① D．①②③④
例7.已知，，，则等于　　
A． B．或 C． D．以上都不对
变式4.空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为　　
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
例8.（1）正方体上的点、、、是其所在棱的中点，则直线与直线异面的图形是　　
A． B．
C． D．
变式5.如图，已知直线，，不共面，且，，，，，用反证法证明：与是异面直线．
例9.如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且．求异面直线与所成角的大小．
（2）如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
变式6.（1）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，母线长为．已知为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，且，为线段的中点，求异面直线与所成的角的大小．
（2）长方体中，，，和分别是和的中点，求：
（1）和所成角的正弦值；
（2）和所成角的余弦值．
课堂练习
1．用符号表示“点在直线上，不在平面内”，正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
2．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
其中正确的是　　
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
3．如图，在长方体中，体对角线与面对角线的位置关系一定是　　
A．平行 B．相交 C．异面 D．共面
4.（多选）如图，是正方体的棱的中点，下列命题中真命题是　　
A．过点有且只有一条直线与直线、都相交
B．过点有且只有一条直线与直线、都垂直
C．过点有且只有一个平面与直线、都相交
D．过点有且只有一个平面与直线、都平行
5．（多选）已知空间中两条直线，所成的角为，为空间中给定的一个定点，直线过点且与直线和直线所成的角都是，则下列选项正确的是　　
A．当时，满足题意的直线不存在
B．当时，满足题意的直线有且仅有1条
C．当时，满足题意的直线有且仅有2条
D．当时，满足题意的直线有且仅有3条
6．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则异面直线与所成角的正切值是　　．
7．三个不相交的平面把空间分成　　部分．
8．已知正方体中，过顶点作与直线、都成角的直线的条数为　　条．
9.如图，圆柱的底面圆半径为1，是一条母线，是的直径，是上底面圆周上一点，，若，两点间的距离为，则圆柱的高为　　，异面直线与所成角的余弦值为　　．
10．在棱长为4的正方体中，，分别是和的中点，经过点，，的平面把正方体截成两部分，则截面与的交线段长为　　．
11．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点．
（1）证明：、、、共面；
（2）求截面的面积．
如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线．
四．举一反三
一．选择题
1．已知两条不同的直线，，，在上任取不同的三点，在上任取不同的两点，由这5个点所确定的平面的个数为　　
A．5 B．4 C．3 D．1
2．过平面外的直线，作一组平面与相交，若所得交线为，，，，则这些交线的位置关系为　　
A．平行或交于同一点 B．相交于同一点
C．相交但交于不同的点 D．平行
3．若是两相交平面，外的任意一点，则过点　　
A．有且仅有一条直线与，都平行
B．有且仅有一条直线与，都垂直
C．有且仅有一条直线与，都相交
D．以上都不对
4．（多选）两条异面直线在同一平面上的射影可能为　　
A．两条平行直线 B．两条垂直直线
C．一条直线和一个点 D．一条直线
5．（多选），，是空间三条直线，给出四个命题中，不正确的是　　
A．如果，，则
B．如果、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线
C．如果、相交，、相交，则、平行或相交
D．如果、共面，、共面，则、不一定共面
二．填空题
6．三个不相交的平面把空间分成　　部分．
7．如图所示，在正方体中，若为的中点，则直线与所成角的余弦值为　　．
8．如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则当，满足条件　 　时，四边形是正方形．
9．在图中，、、、分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有　　．（填上所有正确答案的序号）
10．以下四个正方体中，点为四等分点，其余各点为顶点或者中点，其中四点共面的有　　．
三．解答题
11．如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
13．已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：
（1）对角线AC、BD是异面直线；
（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