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第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
①上恒成立（优选法）
②上恒成立（优选法）
③上恒成立（优选分离变量法）
④上恒成立（优选分离变量法）
⑤已知参数，求取值范围（优选变更主元法）
高频考点五：一元二次不等式的应用
第五部分：高考真题感悟
第六部分：第04讲 一元二次函数（方程，不等式）（精练）
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
不等式 解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数的图象
一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
一、判断题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，关于x的不等式的解集为，则.___________（判断对错）
【答案】正确
【详解】
由不等式的解集为，
∴是二次函数且开口向上，对称轴为x1，且，
∴.
故答案为：正确.
二、单选题
1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知不等式的解集为，则a，b的值是（ ）
A．， B．， C．6，3 D．3，6
【答案】B
由题意知得：和是方程的两个根
可得：，，即，
解得：，
故选：B
2．（2022·江西南昌·一模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，解得：，所以，，解得：或，故，故
故选：C
3．（2022·陕西西安·高二期末（文））若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由于关于的一元二次不等式的解集为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
4．（2022·广东珠海·高一期末）已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B．2 C．22 D．
【答案】C
由题意得：2与3是方程的两个根，故，，所以.
故选：C
5．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，则.
故选：A.
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
1．（2022·河北·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解不等式 ， ，
解不等式 得， ，
；
故选：B.
2．（2022·湖南·高一课时练习）下面四个不等式中解集为空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A选项，解不等式得，A不满足条件；
对于B选项，由得，该不等式的解集为，B不满足条件；
对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件；
对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件.
故选：D.
3．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，即，解得：，故
解得：，又，故，故.
故选：C
4．（2022·河南南阳·高二期末（文））不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，解得，
所以不等式的一个必要不充分条件是.
故选：B
5．（2022·河南洛阳·高二期末（文））不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
，
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
又
所以
故选：A
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
一元二次不等式解法（含参问题）谈论三原则：
①最高项系数含参，从参数等于0开始讨论；
如：，最高项系数为讨论时，从开始讨论.
②两根大小不确定，从两根相等开始讨论；
如两根分别为：，，讨论时从开始讨论
③根是否在定义域内：
如此时两根，，讨论时注意（舍去）
1．（2022·北京·清华附中高一期末）求下列关于的不等式的解集：
解：当时，原不等式即为，该不等式的解集为；
当时，，原不等式即为.
①若，则，原不等式的解集为或；
②若，则，原不等式的解集为或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或.
2．（2022·河北唐山·高一期末）已知关于x的不等式：．
(1)当时，解此不等式；
(2)当时，解此不等式．
【答案】(1)或
(2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为
(1)当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0
整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，
当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－或x＞3}．
(2)当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0
整理得：(x－3)(x－)＜0，
当a＝时，＝3，此时不等式无解；
当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜；
当a＞时，＜3，解得＜x＜3；
综上：当a＝时，解集为；
当0＜a＜时，解集为{x|3＜x＜}；
当a＞时，解集为{x|＜x＜3}.
3．（2022·福建·莆田第二十五中学高一期末）解关于的不等式.
由，
∴当时，解集为；
当时，无解；
当时，解集为；
4．（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.
由得，
∵，
当，即时，不等式的解为或.
当，即时，不等式的解为或，
当，即时，不等式的解，
所以当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为，
当时不等式的解集为.
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
1．（2021·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期中）若不等式的解集为[-1，2]，则=（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
由题意，的解是，
所以，解得．．
故选：B．
2．（2021·四川省南充高级中学高二开学考试（理））已知不等式的解集为，则___________.
【答案】
解：由题意不等式的解集是，可知不等式是二次不等式，故1，2是方程的两个根，
，
，．
．
故答案为：．
3．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）若函数的两个零点是2和3，则不等式 的解集为________ ．
【答案】
根据题意，，则不等式可化为.
故答案为：.
4．（2022·上海闵行·高一期末）已知、，关于的不等式的解集为，则___________.
【答案】
由题意可知，关于的方程的两根分别为、，
由韦达定理可得，可得，因此，.
故答案为：.
5．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知a为常数，若关于x的不等式的解集为，则______．
【答案】
因关于x的不等式的解集为，则，2是方程的两个根，
因此有，解得，
所以.
故答案为：
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
①上恒成立
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
1．（2022·福建宁德·高一期末）不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
不等式恒成立，
当时，显然不恒成立，
所以，解得：.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
当时，，对恒成立；
当时，若，对恒成立，
则必须有，解之得，
综上，的取值范围为.
