资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第一讲 平面向量的概念和运算
一．知识梳理
1、向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ a；λ(a＋b)＝λa＋λb
3、平面向量的数量积
平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.
4、向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
二．典型例题
例1．（1）如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点、．点为小正方形的顶点，且．
①画出所有的向量；
②求的最大值与最小值．
（2）如图，的三边均不相等，，，分别是边，，的中点．
①写出与共线的向量（自身除外）；
②写出与的模相等的向量（自身除外）．
（3）下列关于向量的命题正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
变式1.（1）判断下列各命题是否正确，并说明理由：
①若，则；
②单位向量都相等；
③两相等向量若起点相同，则终点也相同；
④若，，则；
⑤若，则；
⑥由于零向量方向不确定，故它不能与任意向量平行．
例3.（1）如图，为正六边形的中心，作出下列向量．
①；
②；
③．
例4.（1）已知，则的最小值为　　
A． B．1 C．4 D．7
（2）已知平面向量，，，，则的最大值为　　
A．1 B．2 C．3 D．5
（3）已知点是边长为2的正方形所在平面内一点，若，则的最大值是　　
A． B． C． D．
例4.（1）（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是　　
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是面积的
（2）①设，，，，为共线的三点，为平面内的任一点，且，，证明：若，则．
②用①中的结论证明三角形的重心的性质：的三条中线，，相交于一点，且．
变式3.（1）设为所在平面内一点，若，则　　
A． B． C． D．
（2）如图，圆是等边三角形的外接圆，点为劣弧的中点，则　　
A． B． C． D．
例5.（1）已知两个非零向量与不共线，
①若，，，求证：、、三点共线；
②试确定实数，使得与共线；
例6.（1）已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足．
①若是的中点，求的值；
②若、、三点共线，求证：．
变式4.（1）如图所示，在中，，，与相交于点，设，．
①试用向量，表示；
②过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求证：为定值．
例7．（1）已知，，是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是　　
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）已知向量，满足：，，且，则的模等于　　
A． B．2 C． D．3
变式5.（1）（多选）设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有　　
A． B．与不垂直
C． D．
（2）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与向量的夹角为钝角的是　　
A． B． C． D．
例8.（1）已知外接圆的圆心为，若，，则的值是　　
A．18 B．36 C．72 D．144
（2）点，，在所在平面内，满足，，且，则，，依次是的　　
A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心
C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心
（3）已知且，若向量满足，则当向量、的夹角取最小值时，　　
A． B．8 C． D．
例9.（1）已知菱形的边长为2，，点、分别在直线、上，，若，则实数的值为　　
A． B． C． D．
（2）在三角形中，若，，，，为边的三等分点，则　　
A．21 B．18 C．15 D．12
变式6.（1）如图，在中，，，，的延长线交边于点，若，则　　．
（2）如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是　　．
（3）如图，在平面四边形中，已知，，，为，的中点，，为对角线，的中点，则的值为　　．
课堂练习
1．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则　　
A． B． C． D．
2.在平行四边形中，若交于点，则　　
A． B．
C． D．
3．已知向量，的夹角为，，则　　
A． B． C．7 D．13
4．（多选）如图，在梯形中，，，与相交于点，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
5．（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是　　
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是面积的
6．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，，其中，，则的最小值是　　．
7．平面向量，，两两所成角相等，且，，，则为　　．
8．如图所示，点，，是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，，则　　．
9．如图，其中，，，分别是边，上的点，且，，设与相交于，用向量，表示．
10．设的外心为，以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．
（1）若，，，用、、表示；
（2）求证：；
（3）设中，，，外接圆半径为，用表示．（外心是三角形外接圆的圆心）
举一反三
一．选择题
1．在中，已知，，点满足，其中满足，则的最小值为　　
A． B． C． D．
2．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则　　
A． B．
C． D．
3．已知非零向量，满足，，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
4．（多选）已知平面向量、、为三个单位向量，且，若，则的可能取值为　　
A．0 B．1 C． D．2
5．（多选）下列说法正确的有　　
A．
B．、为实数，若，则与共线
C．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
D．若平面内有四个点、、、，则必有
二．填空题
6．在中，，，，则　　．
7．等腰直角中，，点是的中点，为中点，则　　．
8．如图，图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，，，，是其中四个圆的圆心，则　　．
9．对下列命题：
（1）若向量与同向，且，则；
（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；
（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；
（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．
其中正确的命题的个数为　　
10．如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为　　．
三．解答题
11．1．设向量，的夹角为且，如果，，．
（1）证明：、、三点共线．
（2）试确定实数的值，使的取值满足向量与向量垂直．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