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第五讲 二倍角公式
一．知识梳理
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
；
；
.
2．公式的常用变形
(1)
(2)，；
(3)，
，
二．典型例题
例1（1）．若角的终边过点，则　　
A． B． C． D．
（2）已知，则　　
A． B． C． D．
（3）已知角的终边经过点，则　　
A． B． C． D．
（4）已知，则　　
A． B．2 C． D．
变式1．（多选）下列选项中，值为的是　　
A． B．
C． D．
例2.（1）已知，且，则　　
A． B． C． D．
（2）已知为锐角，且满足，则的值为　　
A． B． C． D．
（3）若，则化简的结果为　　
A． B． C． D．
例3.（1）已知，则　　
A． B． C． D．
（2）若，，且则　　
A． B． C． D．
（3）若，则　　
A． B． C． D．
例4.化简求值。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
变式2.求下列各式的值：
（1）；
（2）化简：．
（3）．
例4.（1）已知函数，则下列说法中正确的是　　
A．为奇函数
B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称
D．的值域为，
（2）已知函数，则　　
A．的最小正周期为
B．的最大值为2
C．在，上单调递减
D．的图象关于直线对称
例5.（1）已知函数，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则　　
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
（2）（多选）已知，下面结论正确的是　　
A．若，，且的最小值为，则
B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴
C．若在，上恰有7个零点，则的取值范围是
D．若在上单调递增，则的取值范围是，
例6.设，，且，则　　
A． B． C． D．
例7.已知、为一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中错误的是　　．
①； ②；
③； ④．
变式3.阅读下面材料：
解答下列问题：
（1）证明：；
（2）若函数，，求的值域．
例8．（1）证明：（Ⅰ）
（Ⅱ）．
（2）已知，求证：．
变式4.某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．
（1）
（2）
（3）
（4）
课堂练习
1．已知，则　　
A． B． C． D．
2．设，，，则有　　
A． B． C． D．
3．己知，则　　
A． B． C． D．
4．（多选）下列各式中，值为的是　　
A． B．
C． D．
5．（多选）已知，下面结论正确的是　　
A．若，，且的最小值为，则
B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．若在，上恰有7个零点，则的取值范围是
D．若在上单调递增，则的取值范围是，
6．已知，且有，则　　．
7．公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格．后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式．如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点在以线段为直径的圆上，为弧的中点，点在线段上且，点为的中点．设，．给出下列四个结论：②；③；④．
其中，正确结论的序号是　　．
8．已知、为锐角三角形的两个内角，，，则　　．
9．已知函数，，．
（1）求函数的值域；
（2）若方程在区间，上至少有两个不同的解，求的取值范围．
10．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
举一反三
一．选择题
1．若，则　　
A． B． C． D．
2．已知函数，则下列结论正确的是　　
A．的最小正周期为 B．的最大值为
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
3．若，则　　
A． B． C． D．
4．（多选）下列四个等式，其中正确的是　　
A．
B．
C．
D．
5．（多选）已知函数，，有以下结论　　
A．的图象关于直线轴对称
B．在区间上单调递减
C．的图象关于直线轴对称
D．的最大值为
二．填空题
6．若，则的值为　　．
7．函数的最小值为　　．
8．求　　．
9．　　．
10．已知，，则　　．
三．解答题
11．已知函数．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大值．
12．已知，是方程的两根，
（1）求；
（2）若，求．
13．由倍角公式，可知可以表示为仅含的二次多项式．
（1）类比公式的推导方法，试用仅含有的多项式表示；
（2）已知，试结合第（1）问的结论，求出的值．
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