资源简介

第01讲 函数的概念及其表示(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的概念
高频考点二：函数定义域
①具体函数的定义域；②抽象函数定义域
高频考点三：函数解析式
①凑配法求解析式（注意定义域）②换元法求解析式（换元必换范围）
③待定系数法；④方程组消去法
高频考点四：分段函数
①分段函数求值②已知分段函数的值求参数
③分段函数求值域（最值）
高频考点五：函数的值域
①二次函数求值域；②分式型函数求值域
③根式型函数求值域；④根据值域求参数
⑤根据函数值域求定义域
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第01讲 函数的概念及其表示（精练）
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
(5)(且)，，的定义域均为.
(6)(且)的定义域为.
(7)的定义域为.
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：
，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
（2）换元法：
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数和是相同的函数( )
【答案】错误
函数的定义域为R，的定义域为，
∴函数和不是相同的函数.
故答案为：错误
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数的定义域是 ( )
【答案】错误
=由，解得且，使用函数的定义域是：，
故答案为：错误
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知则.( )
【答案】错误
∵ ，
∴ ，
故答案为：错误.
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）函数的定义域为.( )
【答案】正确
解：由，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：错误.
二、单选题
1．（2022·宁夏·青铜峡市高级中学高二学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求
故选：D
2．（2022·全国·高一阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．
故选：C.
3．（2022·黑龙江·铁人中学高一开学考试）以下各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
对于A，，对应法则不同，故不是同一函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；
对于C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数；
对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数.
故选：C．
4．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））设函数，若（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
解：，．
故选：B.
高频考点一：函数的概念
1．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
2．（2022·湖南·高一课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【答案】C
由题意，函数的定义域为，
对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；
对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.
故选：C
3．（2022·江西赣州·高一期末）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为（，为常量），油面高度为，油面宽度为，油量为（，，为变量），则下列说法错误的（ ）
A．是的函数 B．是的函数
C．是的函数 D．是的函数
【答案】B
根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，
A：由于v确定，故h确定，w就确定，符合函数的定义，故A正确；
B：由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，
故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误；
C：由于v确定，故h确定，符合函数的定义，故C正确；
D：由于h确定，故v确定，符合函数的定义，故D正确.
故选：B.
4．（2022·江苏泰州·高一期末）若函数和．分别由下表给出：
0 1
1 0
1 2 3
0 1
则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
当时，有成立，故是不等式的解；
当时，有不成立，故不是不等式的解；
当时，有成立，故是不等式的解.
综上：可知不等式的解集为.
故选：C
高频考点二：函数定义域
①具体函数的定义域
1．（2022·广东汕尾·高一期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由可得又因为，所以的定义域为
故选：C
2．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
要使函数有意义，则有解得且.
所以函数的定义域为.
故选：B
3．（2022·广东潮州·高一期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：由，得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
②抽象函数定义域
1．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知函数y＝f（x＋1）定义域是[－2，3]，则y＝f（x－2）的定义域是（　　）
A．[1，6] B．[－1，4] C．[－3，2] D．[－2，3]
【答案】A
由题意知，－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，
∴－1≤x－2≤4，得1≤x≤6，
即y＝f（x－2）的定义域为[1，6]；
故选：A.
2．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足
，解得.
故选：B.
3．（2022·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：由题意得：，解得，
由解得，
故函数的定义域是 .
故选：D
高频考点三：函数解析式
①凑配法求解析式（注意定义域）
1．（2022·全国·高一）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为，所以.
故选:B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知=，则的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由=
所以
故选：A
②换元法求解析式（换元必换范围）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
令，则 ，
所以，
所以，
故选：A.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
令，则，
据此可得：，
所以的解析式为.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）若，那么等于（ ）
A．8 B．3 C．1 D．30
【答案】A
由于，
令，得，
则，
当时，
，
故选：A.
③待定系数法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
设，则，
即对任意的恒成立，
所以，解得：或，
所以的解析式为或，
故选：A
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为___________.
【答案】
根据顶点为（-2，3），设，
由f（x）过点（-3，2），得
解得a=-1，
所以
故答案为：
④方程组消去法
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数满足，则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．
【答案】D
由，可得，
联立两式可得，代入可得.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则
A． B．
C． D．
【答案】B
∵，①，∴，②，
由①②联立解得．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知满足，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
把①中的换成，得②
由①②得.
故选：D
高频考点四：分段函数
①分段函数求值
1．（2022·甘肃张掖·高一期末）已知，则为（ ）
A． B．2 C．3 D．或3
【答案】C
因为，
所以．
故选：C
2．（2022·安徽阜阳·高一期中）函数则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
.
故选：D.