故“对恒成立”的一个充要条件是，
故选：B
3．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
当时，，不符合题意，所以舍去；
当时，由题得且，所以.
综上：.
故选：C
4．（2021·全国·高一课时练习）若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：原不等式等价于，
①当时，对任意的不等式都成立；
②当时，，所以；
③当时，显然不能成立.
综合①②③，得的取值范围是.
故选：A
5．（2020·河北省尚义县第一中学高一期中）若命题为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
因为命题是真命题，
令，则必有，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：C
②上恒成立
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））如果“，使.”是真命题，那么实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
“，使.”是真命题，
∴，则或.
故选：B
2．（2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习（理））已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C．）D．
【答案】D
由题意，命题“，”是真命题
故，解得或.
则实数的取值范围是
故选：D.
3．（2022·江苏南通·高一期末）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】A
若命题“”是真命题，
即有解，
则对应的判别式，即，
解得，
故选：A
4．（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，即函数的最小值小于0即可，，故，解得：
故选：D
5．（2021·天津·耀华中学高一期中）若命题“，使得不等式”成立，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
命题“，使得不等式”成立，
当时，不等式为，显然有解，成立；
当时，开口向下，必然，使得不等式成立，；
当，即，解得或，所以或．
综上可得或．
故选：．
③上恒成立（优选分离变量法）
1．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当时，由得：，
（当且仅当，即时取等号），，解得：，
即的取值范围为.
故选：D.
2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】B
解：当时，不等式恒成立；
当时，由题意可得恒成立，
由，当且仅当时，取得等号．
所以，解得．
综上可得，的取值范围是．
故选：B．
3．（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为关于的不等式对任意恒成立，
所以，
令，，
所以当时，取得最小值，
所以
故选：A
4．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
任取，
则
，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上递增，
所以，
所以.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为当，，
所以，，
即m的取值范围是
故选：A
6．（2022·甘肃张掖·高一期末）设函数．
(1)若不等式的解集是，求不等式的解集；
(2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或(2)
(1)
因为不等式的解集是，
所以是方程的解
由韦达定理
解得
故不等式为，
即
解得或
故不等式得其解集为或
(2)
当时，
在上恒成立，
所以
令，则
令，则，
由于均为的减函数
故在上为减函数
所以当时，取最大值，且最大值为3
所以
所以
所以实数的取值范围为.
7．（2021·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）已知函数（a∈R）.
(1)若关于x的不等式<0的解集为（1，b），求a和b的值;
(2)若对任意x∈，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)a=3，b=4(2)
(1)
解：因为不等式<0的解集为（1，b），即的解集为（1，b），
所以1，b为的两根，
所以由根与系数的关系知1+b=a+2且=4，所以a=3，b=4；
(2)
解：∵对任意x∈，恒成立，
∴对任意的x∈[1，4]恒成立，
当x=1时，0≤4恒成立，符合题意，所以a∈R；
当x∈时，问题等价于a≤恒成立，即a≤，
∵，且，
∴，当且仅当，即x=3时取等号，
∴a≤4，
综上，a的取值范围为.
④上恒成立（优选分离变量法）
1．（2021·河南信阳·高二期中（理））若关于的不等式在有解，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
令，其对称轴为，
关于的不等式在有解，
当时，有，
，即，可得或．
故选：B．
2．（2021·安徽·池州市第一中学高一期中）若关于x的不等式在上有解则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：依题意，，令，
故问题转化为求函数在上的最大值；
因为二次函数的对称轴为，且，
故，故，
故选：A.
3．（2021·河南·高二期中（理））已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由，，可得在上有解，令，则，当且仅当时取等号，所以.
故选：A.
4．（2021·山西·大同一中高一期中）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
依题意关于的不等式在内有解，
，
，
所以.
故选：D
5．（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
因为，
所以，由得，
因为关于的不等式在区间(0，2]上有解，
所以只需小于等于的最大值，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
6．（2021·福建省龙岩第一中学高一期中）已知不等式有解，则实数的取值范围为__________.
【答案】
解：当时，，符合题意
当时，令，
由不等式有解
即，得
当时， 开口向下，满足有解
符合题意
综上，实数的取值范围为
故答案为：.
7．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知函数；
(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；
(2)存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)由题意知：1和m是的两根，
故 ，即 ；
(2)存在使得成立，
即存在，使得成立，
即存在，使得成立，
当时，，当且仅当x=2时取等号，
故，
即实数的取值范围为 .
