资源简介

第02讲 常用逻辑用语 (精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
第五部分：高考真题感悟
第六部分：常用逻辑用语（精练）
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
（3）是的充要条件是的充要条件；
（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
1．（2022·全国·高三专题练习）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件
故选：B
2．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））命题“，”的否定是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“，”的否定是：，
故选：D
3．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
命题“，”为特称量词命题，其否定为，；
故选：D
4．（2022·湖南益阳·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
因为，
所以，
显然由推不出，
由可推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
5．（2022·湖南·高一课时练习）使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．x＞0 B．x＜0或x＞4
C．0＜x＜3 D．x＜0
【答案】A
设p: 0＜x＜4，所求的命题为q，则原表述可以改写为q是p的必要不充分条件，即q推不出p，但p q.，显然由: 0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，
故选：A
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
1．（2022·河北石家庄·高一期末）祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知，而不能推出，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则是的必要不充分条件
故选：C
2．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））若，，则p为q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
对于p，如果x=1.5，则q不能成立，
如果 ，则x必然在 区间内，
因此p为q的必要不充分条件；
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
当时，由，故充分性成立，当时，比如，满足，但，故必要性不成立.
故选：A
4．（2022·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
解不等式可得，，
又，反之不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
5．（2022·四川省通江中学高二开学考试（理））“”是“函数－kx－k的值恒为正值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
函数－kx－k的值恒为正值，
则，
∵，
∴“”是“函数－kx－k的值恒为正值”的必要不充分条件.
故选：B.
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
1．（2022·江西新余·高一期末）已知”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．1
【答案】D
由，得或，
因为”的必要不充分条件是“或”，
所以，解得，
所以实数a的最大值为1，
故选：D
2．（2022·山西吕梁·高一期末）函数在上单调递增的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数的单调递增区间是，依题意，，于是得，解得，
所以函数在上单调递增的充分不必要条件是.
故选：B
3．（2022·山东聊城·高一期末）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
由题意得，，
由是成立的一个充分而不必要条件，得，
即解得，，
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知命题：，命题：，若命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
【答案】##（4，6]
解析：移项整理可得，解得．
得．
由题意得：且，从而得出．
故答案为：
5．（2022·广东珠海·高一期末）设集合，语句，语句.
(1)当时，求集合与集合的交集；
(2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)由题设，，当时，
所以；
(2)由题设，，且，
若是的必要不充分条件，则，又a为正实数，即，解得，
故的取值范围为.
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
1．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设p：，q：，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
解不等式得：，即，显然，
所以p是q成立的必要不充分条件.
故选：C
2．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）设则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
解：因为，所以，解得；
由，即，解得；所以与互相不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件；
故选：D
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．且 B．
C． D．
【答案】D
因为，故不等式的解集为且，
故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，
显然，满足题意的只有.
故选：D.
4．（2022·广东广州·高一期末）使不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解不等式得：，
对于A，因，即是成立的充分不必要条件，A正确；
对于B，是成立的充要条件，B不正确；
对于C，因，且，
则是成立的不充分不必要条件，C不正确；
对于D，因，则是成立的必要不充分条件，D不正确.
故选：A
5．（2022·安徽黄山·一模（理））命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
命题”为假命题，命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，，故方程的解得：，
故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，故选项B满足题意.故选：B
6．（2022·江西抚州·高二期末（文））已知，，．
若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】．
因是的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，于是得，解得，所以实数m的取值范围是．
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
1．（2021·全国·高一单元测试）下列四个命题中，是真命题的为（ ）
A．任意，有 B．任意，有
C．存在，使 D．存在，使
【答案】C
由于对任意，都有，因而有，故A为假命题．
由于，当时，不成立，故B为假命题．
由于，当时，，故C为真命题．
由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题．
故选：C
2．（2021·北京四中高三期中）下列命题中的假命题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：对A：取，则成立，故选项A正确；
对B：当时，没有意义，故选项B错误；
对C：取，则成了，故选项C正确；
对D：由指数函数的性质有成立，故选项D正确.