3．（2022·河南·高一阶段练习）若是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】B
依题意得：．
故选：B
4．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）设 ，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
，
故，
故选：C
②已知分段函数的值求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）函数，若，则实数a的值为（ ）
A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1
【答案】C
当时，令 ，与矛盾，不合题意；
当时，令 ，取 ，符合题意，
故选：C
2．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知函数 ，若，则（ ）
A． B．2或 C．或2 D．或
【答案】C
当时，此时，即令，得 ，满足；
当时，此时，即令，得 ，因为，所以。
综上所述，或.
故选：C.
3．（2022·江西南昌·一模（理））已知若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】B
作出函数的图像，在,上分别单调递增.
由，
若，即，此时，
所以，即，解得或（不满足，舍去）
此时满足题意，则
若，此时不存在满足条件的
故选：B
4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数，且，则（ ）
A．26 B．16 C．－16 D．－26
【答案】A
由题意得
当时，，方程无解，
当时，，解得，
所以，
故选：A
③分段函数求值域（最值）
1．（2022·全国·高三专题练习），若是的最小值，则的取值范围为（ ）.
A．[1，2] B．[1，0] C．[1，2] D．
【答案】D
由于当时，在时取得最小值，
因为是的最小值，
所以当时，是递减的，则，此时最小值为，
因此，解得，
故选：D．
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函数，而函数是增函数，当时，，则当时，函数值域为，
因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，
当，即时，，不符合题意，当时，，也不符合题意，当时，为增函数，由可得，
则需，解得，
所以实数的取值范围是：.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
4．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数
(1)求，的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
【答案】(1)，；(2)作图见解析；(3)；
(1)
由解析式知：，.
(2)
由解析式可得：
0 1 2
0 0 1 0
∴的图象如下：
(3)
由（2）知：的值域为.
5．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
【答案】最大值为1，最小值为0.
作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
高频考点五：函数的值域
①二次函数求值域
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期末（理））函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．10，5 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
【答案】B
因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
为开口方向向上，对称轴为的二次函数
令，解得：，
即实数的取值范围为
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
【答案】B
因为函数在上为增函数，且定义域和值域都是，
所以，，解得或（舍），
故选：B
②分式型函数求值域
1．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：
又
，所以函数的值域为
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当时，；
当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，，且，
当且仅当时，等号成立.
综上所述，函数的值域为.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为
A． B． C． D．
【答案】C
解：令，，
令，则，
原函数化为，
该函数在上为减函数，在上为增函数，
又当时，，当时，，当时，.
∴函数的值域为，
则函数的值域为.
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为________________．
【答案】
定义域为，
当时，，
当且仅当即时等号成立，所以，
当时，，
当且仅当即时等号成立，所以，
所以函数的值域为，
故答案为：.
③根式型函数求值域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：令，
当时，，又，
所以，，即
所以，
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数的定义域为：，
设，所以有，
因为，所以函数的最小值为：，即，
所以函数的值域是，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：令，则，
原函数即为：，
对称轴方程为，可知，
函数值域为．
故选：C．
4．（2022·全国·高二）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意函数，
所以函数可以表示为轴上的点到点和的距离之和，
当三点成一条直线时距离之和最小，
所以，
故选：B．
④根据值域求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，求a的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
当时，的值域为，符合题意；
当时，要使的值域为，则使 .
综上，.
故答案选A
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
当时，；当或时，.
因此当时，函数在区间上的最小值为，
最大值为，所以，实数的取值范围是.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
时，，
又的值域为，则时，的值域包含，
，解得：.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时时，
函数的部分图象及在上的的图象如图所示.
所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是，
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
解：由题意知，，，，
∴，当且仅当，即，时取等号.
故选 ：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称
∴时，的最小值为，最大值为，
可得值域为
又∵，，
∴为单调增函数，值域为
即
∵，，使得，
∴
故选：D.
⑤根据函数值域求定义域
1．（2021·山西·怀仁市第一中学校高一阶段练习）已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（ ）
A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1）
【答案】D
画出的图象如图所示：
由图可知：，，
根据选项可知：当的定义域为，值域为时，
的可能值为，，，所以D错误.
故选：D.
2．（2021·江苏·高一专题练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个
【答案】C
值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1，2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况.
故选：C．
3．（2021·江西省泰和中学高二开学考试（理））定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
若函数单调，则的长度最小，若函数单调递增，
，此时区间长度是1，若函数单调递减，
则，此时区间长度是1，所以区间的长度的最小值是1，
若函数在区间不单调，值域又是，则区间的最大值，
此时区间长度是，则区间的长度的最大值和最小值的差是.
故选：A.
4．（2021·全国·高一课时练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为______.
