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第05讲 复数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：复数的概念
高频考点二：复数的几何意义
高频考点三：待定系数求复数
高频考点四：复数的四则运算
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 复数（精练）
1、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
2、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
3、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的俯角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.
通常记作，即.
（3）复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．
（4）三角形式下复数的相等
两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
9、复数三角形式的乘法
设，的三角形式分别是：，，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
10、复数三角形式的除法
设，，且，
因为，
所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
简记为 ：模数相除，幅角相减
一、判断题
1．（2021·全国·高一课时练习）对于复数，若，则z是实数；若，则z是纯虚数( )
【答案】错误
当且时，z是纯虚数, 所以若，则z是纯虚数或者是非纯虚数，所以错误.故答案为：错误.
2．（2021·全国·高一课时练习）的实部等于3，虚部等于4i( )
【答案】错误
的虚部是4.
故答案为;错误.
3．（2021·全国·高一课时练习）自然数是有理数，但不是复数( )
【答案】错误
自然数是复数，
故答案为：错误.
二、单选题
1．（2022·云南昆明·一模（文））复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
依题意.
故选：D
2．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））复数，且z在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】B
解：当z在复平面内对应的点在第二象限时，
则有，可得，结合选项可知，B正确．
故选：B．
3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
对应的点为，在第二象限.
故选：B
4．（2022·福建省长汀县第一中学高一阶段练习）已知为虚数单位，若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
.
故选：B
5．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）设i为虚数单位，复数与在复平面内分别对应向量与，则（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】B
记，，则，.
故选：B.
高频考点一：复数的概念
1．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））是复数z的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设，则，
由，可得，
∴，即，
∴.
故选：B.
2．（2022·河北·模拟预测）已知是虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
∵，
∴，
∴z的实部为0.
故选：B
3．（2022·安徽淮北·一模（文））若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第四象限
C． D．的共轭复数为
【答案】D
.
的虚部为，故A错误；
在复平面内对应的点在第一象限，故B错误；
，故C错误；
的共轭复数为，故D正确.
故选：D.
4．（2022·江西鹰潭·一模（理））已知复数满足 （其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
依题意，
，
所以的虚部为.
故选：C
5．（2022·河南·高二阶段练习（文））设，是复数，给出下列四个说法：
①；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中所有正确说法的序号是______．
【答案】②③
对于①，若，则，则①错误；
对于②，若复数，满足，则，是实数，所以，则②正确；
对于③，取，，其中a，b，c，d均为实数，因为，所以，所以，则③正确;
对于④，取，，可知④错误．
故答案为：②③
6．（2022·上海交大附中高二开学考试）以下四个关于复数的结论：①任意两个复数不能比大小；②；③；④复数且________.
【答案】④
解：对于①，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以①错误；
对于②当则，故②错误；
对于③令，，则，但是与不能比较大小，故③错误；
对于④若复数且，故④正确；
故答案为：④
高频考点二：复数的几何意义
1．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
，，
，
，则对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
2．（2022·河南开封·高二阶段练习（文））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，表示点，
故复数的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.
故选：C
3．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））如图所示，在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
依题意，得，
则.
故选：A.
4．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为复数，在复平面内对应的点分别为，，所以，，所以．
故选：A．
5．（2022·全国·模拟预测（文））在复平面xOy内，复数，所对应的点分别为，，给出下列四个式子：①；②；③；④．其中恒成立的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
设，，则，，
对于①，，，，故①错误；
对于②，，
，
，
，故②正确；
对于③，，，，故③正确；
对于④，，，
，
，
，故④错误．
故正确的为：②③，共2个.
故选：B.
6．（2022·全国·模拟预测）已知点，，，复数，在复平面内对应的向量分别是，，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：依题意知，，于是，
故选：C.
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点构成的图形的面积为________．
【答案】
不妨设复数，则，即，
则，其表示以为圆心且半径的圆的内部以及圆上的点，
则这些点构成的图形的面积为.
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）设，若复数在复平面对应的点位于实轴上，则的取值范围为___________.
【答案】##
解：，
则复数在复平面对应的点为，
又因为复数在复平面对应的点位于实轴上，
则点在实轴上，所以，所以，
，
，当时，，此时无意义；
当时，恒成立，此时，
综上得：的取值范围为.
故答案为：.
高频考点三：待定系数求复数
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
设，则．由得，则，所以，，所以．
故选：B.
2．（2022·山西临汾·二模（理））设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：设，为实数，则，
于是
故，所以，则.
故选：D
3．（2022·广东江门·模拟预测）已知复数z的共轭复数是，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
设复数，，则，因，即，
即，则，解得，因此，，
所以.
故选：B
4．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
【答案】C
设，则，
由，得，即，
所以所对应的点的轨迹是以为圆心为半径的圆，
因为为z的共轭复数，所以
即，
而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，
所以.
故选：C.
