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第十二讲 平面与平面的位置关系
知识梳理
1两个平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β α∥β；
(3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′ α∥β.
2．两个平面平行的性质定理
(1)α∥β，aα a∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b a∥b.
3.平面与平面垂直的判定与性质
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法.②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的性质：
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
二．典型例题
例1．（1）已知平面平面，，，那么下列结论正确的是　　
A．，是平行直线 B．，是异面直线
C．，是共面直线 D．，是不相交直线
（2）设，为两个不重合的平面，能使成立的是　　
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．内有无数个点到的距离相等
D．，垂直于同一平面
（3）如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是　　
A． B．
C． D．
变式1.下列命题中不正确的是　　
A．平面平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面
B．平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
例2.（1）平面平面，，，点，，直线，相交于，已知，，，则　　．
（2）已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且．
①求证：平面；
②若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．
变式2．如图，已知，是平面，外的一点，直线，分别与、相交于、和、．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长．
例3.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面，点为棱的中点．
（1）求证：平面
（2）直线上是否存在一点，使平面平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
变式3．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，，，分别是，，的中点．
求证：（1）；
（2）平面平面．
变式4.如图，在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，为的中点．
（1）图1中，点是的中点，求异面直线，所成角的余弦值；
（2）图2中，点，分别是，的中点，点在线段上，，求证：平面平面．
例4.如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例5.如图，在正四棱台中，，，，、分别是、的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求证：平面．
例6.如图1，在直角梯形中，，，把沿折起到的位置，使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，如图2所示，点，分别为线段，的中点．
求证：平面平面；
求直线与平面
在棱上是否存在一点，使得到点，，，四点的距离相等？请说明理由．
例7.在正四面体中，已知，分别是，上的点（不含端点），则　　
A．不存在，，使得
B．存在，使得
C．存在，使得平面
D．存在，，使得平面平面
（2）在三棱锥中，若，，那么必有　　
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
变式5.如图，正四面体中，，分别是线段的三等分点，是线段的中点，是直线的动点，则　　
A．存在点，使成立
B．存在点，使成立
C．不存在点，使平面平面成立
D．不存在点，使平面平面成
例8.（1）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．
①求证：；
②求二面角的大小．
变式6．如图所示，是由具有公共边的两块直角三角板和组成的三角形，其中，，现将沿斜边翻折成△不在平面内）．若，分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题正确的是　　
A．在线段上存在一定点，使得的长度为定值
B．点在某个球面上运动
C．存在某个位置，使得直线与所成角为
例9．（1）在四面体中，，，．
①求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
②设底面为，另外三个面与底面所形成的二面角为，，．求证：．
（2）．已知为直角三角形，且，点，分别在边，上．现在以为折痕，将翻折至△的位置，设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
例10．如图，在三棱锥中，面，，，为棱的中点，点在棱上．
①若，求证：平面；
②求证：平面平面；
③若二面角的大小为，求异面直线与所成角的余弦值．
变式7．如图，过底面是矩形的四棱锥的顶点作，使，且平面平面，若点在上且满足．求证：
①平面；
②平面平面．
例11.如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
变式8.如图，三棱柱中，平面，，，以，为邻边作平行四边形，连接，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若二面角为．
①求证：平面平面；
②求直线与平面所成角的正切值．
课堂练习
1．在正方体中，，，分别是，，的中点，给出下列四个推断：
①平面； ②平面；
③平面； ④平面平面．
其中推断正确的序号是　　
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．四面体中，，其余棱长均为4，、分别为、上的点（不含端点），则　　
A．不存在，使得 B．存在，使得
C．存在，使得平面 D．存在，，使得平面平面
3．如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，当点在　　位置时，平面平面．
A．与重合 B．与重合
C．为的三等分点 D．为的中点
4．（多选）对于不重合的两个平面与，给定下列条件中，可以判定与平行的条件有　　
A．存在平面，使得，都平行于
B．存在平面，使得，都垂直于
C．内有不共线的三点到的距离相等
D．存在异面直线，，使得，，，
5．（多选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是　　
A．为的中点 B．与所成的角为
C．平面平面 D．点与点到平面的距离相等
6．如图，已知矩形的长和宽分别是4，3，，，沿对角线把折起，使二面角的大小为，则线段的长为　　．
7．设的三个顶点在平面的同侧，平面于点，平面于点，平面于点，、分别是和△的重心，若，，，则　　．
8．如图，四棱锥中，，，为的中点．
（1）求证：平面．
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在请说明理由．
9．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等．，，分别为棱，，的中点．
（1）证明：平面
（2）证明：平面平面；
（3）求直线与直线所成角的正弦值．
10．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，平面平面，是的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）当是的中点时，过，，的平面去截四棱锥，求这个截面的面积．
举一反三
一．选择题
1．如图，是一个四棱锥，平面，且四边形为矩形，则图中互相垂直的平面共有　　
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
2．已知棱长为的正方体中，，，分别是、、的中点，又、分别在线段，上，且，，设面面，则下列结论中不成立的是　　
A．面 B．
C．面与面垂直 D．当变化时，是定直线
3．已知、、为三个不同的平面，为一条直线，有下列四个命题：①；②；③；④；其中错误的命题是　　
A．①②③④ B．仅①④ C．仅①③④ D．仅②③
4．（多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是　　
A．在棱上存在点，使平面
B．异面直线与所成的角为
C．二面角的大小为
D．平面
5．（多选）如图所示，为圆的直径，点在圆周上（异于点，，直线垂直于圆所在的
平面，点为线段的中点，以下四个命题正确的是　　
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面平面
二．填空题
6．如图所示，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕．使和折成互相垂直的两个平面，则　　．
7．如图所示，平面平面，在与的交线上取线段，，分别在平面和平面内，，，，，则线段的长度为　　．
8．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则　　．
三．解答题
9．如图1，等腰梯形中，，，，是的中点．将沿折起后如图2，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）判断能否垂直于平面，并说明理由．
10．如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，，已知，，，四边形为矩形，平面平面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
11．如图，在中，，，，，分别是，上的点，且，将沿折起到△的位置，使，如图．
（1）求证：平面；
（2）若，为的中点，作出过且与平面平行的截面，并给出证明；
（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
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