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第七讲 解三角形应用
一．知识梳理
1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的夹角叫仰角，目标视线在水平视线的下方夹角叫俯角(如图①)．
2．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
3．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
4．三角形的面积公式：
(为三角形外接圆半径，为三角形内切圆半径，)．
5．坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比．
典型例题
例1.（1）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行．测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A、B的高度差约为（　　）
（参考数据：sin10°≈0.1736，sin70°≈0.9397，sin80°≈0.9848）
A．10米 B．9.66米 C．9.40米 D．8.66米
（2）如图，为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑直径为10mm，若所用钢珠的直径为26mm，则凹坑深度为（　　）
A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm
变式1.（1）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为（　　）
A．65 米 B．74 米 C．83米 D．92米
（2）南山中学红豆园内的红豆树已有百年历史．百年红豆树，十年树一花．时光流转，红豆花开，读书爱国的气息随这花开风起．如图，小明为了测量红豆树高度，他在正西方向选取与红豆树根部C在同一水平面的A、B两点，在A点测得红豆树根部C在西偏北30°的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
例2．（1）一艘海轮从A处出发，在A处观察灯塔C，其方向是南偏东85°，海轮以每小时30千米的速度沿南偏东40°方向直线航行，20分钟后到达B处，在B处观察灯塔C，其方向是北偏东65°，则B，C之间的距离是（　　）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
（2）一艘海盗船从C处以30km/h的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C点北偏东20°距离为30km的A处有一海警船，沿着南偏东10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为（　　）
A．30km/h B．40km/h C．50km/h D．30km/h
变式2.（1）某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距50nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息通知在A南偏东30°，且与A处相距25nmile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度？（　　）
A．30° B．45° C．90° D．60°
（2）为测出湖面上小船的速度（假设小船保持匀速），现采用如下方法：在岸边设置相距30米的两个观察点A，B，当小船在C处时，测得∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，经过5秒后，小船直线航行到D处，测得∠ABD＝45°，∠BAD＝75°，则该小船的航行速度是（　　）
A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒
例3.（1）如图，在△ABC中，角C的平分线交AB于D，且CD＝AD．若AC＝3，BC＝2，则AB＝　　．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点．
①证明：CD＝；
②已知，求△ABC的面积．
例4.如图，一条铁路线MON经过某城市O，测得tan∠MON＝﹣3，在郊区A，B处分别建设东车站与北车站，其中东站A建于铁路OM上，且OA＝6km，北站B建于铁路ON上，同时在两站之间建设一条货运公路，使直线AB经过货物中转站Q，已知中转站Q与铁路线OM，ON的垂直距离分别为2km，km．
（1）若一货运汽车以36km/h的速度行驶，则该汽车从车站A到车站B需要多长时间？
（2）若在中转站Q的正北方向6km处有一个工厂P，厂方决定在公路AB上新建一个货物中转站C以及配套的公路PC，使得工厂P至公路AB的距离最短，试确定中转站C的位置．
例5.扇形AOB中心角为60°，所在圆半径为，它按如图（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．
（1）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设∠EOB＝θ；
（2）点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设∠EOM＝φ；
试研究（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？
例6.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝π，∠ACD＝，路宽AD＝18米．设．
（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；
（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
例7.如图，某市三地A，B，C有直道互通．现甲交警沿路线AB、乙交警沿路线ACB同时从A地出发，匀速前往B地进行巡逻，并在B地会合后再去执行其他任务．已知AB＝10km，AC＝6km，BC＝8km，甲的巡逻速度为5km/h，乙的巡逻速度为10km/h．
（Ⅰ）求乙到达C地这一时刻的甲、乙两交警之间的距离；
（Ⅱ）已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km，从乙到达C地这一时刻算起，求经过多长时间，甲、乙方可通过对讲机取得联系．