5．（2022·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
令，，则表示与距离为1的点集，即，
此时，表示圆上点到原点距离，
所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，
所以圆上点到原点的最大为2.
故选：B.
高频考点四：复数的四则运算
1．（2022·四川南充·二模（文））复数，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】C
由题意，
故
故选：C
2．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．z的虚部为－ D．z在复平面内对应的点在第三象限
【答案】D
由已知，所以，
，A错；
，C错；
的虚部是，C错；
对应点坐标为，在第三象限，D正确．
故选：D．
3．（2022·陕西·西安中学二模（文））若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为
.
所以，故的虚部为.
故选：A
4．（2022·全国·模拟预测）已知（i为虚数单位），则复数z在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
由已知条件可得，解得，复数z在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知a，，i是虚数单位.若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
因，a，，则有，
所以.
故选：B
6．（2022·重庆十八中高一阶段练习）设复数，满足，，，则________．
【答案】
解：因为，所以，
又，，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
7．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______．
①； ②若，则；
③若，则； ④；
⑤，则； ⑥；
⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若，则z必为实数．
【答案】①⑤⑧
①设，则，
所以①正确
②设，
，但与不能比较大小
所以②不正确
③设，，
则
所以③不正确
④设，
则，
所以④不正确
⑤设，
则，
⑥当，时，，
所以⑥不正确
⑦如果两个复数是实数，差值也是实数，
所以⑦不正确
⑧设（，），则，
所以⑧正确
故答案为：①⑤⑧
8．（2022·上海·复旦附中高二期末）对任意复数.,定义,其中是的共轭复数.对任意复数..,有如下四个命题：
①；
②；
③； ④.则真命题是________（填写命题的序号）
【答案】①②
①，正确；
②，正确；
③，，错误；
④，错误．
故答案为①②．
点睛：本题考查新定义问题，解决创新问题的关键是通过“新定义”（本题是“新运算”）这个载体把新问题进行转化，转化为我们已经学过的，已经掌握的知识、方法，运用已经学过的运算法则进行检验．本题只要把新运算“”转化为复数的乘法运算，然后进行检验即可．
1．（2021·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】C
若复数满足，则
，
所以的虚部等于.
故选：C.
2．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意可得：.
故选：D.
4．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，故，故
故选：C.
5．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
.
故选：B.
6．（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
7．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
8．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
【答案】
.
故答案为：.
一、单选题
1．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由，有，可得,
故选：A
2．（2022·辽宁抚顺·一模）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，
所以.
故选：D
3．（2022·安徽·高一阶段练习）若复数为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A． B．10 C．100 D．或10
【答案】A
为纯虚数，
同时
，
故选：A
4．（2022·湖南常德·一模）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
由题意，对应点坐标为，在第四象限．
故选：D．
5．（2022·河北·高三阶段练习）已知复数z满足条件，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
设，则，所以，，
所以，，则，解得或，
故或，因此，或.
故选：C.
6．（2022·河南·高一阶段练习）在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意，得，，
所以向量对应的复数为
所以向量对应的复数的共轭复数为，
故选：C．
7．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，对应的点的轨迹为圆；
的几何意义为点到点的距离，
.
故选：C.
8．（2022·河南·高一阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆
C．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
D．若，则点Z的集合中有且只有两个元素
【答案】C
若，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误；
若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆，故B错误；
若，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为 ，故C正确;
若，则点Z的集合是以点，为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误,
故选:C．
二、填空题
9．（2022·新疆·二模（理））复数，，若为实数，则________．
【答案】
∵，∵
∴，即．
故答案为：．
10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知复数z为纯虚数，若（其中i为虚数单位），则实数a的值为______．
【答案】
因为复数z为纯虚数，所以设，
由，
故答案为：
11．（2022·河南开封·高一阶段练习）下列说法正确的序号为______．
①若复数，则；
②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；
③已知复数，，若，则，均为实数；
④复数的虚部是1．
【答案】①②③
对于①，因为，
所以，故①正确；
对于②，复数集实数集虚数集，故②正确；
对于③，复数集包含实数集，只在其实数集内才能比较大小，由，得
，均为实数，故③正确；
对于④，复数的虚部是，故④不正确.
故答案为：①②③.
12．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______．
【答案】##
解：设，则，
甲：由可得，则，
乙：由可得：，
丙：由可得，即，所以，
若，则，则不成立，，则，解得或，
所以甲，丙正确，乙错误，
此时或，又复数对应的点在复平面第一象限内，
所以，
故答案为：．
三、解答题
13．（2022·福建·厦门市松柏中学高一阶段练习）（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
【答案】（1）；（2）
解：（1）设，由题意每，
解得，，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.