故选：B.
3．（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
【答案】B
选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；
选项B，，，故该选项正确；
选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；
选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.
故选：B.
4．（2020·湖南·长沙铁路第一中学高二阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A选项，当且，，A选项错误；
对于B选项，当时，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，构造函数，其中，则，
所以，函数在区间上单调递增，则，
所以，，，D选项正确.
故选：D.
5．（2017·全国·高一课时练习（文））下列命题中的假命题的是
A． B．
C． D．
【答案】B
当时，，显然选项B错误，故选B.
考点：特称命题与全称命题的真假判断.
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
1．（2022·河南许昌·高二期末（文））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
∵全称命题的否定是特称命题，即先将量词“”改为量词“”，再将结论否定，
∴“，”的否定为“，”，
故选：.
2．（2020·江西南昌·高二期末（文））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
由得：或，所以的否定是.
所以，命题的否定是“，”.
故选：B.
3．（2021·河南·马店第一高级中学高二阶段练习（理））命题“，都有”的否定是___________.
【答案】，有
题“，都有”的否定是：．
故答案为：．
4．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）命题“”的否定是___________.
【答案】，.
特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可，命题“，”的否定是“，”，
故答案为：，.
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意可知，命题“，”是真命题.
当时，则有，不合乎题意；
当时，由，可得，则有，
，当且仅当时，等号成立，
所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
2．（2022·江苏·高一期末）已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
先求当命题：，为真命题时的的取值范围
（1）若，则不等式等价为，对于不成立，
（2）若不为0，则，解得，
∴命题为真命题的的取值范围为，
∴命题为假命题的的取值范围是.
故选：C
3．（2022·河南濮阳·高一期末）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，
所以，
解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）存在，使得，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．-1
【答案】C
由不等式，可化为，
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以函数的最大值为，
要使得存在，使得，则，
则的最大值为.
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））命题“”为真，则实数a的范围是__________
【答案】
由题意知：不等式对恒成立，
当时，可得，恒成立满足；
当时，若不等式恒成立则需，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：
（1）先分析的情况；
（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.
6．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.
【答案】
当，有，
则，，使得成立，
等价于，，
即，在上恒成立，
参变分离可得：，
当，，当时取等，
所以，
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）命题“，使得不等式”是真命题，则m的取值范围是________.
【答案】
解：因为命题“，使得不等式”是真命题
当时，恒成立，满足条件；
当时，则解得
综上可得即
故答案为：
8．（2022·河南·高三阶段练习（文））命题“∈R，使－（m＋3）x0＋m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为__________．
【答案】
若，使是假命题，
则，使是真命题，
当转化，不合题意；
当，使即恒成立，即，
解得或（舍），所以，
故答案为：
9．（2022·江西鹰潭·高二期末（理））命题，恒成立是假命题，则实数a的取值范围是________________．
【答案】
∵ 命题，恒成立是假命题，
∴ ，，
∴ ，，
又函数在为减函数，
∴ ，
∴ ，
∴ 实数a的取值范围是,
故答案为：.
10．（2022·全国·高三专题练习）若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
【答案】
存在x∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，
设，，
易得y＝f(x)在[﹣1，1]为减函数，
所以，即，即，
即，所以，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：将问题转化为在上有解进行求解是解题关键.
1．（2021·全国·高考真题（理））已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．
2．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2021·湖南·高考真题）“x=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
将代入中可得,即“”是“”的充分条件；
由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件,
故选:A
4．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.
5．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
6．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且 B．或
C．， D．，
【答案】D
A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
一、单选题
1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））设命题，，则为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
因为命题，，所以为，.
故选：B.