⑤已知参数，求取值范围（变更主元法）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【答案】C
解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，
解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.
故选：A.
3．（2021·全国·高一课时练习）对任意的，函数的值总大于0，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
对任意，函数的值恒大于零
设，即在上恒成立.
在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段，
则只需线段的两个端点在轴上方，即 ，解得或
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数，将问题转化为在上恒成立，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题.
4．（2021·江西吉安·高一期中）若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题得不等式对任意成立，
所以，
即，
解之得或.
故选：A
高频考点五：一元二次不等式的应用
1．（2021·全国·高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．
故选：B．
2．（2021·河北·石家庄一中高一阶段练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
根据题意，要使附加税不少于128万元，
则，
整理得：，
解得：.
所以的取值范围是，
故选：A.
3．（2021·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
结合题意易知，，
即，解得，
因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是，
故选：C.
4．（2021·全国·高一课时练习）一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
设日利润为元，则，由，解得，即的取值范围为.
故选D．
5．（2021·全国·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 （件）与单价 （元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
设该厂每天获得的利润为元，
则，，，
根据题意，可得，解得，
故当，且时，每天获得的利润不利于1300元.
故选B.
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
2．（2019·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【答案】A
由题意得，，则．故选A．
3．（2017·天津·高考真题（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
4．（2019·天津·高考真题（文）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________.
【答案】
，
即，
即，
故的取值范围是．
5．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
一、单选题
1．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））若不等式的解集为，则的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
由不等式解集可知：和是方程的两根，且，
，解得：，.
故选：D.
2．（2022·江苏南通·高三阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意，当时，不等式恒成立，
故
解得
故实数的取值范围是
故选：A
3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意，不等式对一切恒成立，
当时，即时，不等式恒成立，符合题意；
当时，即时，
要使得不等式对一切恒成立，
则满足，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：B.
4．（2022·河南焦作·高二期末（理））若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
存在，不等式成立，
则，能成立，
即对于，成立，
令，，
则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，
又，所以，
所以.
故选：C
5．（2022·河南·高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
【答案】C
由题意，不等式的解集为，
可得，且方程的两根为和，
所以，所以，，
所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确．
故选：C．
6．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【答案】B
解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
7．（2022·江苏南京·高一期末）已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为不等式的解集为，
所以即，
不等式等价于，
解得.
故选：A.
8．（2022·重庆八中高一期末）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，
则，即，解得；
②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，
则，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
二、填空题
9．（2022·上海金山·高一期末）若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是______.
【答案】
关于x的不等式 的解集为R，
则 ，所以 ，
故答案为：
10．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
解：原不等式可变形为，
当，即时，，满足题意；
当，即时，，所以，解得，所以；
当，即时，，所以，解得.
综上可得，即；
故答案为：
11．（2022·河南驻马店·高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________.
【答案】
∵，
∴，
∴，
故答案为：
12．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是___________.
【答案】
因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两个不相等的实根，
因此有，
因为，所以，当且仅当时取等号，
即时取等号，
，设，
因为函数在上单调递增，
所以当时，函数单调递增，所以，
故答案为：
三、解答题
13．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））已知关于的函数．
(1)当时，求不等式的解集.
(2)当时，求不等式的解集.
【答案】(1)(2)
(1)当时，，
由得：或，的解集为或.
(2)由得：，
当时，令，解得：，，
则由得：或，
的解集为.
14．（2022·湖南·高一课时练习）若不等式的解集是，求不等式的解集．
【答案】.
由题意，不等式的解集是，
可得和是一元二次方程的两个实数根，
所以，解得，，
所以不等式化为，即，
解得，
∴不等式的解集为．
15．（2022·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)由题设，等价于，即，解得，
所以该不等式解集为.
(2)由题设，在上恒成立．
令，则对称轴 且，
①当时，开口向下且，要使对恒成立，
所以，解得，则．
②当时，开口向上，只需，即.
综上，．
16．（2022·广西·高二期末（文））已知二次函数，.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若，解关于x的不等式.
【答案】(1)
(2)当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
(1)当a=3时，函数可整理为，因为，所以利用基本不等式，当且仅当，即时，y取到最小值.所以，当时，函数的最小值为.