（2）
，
由题意得，解得
14．（2022·福建·三明一中高一阶段练习）已知复数．
(1)若，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求的值．
【答案】(1)(2)4或100
(1)
因为，所以，所以，所以或．
①当时，，符合题意；
②当时，，舍去．
综上可知：．
(2)
因为z是纯虚数，所以，所以或,
所以，或,
所以或,
所以或100．
15．（2022·安徽·高一阶段练习）已知复数（是虚数单位）．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
，
因为z为实数，
所以，解得.
(2)
因为是z的共轭复数，所以，
所以
因为复数在复平面上对应的点位于第一象限，
所以，同时解得.
16．（2022·全国·高一单元测试）设复数、满足.
(1)若、满足，求、；
(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)、或、
(2)存在，
【解析】
(1)
由可得：，代入已知方程得，
即，
令（），∴，即，
∴，解得或，
∴、或、；
(2)
由已知得，又，∴，
∴，
∴，
整理得即，
所以，故，∴，
即，∴存在常数，使得等式恒成立.第05讲 复数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：复数的概念
高频考点二：复数的几何意义
高频考点三：待定系数求复数
高频考点四：复数的四则运算
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 复数（精练）
1、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
2、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
3、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的俯角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.
通常记作，即.
（3）复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．
（4）三角形式下复数的相等
两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
9、复数三角形式的乘法
设，的三角形式分别是：，，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
10、复数三角形式的除法
设，，且，
因为，
所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
简记为 ：模数相除，幅角相减
一、判断题
1．（2021·全国·高一课时练习）对于复数，若，则z是实数；若，则z是纯虚数( )
2．（2021·全国·高一课时练习）的实部等于3，虚部等于4i( )
3．（2021·全国·高一课时练习）自然数是有理数，但不是复数( )
二、单选题
1．（2022·云南昆明·一模（文））复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））复数，且z在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．（2022·福建省长汀县第一中学高一阶段练习）已知为虚数单位，若复数，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）设i为虚数单位，复数与在复平面内分别对应向量与，则（ ）
A．2 B． C．4 D．8
高频考点一：复数的概念
1．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））是复数z的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北·模拟预测）已知是虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2022·安徽淮北·一模（文））若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第四象限
C． D．的共轭复数为
4．（2022·江西鹰潭·一模（理））已知复数满足 （其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（2022·河南·高二阶段练习（文））设，是复数，给出下列四个说法：
①；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中所有正确说法的序号是______．
6．（2022·上海交大附中高二开学考试）以下四个关于复数的结论：①任意两个复数不能比大小；②；③；④复数且________.
高频考点二：复数的几何意义
1．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·河南开封·高二阶段练习（文））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））如图所示，在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·模拟预测（文））在复平面xOy内，复数，所对应的点分别为，，给出下列四个式子：①；②；③；④．其中恒成立的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·全国·模拟预测）已知点，，，复数，在复平面内对应的向量分别是，，则复数（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点构成的图形的面积为________．
8．（2022·全国·高三专题练习）设，若复数在复平面对应的点位于实轴上，则的取值范围为___________.
高频考点三：待定系数求复数
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山西临汾·二模（理））设，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东江门·模拟预测）已知复数z的共轭复数是，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
5．（2022·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
高频考点四：复数的四则运算
1．（2022·四川南充·二模（文））复数，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
2．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．z的虚部为－ D．z在复平面内对应的点在第三象限
3．（2022·陕西·西安中学二模（文））若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）已知（i为虚数单位），则复数z在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·全国·高三专题练习）已知a，，i是虚数单位.若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·重庆十八中高一阶段练习）设复数，满足，，，则________．
7．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______．
①； ②若，则；
③若，则； ④；
⑤，则； ⑥；
⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若，则z必为实数．
8．（2022·上海·复旦附中高二期末）对任意复数.,定义,其中是的共轭复数.对任意复数..,有如下四个命题：
①；
②；
③； ④.则真命题是________（填写命题的序号）
1．（2021·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
2．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
8．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
一、单选题
1．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁抚顺·一模）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽·高一阶段练习）若复数为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A． B．10 C．100 D．或10
4．（2022·湖南常德·一模）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·河北·高三阶段练习）已知复数z满足条件，则（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2022·河南·高一阶段练习）在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河南·高一阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆
C．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
D．若，则点Z的集合中有且只有两个元素
二、填空题
9．（2022·新疆·二模（理））复数，，若为实数，则________．
10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知复数z为纯虚数，若（其中i为虚数单位），则实数a的值为______．
11．（2022·河南开封·高一阶段练习）下列说法正确的序号为______．
①若复数，则；
②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；
③已知复数，，若，则，均为实数；
④复数的虚部是1．
12．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______．
三、解答题
13．（2022·福建·厦门市松柏中学高一阶段练习）（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
14．（2022·福建·三明一中高一阶段练习）已知复数．
(1)若，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求的值．
15．（2022·安徽·高一阶段练习）已知复数（是虚数单位）．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
16．（2022·全国·高一单元测试）设复数、满足.
(1)若、满足，求、；
(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

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