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第03讲 基本不等式 (精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：利用基本不等式求最值
①凑配法
②“1”的代入法
③二次与二次（一次）商式（换元法）
④条件等式求最值
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
第五部分：高考真题感悟
第六部分：第03讲 基本不等式 （精练）
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当时，的最小值为4 ( )
【答案】错误
解：由得到， 令，则，
因为，所以函数为减函数，当时，，
故答案为：错误.
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知，则的最大值为( )
【答案】正确
∵，
∴，
当且仅当，即时，取等号，
故的最大值为.
故答案为：正确
二、单选题
1．（2022·江西·高一阶段练习）当时，的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
由（当且仅当时等号成立．）
可得当时，的最小值为
故选：D
2．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
因为，所以，，利用基本不等式可得
，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
3．（2022·湖南·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】D
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：D
4．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对A，可取负数，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，等号成立当且仅当，故D正确；故选：D
高频考点一：利用基本不等式求最值
①凑配法
1．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
因为，所以3x－1>0，
所以，
当且仅当，即x =1时等号成立，
故函数的最小值为5．
故选：D．
3．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4
【答案】B
解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值；
故选：B
4．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数满足，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
，
函数，当且仅当，即时取等号．
因此函数的最小值为3．
故选：A．
5．（2022·上海虹口·高一期末）已知，则的最大值为______．
【答案】4
因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最大值为4.
故答案为：4
②“1”的代入法
1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知，均为正数，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．16 B．4 C．24 D．12
【答案】A
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，又因为，所以，，
所以.
故选：A.
2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；
故选：C
3．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知为正实数，且，则的最小值为__________.
【答案】##
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
4．（2022·广西桂林·高一期末）已知，若，则的最小值是___________.
【答案】16
因为，
所以
当且仅当，，即时，取“=”号，
所以的最小值为16.
故答案为：16
5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知，则的最小值为_______________.
【答案】##2.25
解：因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
③二次与二次（一次）商式
1．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D
，
当且仅当,即等号成立.
故选：D.
3．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．
【答案】
因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
4．（2022·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.
【答案】3
由题意，，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值为3.
故答案为：3.
5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））的最大值为______.
【答案】
令，则，，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：.
6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
【答案】（1）3；（2）10.
（1）
∵（当且仅当，即x=1时取等号）
的最小值为3；
（2）令，则，
当且仅当即t=3时取等号
y的最小值为10
④条件等式求最值
1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知，，若，则xy的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，，由基本不等式得：，所以，解得：，当且仅当，即，时，等号成立
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【详解】
,
,当且仅当，即时等号成立，
解得或（舍去），
的最小值为6
故选：D
3．（2022·江苏·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
由可得，
又因为，，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为8，
故选：C
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x，y满足，则的最小值为_________
【答案】8
由题意，正实数，
由（时等号成立），
所以，
所以，即，
解得（舍），，（取最小值）
所以的最小值为.故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为_______.
【答案】##
∵，且满足，
∴，
=，
当且仅当时，的最小值为.
故答案为：
6．（2022·重庆·高一期末）已知，，，则的最小值为______．
【答案】4
解：由题知由基本不等式得，即，
令，，则有，整理得，解得(舍去)或，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
7．（2022·广东广州·高一期末）已知，，且，则的最小值为______．
【答案】6
由，，得（当且仅当时，等号成立），
又因，得，即，
由，，解得，即，故.
因此当时，取最小值6.
故答案为：6.
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
1．（2022·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.
故选：D.
2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
当时，由可得，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
【答案】D
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
因为，，且，
所以，
当且仅当时，等号成立；
又不等式恒成立，
所以只需，即，解得.
故选：A.
【点睛】易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；
故选：C
6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，，，
所以，当且仅当，即，时取等号．
由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即．
故选：D．
7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意，对任意，则有，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，
又由对任意时，恒成立，所以，
即的取值范围为.
故选：A.
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A．72元 B．300元 C．512元 D．816元
【答案】D
设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，
设箱子总造价为f (x)元，
∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，
当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元．
故选：D．
2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】B
由题意得：，
，
当且仅当，即时取等号，
故选：B．
3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ）
A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙
C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙
【答案】A
设提价前价格为1，
则甲提价后的价格为：，
乙提价后价格为：，
丙提价后价格为：，
因为，
所以，
所以，即乙>甲>丙.
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，则“对任意，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
因为对任意，有，而对任意，，
所以，
因为是的真子集，
所以“对任意，”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】A
由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得的黄金.
故选：A.
6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米，当=_______时，矩形花坛的面积最小.
【答案】4
设，则由得，解得，
∴矩形的面积为，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：4．
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
命题p：“，”，即，
设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，
故选：B．
2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
若不等式对一切恒成立，
则，即
，在单调递增，，
所以.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．不存在
【答案】B
令，
函数在上是增函数，
在上也是增函数．
当，即，时，．
故选：B．
4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：，使得，等价于， ，
由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，
又在上单调递增，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
5．（2022·全国·高二课时练习）函数在区间上（ ）
A．有最大值为，最小值为0 B．有最大值为，最小值为0
C．有最大值为，无最小值 D．有最大值为，无最小值
【答案】A
当时，，
设，易知在上单调递增，故.
，，当时，，
双勾函数在上单调递减，在上单调递增，且，
故，，
综上所述：，，即，.