(2)将不等式整理为，令，即，解得两根为 与1，
因为，
当时，即时，此时的解集为；
当时，即时，此时的解集为；
当时，即时，此时的解集为.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
①上恒成立（优选法）
②上恒成立（优选法）
③上恒成立（优选分离变量法）
④上恒成立（优选分离变量法）
⑤已知参数，求取值范围（优选变更主元法）
高频考点五：一元二次不等式的应用
第五部分：高考真题感悟
第六部分：第04讲 一元二次函数（方程，不等式）（精练）
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
不等式 解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数的图象
一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
一、判断题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，关于x的不等式的解集为，则.___________（判断对错）
二、单选题
1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知不等式的解集为，则a，b的值是（ ）
A．， B．， C．6，3 D．3，6
2．（2022·江西南昌·一模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西西安·高二期末（文））若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东珠海·高一期末）已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B．2 C．22 D．
5．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
1．（2022·河北·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·高一课时练习）下面四个不等式中解集为空集的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南南阳·高二期末（文））不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南洛阳·高二期末（文））不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
一元二次不等式解法（含参问题）谈论三原则：
①最高项系数含参，从参数等于0开始讨论；
如：，最高项系数为讨论时，从开始讨论.
②两根大小不确定，从两根相等开始讨论；
如两根分别为：，，讨论时从开始讨论
③根是否在定义域内：
如此时两根，，讨论时注意（舍去）
1．（2022·北京·清华附中高一期末）求下列关于的不等式的解集：
2．（2022·河北唐山·高一期末）已知关于x的不等式：．
(1)当时，解此不等式；
(2)当时，解此不等式．

3．（2022·福建·莆田第二十五中学高一期末）解关于的不等式.
4．（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
1．（2021·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期中）若不等式的解集为[-1，2]，则=（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．（2021·四川省南充高级中学高二开学考试（理））已知不等式的解集为，则___________.
3．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）若函数的两个零点是2和3，则不等式 的解集为________ ．
4．（2022·上海闵行·高一期末）已知、，关于的不等式的解集为，则___________.
5．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知a为常数，若关于x的不等式的解集为，则______．
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
①上恒成立
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
1．（2022·福建宁德·高一期末）不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
4．（2021·全国·高一课时练习）若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·河北省尚义县第一中学高一期中）若命题为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
②上恒成立
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））如果“，使.”是真命题，那么实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习（理））已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C．）D．
3．（2022·江苏南通·高一期末）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
4．（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·天津·耀华中学高一期中）若命题“，使得不等式”成立，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
③上恒成立（优选分离变量法）
1．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
3．（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则有（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·甘肃张掖·高一期末）设函数．
(1)若不等式的解集是，求不等式的解集；
(2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围．
7．（2021·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）已知函数（a∈R）.
(1)若关于x的不等式<0的解集为（1，b），求a和b的值;
(2)若对任意x∈，恒成立，求实数a的取值范围.
④上恒成立（优选分离变量法）
1．（2021·河南信阳·高二期中（理））若关于的不等式在有解，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·安徽·池州市第一中学高一期中）若关于x的不等式在上有解则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南·高二期中（理））已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山西·大同一中高一期中）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围是__________．
6．（2021·福建省龙岩第一中学高一期中）已知不等式有解，则实数的取值范围为__________.
7．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知函数；
(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；
(2)存在使得成立，求实数的取值范围.
⑤已知参数，求取值范围（变更主元法）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
2．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高一课时练习）对任意的，函数的值总大于0，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江西吉安·高一期中）若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
高频考点五：一元二次不等式的应用
1．（2021·全国·高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北·石家庄一中高一阶段练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国·高一课时练习）一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为
A． B．
C． D．
5．（2021·全国·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 （件）与单价 （元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
B．
C． D．
2．（2019·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
3．（2017·天津·高考真题（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2019·天津·高考真题（文）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________.
5．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
一、单选题
1．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））若不等式的解集为，则的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2022·江苏南通·高三阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南焦作·高二期末（理））若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
6．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
7．（2022·江苏南京·高一期末）已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·重庆八中高一期末）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022·上海金山·高一期末）若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是______.
10．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.
11．（2022·河南驻马店·高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________.
12．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是___________.
三、解答题
13．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））已知关于的函数．
(1)当时，求不等式的解集.
(2)当时，求不等式的解集.
14．（2022·湖南·高一课时练习）若不等式的解集是，求不等式的解集．
15．（2022·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
16．（2022·广西·高二期末（文））已知二次函数，.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若，解关于x的不等式.

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