例8.如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC．为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥．为了使桥的总长度l（即△ABC的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：
方案1：设∠ABD＝α，求出l关于α的函数解析式f（α），并求出f（α）的最小值．
方案2：设EC＝x米，求出l关于x的函数解析式g（x），并求出g（x）的最小值．
请从以上两种方案中自选一种解答．（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）
例9.如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA＝3km，OB＝3km，∠AOB＝90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边A，B上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网．
（1）当AM＝km时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？
例10.如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方．经测量得知：AD＝6米，AE＝6米，AP＝2米，∠MPN＝．记∠EPM＝θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．
（1）分别求线段PM、PN关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；
（2）求S的最小值．
三．举一反三
1．某人向正东走了后，右转，又走了，此时距离出发点，则　　
A． B． C．或 D．3
2．一艘轮船按照北偏东方向，以18海里时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为　　
A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里
3．凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．如图，在凸四边形中，，，，，，则对角线的长为　　
A． B． C． D．
4．（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是　　
A．的最小值是4 B．的最大值是4
C．的最小值是 D．的最小值是
5．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是　　
A． 是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
6．如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距离为　　海里．
7．数学家研究发现，对于任意的，，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数，可以用这个展开式来求的近似值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心的仰角，气球的视角，则该气球的高约为　　米．（精确到1米）
8．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD＝4，且△ACD为正三角形，则△ABC面积的最大值为　　，四边形ABCD的面积为　　．（注：圆内接凸四边形对角互补）
9．如图，海岛、相距海里，上午9点整，有一客轮在海岛的北偏西，且距海岛海里的处，沿直线方向匀速开往海岛，在海岛停留10分钟后前往市，上午，测得客轮位于海岛的北偏西，且距海岛海里的处，此时小张从海岛乘坐速度为海里小时的小艇沿直线方向前往岛换成客轮去往市，其中，．
（1）问小张能否乘上这班客轮？说明理由；
（2）现测得，，已知速度为的小艇每小时的费用为元，若小张由海岛直接乘小艇去往市，则至少需要多少费用？（结果近似到元）
10．为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形区域为生活区，为横穿村庄的一条道路，区域为休闲公园，，，的外接圆直径为．
（Ⅰ）求道路的长；
（Ⅱ）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值．
四．举一反三
一．选择题
1．为测出湖面上小船的速度（假设小船保持匀速），现采用如下方法：在岸边设置相距30米的两个观察点，，当小船在处时，测得，，经过5秒后，小船直线航行到处，测得，，则该小船的航行速度是　　
A．米秒 B．米秒 C．米秒 D．米秒
2．在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于，且将三角形的面积分成两部分，则　　
A． B． C． D．
3．为了测量河对岸两地、之间的距离，先在河这岸选择一条基线，测得米，再测得，，，，据此计算、两地之间的距离是　　
A． B． C． D．
4．（多选）已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是　　
A．
B． 的面积为
C．
D．在的外接圆上，则的最大值为
5．（多选）在中，在线段上，且，，若，，则　　
A． B．的面积为8
C．的周长为 D．为锐角三角形
二．填空题
6．《周髀算经》是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高”（太阳高度）的方法．大意为：“在，两处立表（古代测望用的杆子，即“髀” ，设表高均为，测得表距为，两表日影长度差为，则可测算出日高”由所学知识知，日高　　．（用，，表示）
7．如图，有一壁画，最高点处离地面，最低点处离地面，若从离地高的处观赏它，则离墙=　　时，视角最大．
8．某小区拟对如图一直角区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形，在其内建造文化景观．已知，，则面积最小值为　　
9．在中，已知，边上的中线，则的值为　　．
10．的三边长是三个连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，则此三角形的面积为　　．
三．解答题
15．某公园有一矩形空地ABCD，AB＝2，，市政部门欲在该空地上建造一花圃，其形状是以H为直角顶点的Rt△HEF，其中H是AB的中点，E，F分别落在线段BC和线段AD上（如图）．
（1）记∠BHE为θ，Rt△EHF的周长为l，求l关于θ的函数关系式；
（2）如何设计才能使Rt△EHF的周长最小？
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