资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第十三讲 空间几何体的表面积和体积
一．知识梳理
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
3.求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．
4．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
二．典型例题
例1．（1）已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，则该长方体的表面积为　　
A．32 B．20 C．16 D．12
（2）侧棱长为的正四棱锥，如果底面周长是，则这个棱锥的侧面积是　　
A． B． C． D．
（3）已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是　　
A． B． C． D．
变式1.（1）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为　　
A． B． C． D．
（2）已知圆锥与圆柱的底面半径和高均为，且圆锥与圆柱表面积分别为，，则　　
A． B． C． D．
例2．（1）如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为
　　
A． B． C． D．
（2）正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为　　
A． B． C． D．8
（3）已知直三棱柱的体积为，若，分别在，上，且，，则四棱锥的体积是　　
A． B． C． D．
变式2.在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为　　
A． B． C．24 D．
例3.（1）阳马和鳖臑是《九章算术商功》里对两种锥体的称谓．如图所示，取一个长方体，按如图斜割一分为二，得两个模一样的三棱柱，称为堑堵（如图）．再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马（四棱锥，余下三棱锥称为鳖臑（三棱锥，若将某长方体沿上述切割方法得到一个阳马一个鳖臑，且该阳马的正视图和鳖臑的侧视图如图所示，则可求出该阳马和鳖臑的表面积之和为　　
A． B． C． D．
变式2．在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是刍甍的高，即点到平面的距离．若底面是边长为4的正方形，，且平面，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为　　
A． B． C． D．
例4.（1）已知球的表面积为，球心到球内一点的距离为1，则过点的截面的面积的最小值为　　
A． B． C． D．
（2）体积为的正方体外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
（3）已知球是直三棱柱的外接球，若，，则球的体积为　　
A． B． C． D．
变式4.在三棱锥中，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥的外接球的体积为　　
A． B． C． D．
例5．（1）如图，平面平面，四边形为矩形，，，的面积为，点为线段上一点，当三棱锥的体积为时，　　．
（2）阿基米德，公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为　　
A． B． C． D．
变式5．在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”（如图1中的几何体为一个“方亭” ，图1是上底为，下底为的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为，“刍甍”的体积为，若．（约等于0.618，被称为黄金分割比例，且恰好是方程的一个实根，台体的体积公式为，则　　
A． B． C． D．
例6.已知正方形的边长是4，将沿对角线折到△的位置，连接．在翻折过程中，下列结论错误的是　　
A．平面恒成立
B．三棱锥的外接球的表面积始终是
C．当二面角为时，
D．三棱锥体积的最大值是
例7.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，圆柱的高为．设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
例8．（1）如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于　　．
A．1 B． C．2 D．
（2）如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则截面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为　　
A．2 B． C．4 D．
例9．（1）设为单位立方体上的一点，则的最小值为　　
A． B．
C． D．前三个答案都不对
（2）如图所示，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为　　
A． B． C． D．2
例10.已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为　　
A． B． C． D．
例11.（1）如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是　　
A． B． C． D．
变式7.在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为　　．
三．课堂练习
1．已知在正三棱锥中，为的中点，，则正三棱锥的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为　　
A． B． C． D．
2．有一个无盖正三棱柱铁质容器，棱长均为6，将容器注满水．现在容器上口放置一个铁球，若球体没入水中部分的深度恰为四分之一直径，则球的体积为　　
A． B． C． D．
3．如图，长方体中，，，是侧棱上靠近点的三等分点，则三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．1
4．（多选）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则　　
A．正方体的外接球的表面积为
B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为2
D．线段的最大值为
5．（多选）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有　　
A．
B．点到所在平面的距离为定值
C．三棱锥的体积是正方体体积的
D．异面直线，所成的角为定值
6．如图所示，多面体中对角面是边长为6的正方形，，，且，到平面的距离都是3，则该多面体的体积为　　．
7．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　　．
8．已知圆锥的顶点为，过母线、的截面面积是．若、的夹角是，且与圆锥底面所成的角是，则该圆锥的体积为　　．
9．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且平面平面，，分别为棱，的中点，，，，为侧棱上的三等分点（点靠近点．
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积．
如图①，在中，，，．，两点分别在，上，使得．现将沿折起（如图②，使得平面平面．
（1）证明：；
（2）当为何值时，三棱锥的体积最大？并求出最大值．
四．举一反三
一．选择题
1．平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
2．在三棱锥中，，分别为，的中点，设三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则　　
A． B． C． D．
3．如图，直角梯形中，，，．若将直角梯形绕边旋转一周，所得几何体的体积为　　
A． B． C． D．
4．（多选题）将边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，下列说法正确的是　　
A．三角形是等边三角形
B．
C．三棱锥的体积是
D．三棱锥外接球的体积是
5．（多选）已知三棱锥中，，，，，则　　
A．三棱锥的外接球的体积为
B．三棱锥的外接球的体积为
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的体积的最大值为
二．填空题
6．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为而的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为　　．
7．如图所示，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的体积为　　，其外接球的表面积为　　．
8．如图所示，棱长为1的正方体中，点，，分别是，，的中点，则锥体的体积为　　．
9．如图所示，正方体的棱长为2，是上的一个动点，则的最小值是　　．
10．如图，半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段，分别与球面交于点、，则三棱锥的体积是　　．
三．解答题
11．如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，且，，为的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，四棱锥的体积为，求三棱锥的高．
12．如图，在四棱锥中，，，，为的中点，是棱上的点．
（Ⅰ）设平面平面直线，求证：；
（Ⅱ）若平面底面，，，，三棱锥的体积为，求的值．
13．如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面，为的中点，且．
（1）证明：平面．
（2）若异面直线与所成角的正切值为，求三棱柱的体积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