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第十五讲 概率
知识梳理
1、概率的相关定义：
(1)必然事件：在条件下，一定会发生的事件，叫相对于条件的必然事件，简称必然事件。
(2)不可能事件：在条件下，一定不会发生的事件，叫相对于条件的不可能事件，简称不可能事件。
(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件的确定事件。
(4)随机事件：在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件的随机事件，简称随机事件或偶然性事件；确定事件和随机事件统称为事件，用、、…表示。
(5)频数与频率：在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数；称事件出现的比例为事件出现的频率；对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率。
2、事件的关系与运算
①如果事件发生，则事件一定发生，这时我们说事件包含事件(或事件包含于事件)，记为(或)，不可能事件记为，任何事件都包含不可能事件。
②如果事件发生，则事件一定发生，反之也成立，(若同时)，我们说这两个事件相等，即。
③如果某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与的并事件(或和事件)，记为或。
④如果某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与的交事件(或积事件)，记为或。
⑤如果为不可能事件()，那么称事件与事件互斥，即事件与事件在任何一次试验中不会同时发生。
⑥如果为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件，即事件与事件在一次试验中只发生其中之一，并且必然发生其中之一。
对立事件：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件的对立事件记做。
对立事件的概率公式：。
典型例题
例1．（1）下列变量中，不是随机变量的是　　
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两颗骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间内收到的呼叫次数
（2）给出下列四个命题，其中正确的命题为　　
A．“一元二次方程有解”是必然事件
B．“飞机晚点”是不可能事件
C．“冬天会下雪”是必然事件
D．“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件
变式1.下列事件中，随机事件的个数为　　
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；
②13个人中至少有两个人生肖相同；
③某人买彩票中奖；
④在标准大气压下，水加热到会沸腾．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2.（1）下列说法正确的是　　
A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况
B．某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨
C．概率是客观存在的，与试验次数无关
D．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖
（2）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为　　
A．0.45 0.45 B．0.5 0.5 C．0.5 0.45 D．0.45 0.5
变式2.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是　　
A．频率就是概率
B．频率是随机的，与试验次数无关
C．概率是稳定的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
例 3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设两次都击中飞机，两次都没击中飞机，恰有一弹击中飞机，至少有一弹击中飞机，下列说法不正确的是　　
A． B． C． D．
例4.将一枚骰子先后抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数．
（1）写出试验的样本空间中样本点的个数；
（2）用集合表示事件 “出现点数之和大于8”．
变式3.（1）一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．
①用列表或画树状图的方法列出所有可能结果；
②设第一次取出的球号码为，第二次取出的球号码为，求事件 “点落在直线上方”的概率．
例5.（1）从3，5，7，9中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是　　
A． B． C． D．
（2）已知甲袋子里有大小相同的2个红球和3个黑球，乙袋子里有大小相同的1个红球和4个黑球，如果从甲乙两个袋子里各任取2个球，则取出的四个球均为黑球的概率是　　
A． B． C． D．
变式4.《易经》是中国传统文化中的精髓之一．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成 “─”表示一根阳线，“”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为　　
A． B． C． D．
例6.2020年春季延期开学期间，为保证防控疫情期间中小学校“停课不停学”，各地教育行政部门、中小学及教育网站积极提供免费线上课程，为中小学生如期学习提供了便利条件．某教育网站针对高中学生的线上课程播出后，社会各界反响强烈．该网站为了解高中学生对他们的线上课程的满意程度，从收看该课程的高中学生中随机抽取了1000名学生对该线．上课程进行评分（满分100分），并把相关的统计结果记录如表：
评分分组 ， ， ， ， ，
频数 100 200 400 250 50
（1）计算这1000名学生评分的中位数、平均数，根据样本估计总体的思想，若平均数低于70分，视为不满意，试判断高中学生对该线上课程是否满意？
（2）为了解部分学生评分偏低的原因，该网站利用分层抽样的方法从评分为，，，的高中学生中抽取6人，再从中随机抽取2名学生进行详细调查，求这2名学生的评分来自不同评分分组的概率．
例7.（1）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有　　
A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片不都是红色
C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片至多有1张红色
（2）某学校计划从2名男生和3名女生中任选3人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件为“至少有2名女生参加演讲”，则下列事件中与事件对立的是　　
A．恰有2名女生参加演讲 B．至多有2名男生参加演讲
C．恰有1名女生参加演讲 D．至多有2名女生参加演讲
变式6.已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示．其中，（A），（B），，则事件与事件　　
A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件
例8.（1）若，为互斥事件，（A），，则（B）　　
A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7
（2）下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；
②若，为两个随机事件，则（A）（B）；