故选：A.
1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
解：因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：B
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
一、单选题
1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
【答案】C
对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D
3．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab满足，则的最小值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．40
【答案】C
正实数ab满足,所以当且仅当时取等号，化简得，所以
故选：C.
4．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由题得对任意恒成立，
(当且仅当时等号成立)
所以.
故选：A
5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度V与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
易知，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为，逆流而上的时间为，则平均速度，由基本不等式可得，而，当且仅当时，两个不等式都取得“=”，而根据题意，于是.
故选：A.
6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：，
①当，即时，，则的最大值为1，符合题意；
②当，即时，
则，
所以，所以，当且仅当时取等号，
此时有最小值，无最大值，与题意矛盾；
③当，即时，
则，
当，即时，
，所以，
不妨设，则，即，
故，此时无最大值，与题意矛盾；
当，即时，
，所以，当且仅当时取等号，
此时有最大值，符合题意；
当，即时，
恒不成立，不符题意，
综上所述，若存在最大值，.
故选：C.
7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（ ）（精确到1米）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
【答案】C
由题意知，，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以大约为10米.
故选：C.
8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：设方程的两个异号的实根分别为，，则，．
又，，，
则（当且仅当，时取“”），
由不等式恒成立，得，解得．
实数的取值范围是．
故选：A．
二、填空题
9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知，，.则的取值范围为__________.
【答案】
因为，，
所以，当且仅当时等号成立，
即，
解得或（舍去）
所以的取值范围为.
故答案为：
10．（2022·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.
【答案】不存在
由已知可得，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.
故答案为：不存在.
11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
【答案】
若在上的最大值，在上的最大值，
由题设，只需即可.
在上，当且仅当时等号成立，
由对勾函数的性质：在上递增，故.
在上，单调递增，则，
所以，可得.
故答案为：.
12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田，其中.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域试种新品种的西红柿，点E在边上，则该矩形区域的面积最大值为___________.
【答案】
设，
，
，，
所以矩形的面积，
当且仅当时等号成立.
故选：
三、解答题
13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
【答案】（1）a=b=6时，它们的和最小，为12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81
设两个正数为a，b
（1），则，当且仅当等号成立，
即a=b=6时，它们的和最小，为12.
（2），则当且仅当等号成立
即a=b=9时，它们的积最大，为81.
14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形的周长为8，将△沿AC向△折叠，AB折过去后交DC于点P，设，求面积的最大值及相应x的值.
【答案】时，最大值为.
由题意，矩形的周长为8，且，
∴，则，∴，
又由，
在中，，
解得，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴面积的最大值为，此时.
15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x的不等式的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.
(1)求M；
(2)若，对，有，求t的最小值.
【答案】(1)(2)1
(1)
当时，满足题意；
当时，要使不等式的解集为R，
必须，解得，
综上可知，所以
(2)
∵，∴，
∴，（当且仅当时取“=”）
∴，
∵，有，∴，
∴，∴或，
又，∴，∴ t的最小值为1.
16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）
(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为
(2)当时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.
(1)
当时，；
当时，；
所以
(2)
当时，，
当时，；
当时，
（当且仅当即时，“”成立）
因为
所以，当时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.
答：（1）2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为.
（2）当时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.第03讲 基本不等式 (精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：利用基本不等式求最值
①凑配法
②“1”的代入法
③二次与二次（一次）商式（换元法）
④条件等式求最值
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
第五部分：高考真题感悟
第六部分：第03讲 基本不等式 （精练）
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当时，的最小值为4 ( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知，则的最大值为( )
二、单选题
1．（2022·江西·高一阶段练习）当时，的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2022·湖南·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
4．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点一：利用基本不等式求最值
①凑配法
1．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4
4．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数满足，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022·上海虹口·高一期末）已知，则的最大值为______．
②“1”的代入法
1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知，均为正数，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．16 B．4 C．24 D．12
2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知为正实数，且，则的最小值为__________.
4．（2022·广西桂林·高一期末）已知，若，则的最小值是___________.
5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知，则的最小值为_______________.
③二次与二次（一次）商式
1．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
3．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．
4．（2022·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.
5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））的最大值为______.
6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
④条件等式求最值
1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知，，若，则xy的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
3．（2022·江苏·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x，y满足，则的最小值为_________
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为_______.
6．（2022·重庆·高一期末）已知，，，则的最小值为______．
7．（2022·广东广州·高一期末）已知，，且，则的最小值为______．
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
1．（2022·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A．72元 B．300元 C．512元 D．816元
2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ）
A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙
C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，则“对任意，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米，当=_______时，矩形花坛的面积最小.
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．不存在
4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）函数在区间上（ ）
A．有最大值为，最小值为0 B．有最大值为，最小值为0
C．有最大值为，无最小值 D．有最大值为，无最小值
1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
一、单选题
1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
3．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab满足，则的最小值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．40
4．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度V与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（ ）（精确到1米）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知，，.则的取值范围为__________.
10．（2022·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.
11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田，其中.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域试种新品种的西红柿，点E在边上，则该矩形区域的面积最大值为___________.
三、解答题
13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形的周长为8，将△沿AC向△折叠，AB折过去后交DC于点P，设，求面积的最大值及相应x的值.
15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x的不等式的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.
(1)求M；
(2)若，对，有，求t的最小值.
16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）
(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

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