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第十一讲 直线与平面位置关系
一．知识梳理
1.直线与平面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝ a α，b α，a∥b a∥α a∥α，a β，α∩β＝b
结论 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b
2.直线与平面垂直的判定及性质
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法.
②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.
②垂直于同一个平面的两条直线平行。
③垂直于同一条直线的两平面平行
二．典型例题
例1.（1）若、、是空间中三个不同的平面，，，，则是的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）如图，在以下四个正方体中，直线与平面平行的是　　
A． B．
C． D．
（3）有下列四个条件：①，，； ②，；③，，； ④、是异面直线，，，．其中能保证直线平面的条件是　　
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
变式1.（1）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是　　
A． B．
C． D．
（2）如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为．则下列结论中不一定成立的是　　
A． B． C．平面 D．平面
（3）如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线　　
A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在
例2.如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则　　
A． B． C． D．以上均有可能
（2）．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为．则下列结论中不一定成立的是　　
B． C．平面 D．平面
例3.（1）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点．
（1）求证：平面．
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例4.如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点，平面平面．
（1）求证：．
（2）与平面是否平行？试证明你的结论．
例5.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
例6.（1）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，、分别是、中点，求证：面．
（2）．如图，四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为棱、的中点．求证：平面；
例6.（1）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列条件中能推出的是　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
（2）在如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍” 是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，，则以下两个结论：①；②，　　
A．①和②都不成立 B．①成立，但②不成立
C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立
例7.如图，四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，，，，分别是，的中点．
（1）①求证：平面；
②求线段的长度．
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
变式4．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）设，求与平面所成的角的正弦值．
例8.如图，已知矩形所在的平面，、分别为、的中点，，，．
（1）求证：平面；
（2）求与面所成角大小的正弦值；
（3）求证：面．
例9.（1）如图是棱长为2的正方体木块的直观图，其中，，分别是，，的中点，平面过点且平行于平面，则该木块在平面内的正投影面积是　　
A． B． C． D．
（2）三棱锥是正三棱锥，则在侧面上的射影必为的　　
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
变式6.（1）已知三棱锥中，若，，两两互相垂直，作平面，垂足为，则点是的　　
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
例9.（1）如图，四棱锥中，点，分别是侧棱，上的点，且底面．
①求证：；
②若底面，，，求证：．
（2）．已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，点，，分别为，，中点．
①求证：平面；
②求证：平面．
例10.（1）如图，在四棱锥中，底面，，，，．
①求证：平面；
②在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
例11.如图，四棱锥中，底面，，，，，，分别为，的中点，为棱上的一点，且．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
三．课堂练习
1．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线　　
A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在
2．已知正方体，为棱的动点，为棱的中点，设直线为平面与平面的交线，以下关系中正确的是　　
A． B．平面
C． D．平面
3．在长方体中，，为棱的中点，则　　
A． B． C． D．
4．（多选）正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是　　
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为
D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
5．（多选）如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，下列结论正确的是　　
A． B．平面 C．平面 D．平面
6．如图，在直角梯形中，，，且为的中点，、分别是，的中点，将沿折起，则下列说法正确的是　．（写出所有正确说法的序号）
①不论折至何位置（不在平面内，都有平面；
②不论折至何位置（不在平面内）都有；
③不论折至何位置（不在平面内），都有；
④不论折至何位置（不在平面内），都有不垂直．
7．已知三个互不重合的平面，，，且直线，不重合，由下列条件：
①，；②，；③，，；
能推得的条件是　　．
8．如图，在正方体中，是的中点，在上，且，点是侧面（包括边界）上一动点，且平面，则的取值范围为　　．
9．在四棱锥中，，，平面，为的中点，．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
10．如图，在四棱锥中，，，，平面．
（1）求证：平面；
（2）若为线段的中点，且过，，三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；若点到平面的距离为，求的值．
四．举一反三
一．选择题
1．如图，在三棱锥中，不能证明的条件是　　
A．平面 B．，
C．， D．，平面平面
2．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为．则下列结论中不一定成立的是　　
A． B． C．平面 D．平面
3．如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则△面积的最大值为　　
A． B． C． D．
4．（多选）如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点．现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形，使，，三点重合，重合后的点记为，下列说法正确的是　　
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
5．（多选）如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是　　
A． B．
C． D．
二．填空题
6．为所在平面外一点，为在平面上的射影．
（1）若、、两两互相垂直，则点是的　　心；
（2）若到三边距离相等，且在内部，则点是的　　心；
（3）若，，，则点是的　　心；
（4）若、、与底面成等角，则点是的　　心．
7．在正方体中，有下面结论：
①平面；
②平面；
③与底面所成角的正切值是；
④与为异面直线．
其中正确的结论的序号是 　 ．（把你认为正确的结论的序号都填上）
8．如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且于，，，点在线段上，并有平面．则　　．
9．如图，已知点在四面体的棱（不含，两点）上运动，过点作四面体的一个与，都平行的截面．
（1）试画出该截面（不写作法），判断该截面的形状，并证明你的结论；
（2）当为的中点，且，，与所成角为时，求截面的面积．
10．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，的中点．求证：
（1）平面；
（2）．
解答题
11．如图，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且，．
（1）求证：平面；
（2）设，问是否存在，使得棱锥的高恰好等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
12．已知是矩形，，，分别是线段，的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）若在棱上存在一点，使得平面，求的值．
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