2．（2022·山西·高一阶段练习）若“，”是假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为 “，”是假命题，
所以 “，”是真命题，
所以当时，成立；
当时，则，
解得，
综上：，
所以a的取值范围为，
故选：C
3．（2022·陕西安康·高二期末（理））已知命题“存在，使得”是假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为命题“存在，使得”是假命题，所以命题“对任意，都有”是真命题.令函数，显然在上单调递增，则，故，即.
故选：C
4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（文））已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
因为 ，但，故不充分；
因为，
所以当时，，故必要；
故选:B
5．（2022·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
由绝对值三角不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，而，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．的增区间为
B．“”是“-4x+3=0”的充分不必要条件
C．若集合中只有两个子集，则
D．对于命题p：.存在，使得，则p：任意，均有
【答案】C
A.令，由，解得，
由二次函数的性质知：t在上递增，在上递减，又在上递增，由复合函数的单调性知：在上递增，故正确；
B. 当时，-4x+3=0成立，故充分，当-4x+3=0成立时，解得或，故不必要，故正确；
C.若集合中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程有一根，当时，，当时，，解得，所以或，故错误；
D.因为命题p：.存在，使得是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即p任意，均有，故正确；
故选：C
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，
若在上不单调，令，
对称轴方程为，则函数与
轴在上有交点．当时，显然不成立；
当时，有解得或．
四个选项中的范围，只有为的真子集，
∴在上不单调的一个充分不必要条件是.
故选：C．
8．（2022·河南焦作·高一期末）“函数有零点”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由得，
因为，所以，
所以，所以，
所以.
故选：B
二、填空题
9．（2022·全国·模拟预测）已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________.
【答案】
由，得,
令，，
“”是“”成立的必要不充分条件，.
（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.
故答案为：中任何一个均可.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知，若￢q是￢p的必要不充分条件，则m的取值范围是__．
【答案】．
因为￢q是￢p的必要不充分条件，所以p是q的必要不充分条件，
由不等式，可得，
由不等式，可得，
所以，
因为p是q的必要不充分条件，所以，解得，
故实数m的取值范围是．
故答案为：．
11．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，，若对，，使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
因为若对，，使得，
所以，
因为的对称轴为，
所以，
因为，，
所以
所以，
即
所以
12．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
因为，
所以可化为：
，
整理得：，
将代入上式整理得：，
令，，则，不等式可化为：
，，
所以存在实数，使得成立可转化成：
存在，使得成立，
由函数，可得：，
所以，解得：.
三、解答题
13．（2022·辽宁·育明高中高一期末）已知集合．
(1)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)设命题，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)依题意，
，
，，所以.
由于是的充分不必要条件，
所以.
(2)由于命题为假命题，
所以为真命题，
即为真命题，
构造函数，是开口向上的二次函数，
所以，即.
14．（2022·全国·高三专题练习）在①，，②，使得区间，满足这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
已知命题p:，，命题q：______，p，q都是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】答案见解析
选条件①，由命题p为真命题，得不等式在上恒成立，
因为，则，即，
由命题q为真命题，即方程有解，则，解得或，
又p，q都是真命题，从而有或，
所以实数a的取值范围是.
选条件②，由命题p为真命题，得不等式在上恒成立，
因为，则，即，
因命题q为真命题，由区间得，又，即或，解得或，
又p，q都是真命题，从而有，
所以实数a的取值范围是.
15．（2022·重庆复旦中学高一开学考试）在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合，
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，
(1)当时，集合，，
所以；
(2)若选择①A∪B＝B，则，
因为，所以，
又，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，
因为，所以， 又，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
若选择③，，
因为，，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围是．
16．（2022·上海闵行·高一期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号 概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.
(1)已知，判断和是不是倒函数；（不需要说明理由）
(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.
【答案】(1)是倒函数，不是倒函数；
(2)没有正整数解，理由见解析；
(3)证明见解析.
(1)对于，定义域为R，显然定义域中任意实数有成立，又，
∴是倒函数，
对于，定义域为，故当时，不符合倒函数的定义，
∴不是倒函数.