③若事件，，两两互斥，则（A）（B）（C）；
④若与是对立事件，则（A）（B）．
其中正确命题的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
变式7.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为　　
A． B． C． D．
例9．（1）在某段时间内，甲地下雨的概率是0.3，则甲地不下雨的概率是　　
A．0.15 B．0.3 C．0.5 D．0.7
（2）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是　　
A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是
变式8.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”，事件：“两个数均为偶数”．
（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间，并求事件发生的概率；
（Ⅱ）求事件发生的概率；
（Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率．
例10．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且．
求与的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
变式9.从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件 “抽到的是一等品”，事件 “抽到的是二等品”．事件 “抽到的是三等品”且已知（A）， （B），（C），求下列事件的概率：
（1）事件 “抽到的是一等品或二等品”
（2）事件 “抽到的是二等品或三等品”
（3）事件 “抽到的是一等品或二等品或三等品”
课堂练习
1．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指（　　）
A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为85%
2．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（　　）
A．点数都是偶数 B．点数的和是奇数
C．点数的和小于13 D．点数的和小于2
3．雅言传承文明，经典浸润人生，某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某班级三人参赛，则三人参加项目均不相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（多选）从集合A＝{﹣1，﹣3，2，4}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{﹣5，1，4}中随机选取一个数记为b，则（　　）
A．ab＞0的概率是
B．a+b≥0的概率是
C．直线y＝ax+b不经过第三象限的概率是
D．lna+lnb＞1的概率是
5．（多选）若A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，则下列说法正确的是（　　）
A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）≤1
C．P（A∪B）＝1 D．P（A∩B）＝0
6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球．现从中一次摸出2只球，则摸出的2只球颜色相同的概率为　 　．
7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球
（1）至少有1个白球；都是白球；
（2）至少有1个白球；至少有1个红球；
（3）恰有1个白球；恰有2个白球；
（4）至少有1个白球；都是红球；
是互斥事件的序号为　 　．
8．已知三个事件A，B，C两两互斥且P（A）＝0.3，P（）＝0.6，P（C）＝0.2，则P（A∪B∪C）＝　 　．
9．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
10．某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果如图表所示：
分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 [15，25） 5 0.5
第2组 [25，35） a 0.9
第3组 [35，45） 27 x
第4组 [45，55） b 0.36
第5组 [55，65） 3 y
（1）分别求出a，b，x，y的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的2人中至少有一个第2组的人的概率．
举一反三
一．选择题
1．连续抛掷一枚硬币4次，落地后第2次和第4次恰好都是正面向上的概率是　　
A． B． C． D．
2．我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为　　
A． B． C． D．
3．某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是　　
A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈
B．2位病人中一定有1位能治愈
C．每位病人治愈的可能性是
D．所有病人中一定有一半的人能治愈
4．（多选）利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是　　
A． B． C． D．（C）
5．（多选）已知事件，，且（A），（B），则下列结论正确的是　　
A．如果，那么，
B．如果与互斥，那么，
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么，
二．填空题
6．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是　　．
7．若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为（A），（B），则实数的取值范围为　　．
8．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为　　．
9．应用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为　　．
10．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是　　．
三．解答题
11．每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，
（1）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（2）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率．
12．某射击队有8名队员，其中男队员5名，女队员3名，从中随机选3名队员参加射击表演活动．
（1）求选出的3名队员中有一名女队员的概率；
（2）求选出的3名队员中女队员人数比男队员人数多的概率．
13．网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题．
组别 学习时间 频数（人数）
8
24
32
4小时以上 4
（1）表中的　　，中位数落在　 　组，扇形统计图中组对应的圆心角　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流机会，计划在组学生中随机选出两人进行经验介绍，已知组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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