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判别式解答题专项练习
1.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
2.关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
3.已知方程ax2+4x﹣1=0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？
5.已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
6.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
8.已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
9.已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
10.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a=，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．
11.已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
12.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0，其中a，b，c分別为△ABC三边长．
（1）若方程有两个相等的实数根．试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
13.已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有实根，
（1）求k的范围；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两条边b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
14.已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
15.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
16.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣6x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求常数m的值．
17.已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．
18.若关于x的方程 x2+4x﹣a+3=0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．
19.已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
21.已知关于x的一元二次方程x2=（2k+1）x﹣k2+2有两个实数根为x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应k的值，并求出最小值．
判别式大题专题答案
1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，即4k＞﹣9，解得；
（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；
如果k=﹣1，原方程为x2﹣3x+1=0，解得，，．
（如果k=﹣2，原方程为x2﹣3x+2=0，解得，x1=1，x2=2）
2.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0，解得：m＞﹣．
（2）m=1，此时原方程为x2+3x=0，
即x（x+3）=0，
解得：x1=0，x2=﹣3．
3.已知方程ax2+4x﹣1=0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=16+4a，且a≠0
①：当△＞0时有两个不相等的实数根，∴16+4a＞0，∴a＞﹣4且a≠0；
②：当△=0时有两个相等的实数根，∴16+4a=0，∴a=﹣4；
③：当△＜0时没有实数根，∴16+4a＜0，∴a＜﹣4．
4.已知关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0，问当k取什么值时，
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
【解答】解：∵a=2，b=﹣（4k+1），c=2k2﹣1，
∴△=b2﹣4ac=[﹣（4k+1）]2﹣4×2×（2k2﹣1）=8k+9，
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即8k+9＞0，
解得k＞．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
即8k+9=0，
解得k=．
（3）∵方程没有实数根，
∴△＜0，
即8k+9＜0，
解得k＜．
5.已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
【解答】（1）证明：△=[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k），=k2﹣2k+1，=（k﹣1）2，
∵无论k取什么实数值，（k﹣1）2≥0，∴△≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0，
因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）=0，解得：x1=2k，x2=k+1，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，
当a、b为腰，则a=b=6，而a+b＞c，a﹣b＜c，所以三角形的周长为：6+6+4=16；
当b、c为腰，则k+1=2k，解得k=1，
∴b=c=2，因为6，2，2不构成三角形，∴所以这种情况不成立；
当a、c为腰 k+1=6 则k=5，
∴b=10，∴三角形的周长为：6+6+10=22．综上，三角形的周长为16或22．
6.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
　
7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【解答】（1）证明：∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
综合上述，k的值为5或4．
8.已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣）
=4k2+4k+1﹣16k+8，
=4k2﹣12k+9
=（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k=，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；
当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，解得k=，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，
所以△ABC的周长=4+4+2=10．
9.（2012 绵阳）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；
该直角三角形的周长为1+3+=4+；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．
10已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a=，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．
【解答】（1）证明：∵△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=（2k﹣3）2+4，
∴无论k取什么实数值，总有=（2k﹣3）2+4＞0，即△＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0的两个根，得
∴b+c=2k+1，bc=4k﹣3，
又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得
b2+c2=a2，
∴（b+c）2﹣2bc=（）2，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，
整理后，得k2﹣k﹣6=0，解这个方程，得k=﹣2或k=3，
当k=﹣2时，b+c=﹣4+1=﹣3＜0，不符合题意，舍去，当k=3时，b+c=2×3+1=7，符合题意，故k=3．
12.解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0可整理为2ax2﹣2ax=0，
∴x2﹣x=0，
解得：x1=0，x2=1．
13.解：（1）∵原方程有实数根
∴△=[2（k+1）2﹣4k（k﹣1）]≥0，
∴k≥﹣，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠0，
∴k的取值范围是：k≥﹣且k≠0；
（2）①当b或c有一个是1时，将x=1代入原方程得，（4分）
将代入原方程并化为一般式x2﹣6x+5=0，
解得方程另一根为5而1，1，5构不成三角形，故舍去；（5分）
②当b，c为腰时，即△=0，此时（6分）
∴原方程可化为：﹣x2+x﹣=0，
解得x1=x2=2，（7分）
∴△ABC的周长为5．（8分）
14.（1）证明：∵m≠0，
△=（m+2）2﹣4m×2
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，
x﹣1=0或mx﹣2=0，
∴x1=1，x2=，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
15.解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，
解得：k＜；
（2）由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k为完全平方数，
则k的值为2．
16.解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×k=36﹣4k≥0
∴k≤9
（2）∵k是符合条件的最大整数且k≤9
∴k=9
当k=9时，方程x2﹣6x+9=0的根为x1=x2=3；
把x=3代入方程x2+mx﹣1=0得9+3m﹣1=0
∴m=
17.解：（1）∵方程x2﹣4x+k=0有两个实数根，
∴△≥0，
即16﹣4k≥0，
解得k≤4；
（2）∵k≤4，且k是符合条件的最大整数，
∴k=4，
解方程x2﹣4x+4=0得x=2，
把x=2代入x2+mx﹣1=0中，可得
4+2m﹣1=0，
解得m=﹣．
18.解：（1）△=42﹣4（3﹣a）=4+4a．
∵该方程有实数根，
∴4+4a≥0．
解得a≥﹣1．
（2）当a为符合条件的最小整数时，a=﹣1．
此时方程化为x2+4x+4=0，方程的根为x1=x2=﹣2．
19.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=﹣1，
∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；
把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．
20.解：∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即b2﹣4a=0，
b2=4a，
∵===
∵a≠0，
∴===4．
21.解：（1）将原方程整理为x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（1分）
∵原方程有两个实数根，
∴（4分）
解得；（6分）
（2）∵x1，x2为x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0的两根，
∴y=x1+x2=2k+1，且（8分）
因而y随k的增大而增大，故当k=时，y有最小值．（10分）
故答案为：，﹣．

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