(2)令，则，
∴倒函数的定义，可得，即，
∴，要使有正整数解，则，
当时，；当时，；
∴没有正整数解.
(3)由题设，，又是上的倒函数，
∴，故，
充分性：当时，且，又在上是严格增函数，
∴，，故成立；
必要性：当时，有，又恒大于0，
∴，即，在上是严格增函数，
∴，即有成立；
综上，是的充要条件.第02讲 常用逻辑用语 (精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
第五部分：高考真题感悟
第六部分：常用逻辑用语（精练）
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
（3）是的充要条件是的充要条件；
（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
1．（2022·全国·高三专题练习）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））命题“，”的否定是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2022·湖南益阳·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（2022·湖南·高一课时练习）使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．x＞0 B．x＜0或x＞4
C．0＜x＜3 D．x＜0
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
1．（2022·河北石家庄·高一期末）祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））若，，则p为q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·四川省通江中学高二开学考试（理））“”是“函数－kx－k的值恒为正值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
1．（2022·江西新余·高一期末）已知”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．1
2．（2022·山西吕梁·高一期末）函数在上单调递增的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东聊城·高一期末）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知命题：，命题：，若命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
5．（2022·广东珠海·高一期末）设集合，语句，语句.
(1)当时，求集合与集合的交集；
(2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围.
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
1．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设p：，q：，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）设则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．且 B．
C． D．
4．（2022·广东广州·高一期末）使不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·安徽黄山·一模（理））命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·江西抚州·高二期末（文））已知，，．
若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
1．（2021·全国·高一单元测试）下列四个命题中，是真命题的为（ ）
A．任意，有 B．任意，有
C．存在，使 D．存在，使
2．（2021·北京四中高三期中）下列命题中的假命题是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
4．（2020·湖南·长沙铁路第一中学高二阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2017·全国·高一课时练习（文））下列命题中的假命题的是
A． B．
C． D．
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
1．（2022·河南许昌·高二期末（文））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2020·江西南昌·高二期末（文））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2021·河南·马店第一高级中学高二阶段练习（理））命题“，都有”的否定是___________.
4．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）命题“”的否定是___________.
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高一期末）已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南濮阳·高一期末）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）存在，使得，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．-1
5．（2022·全国·高三专题练习（文））命题“”为真，则实数a的范围是__________
6．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.
7．（2022·全国·高三专题练习）命题“，使得不等式”是真命题，则m的取值范围是________.
8．（2022·河南·高三阶段练习（文））命题“∈R，使－（m＋3）x0＋m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为__________．
9．（2022·江西鹰潭·高二期末（理））命题，恒成立是假命题，则实数a的取值范围是________________．
10．（2022·全国·高三专题练习）若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
1．（2021·全国·高考真题（理））已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·湖南·高考真题）“x=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且 B．或
C．， D．，
一、单选题
1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））设命题，，则为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022·山西·高一阶段练习）若“，”是假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西安康·高二期末（理））已知命题“存在，使得”是假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（文））已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．的增区间为
B．“”是“-4x+3=0”的充分不必要条件
C．若集合中只有两个子集，则
D．对于命题p：.存在，使得，则p：任意，均有
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·河南焦作·高一期末）“函数有零点”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·全国·模拟预测）已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知，若￢q是￢p的必要不充分条件，则m的取值范围是__．
11．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，，若对，，使得，则实数的取值范围为______.
12．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_______.
三、解答题
13．（2022·辽宁·育明高中高一期末）已知集合．
(1)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)设命题，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．
14．（2022·全国·高三专题练习）在①，，②，使得区间，满足这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
已知命题p:，，命题q：______，p，q都是真命题，求实数a的取值范围．
15．（2022·重庆复旦中学高一开学考试）在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合，
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
16．（2022·上海闵行·高一期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号 概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.
(1)已知，判断和是不是倒函数；（不需要说明理由）
(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.

展开更多......

收起↑