【答案】##
由函数的值域为，可得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
1．（2021·山东·高考真题）函数的定义域为（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
由函数解析式有意义可得
且
所以函数的定义域是且，
故选：A.
2．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
3．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
，故，
故答案为：2.
4．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
（1）函数的图象如图所示：
（2），
当时， ，可得：，
当，，可得：，
所以的解集为：，
所以的取值范围为.
5．（2020·山东·高考真题）已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）因为，
所以，因为，
所以.
（2）因为，
则，
因为，所以，
即，解得.
一、单选题
1．（2022·全国·高一）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；
C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
D是函数图象，值域为，故不符合题意.
故选：B
2．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
解：对于A，两个函数的定义域都是，
，对应关系完全一致，
所以两函数是相同函数，故A符合题意；
对于B，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故D不符题意.
故选：A.
3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意，且，所以函数的定义域为.
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习（理））若，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
f（1）＝x+，
设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，
∴f（t）＝（t﹣1）2+﹣1＝t2﹣t，t≥1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．
故选：.
5．（2022·四川成都·二模（文））已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
.
故选：A.
6．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是.
故选：A.
7．（2022·全国·高一期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设班级人数的个位数字为，令，（），
当时，，当时，，
综上，函数关系式为.
故选：B.
8．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（理））设集合，函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B．（，）
C． D．（，1]
【答案】B
，则，
∵，解得，又．
故选：B.
二、填空题
9．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数若，则a的值为______．
【答案】
解：因为，所以，所以，解得．
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克/立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为（为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是______
【答案】
根据函数的图象，可得函数的图象过点，
代入函数的解析式，可得，解得，所以，
令，可得或，
解得或，
所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是.
故答案为：9:30.
11．（2022·河南开封·高一期末）已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为______.
【答案】
如图，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象，
因为对，，故函数的图象如图所示：
由图可知，当时，函数取得最小值.
故答案为：.
12．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）已知函数若是函数的最小值，则实数a的取值范围为______．
【答案】
要使是函数的最小值，
则当 时，函数应为减函数，
那么此时图象的对称轴应位于y轴上或y轴右侧，即
当 时，，当且仅当x=1时取等号，
则，解得，
所以 ，
故答案为：.
三、解答题
13．（2022·广东汕尾·高一期末）某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex，简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．
(1)求函数的解析式；
(2)该城市2021年12月8日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．
【答案】(1)
(2)当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态，理由见解析
(1)
当时，
，将代入得，
∵时，，
∴由的图象是一条连续曲线可知，点在的图象上，当时，
设，将代入得，
∴．
(2)
由题意可知，空气属于污染状态时，
∴或，
∴或，∴，
∴当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态．
14．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数
(1)求的值；
(2)对函数，若存在点，使得，求实数的值．
【答案】(1)(2)或
(1)
解：由，
得，
所以
(2)
解：由，
当时，则，解得（舍去），
当时，则，解得，
当时，则恒成立，
综上所述，实数的值为或.
15．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数，
(1)若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
的图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减.因为函数在区间上存在零点，所以，解得，即实数a的取值范围为.
(2)
记函数，的值域为集合A，，的值域为集合B.则对任意的，总存在，使得成立.
因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，，得.
当时，的值域为，显然不满足题意；
当时，的值域为，因为，所以，解得；
当时，的值域为，因为，所以，解得.
综上，实数a的取值范围为第01讲 函数的概念及其表示(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的概念
高频考点二：函数定义域
①具体函数的定义域；②抽象函数定义域
高频考点三：函数解析式
①凑配法求解析式（注意定义域）②换元法求解析式（换元必换范围）
③待定系数法；④方程组消去法
高频考点四：分段函数
①分段函数求值②已知分段函数的值求参数
③分段函数求值域（最值）
高频考点五：函数的值域
①二次函数求值域；②分式型函数求值域
③根式型函数求值域；④根据值域求参数
⑤根据函数值域求定义域
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第01讲 函数的概念及其表示（精练）
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
(5)(且)，，的定义域均为.
(6)(且)的定义域为.
(7)的定义域为.
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：
，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
（2）换元法：
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数和是相同的函数( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数的定义域是 ( )
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知则.( )
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）函数的定义域为.( )
二、单选题
1．（2022·宁夏·青铜峡市高级中学高二学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高一阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·黑龙江·铁人中学高一开学考试）以下各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））设函数，若（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
高频考点一：函数的概念
1．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
2．（2022·湖南·高一课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
3．（2022·江西赣州·高一期末）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为（，为常量），油面高度为，油面宽度为，油量为（，，为变量），则下列说法错误的（ ）
A．是的函数 B．是的函数
C．是的函数 D．是的函数
4．（2022·江苏泰州·高一期末）若函数和．分别由下表给出：
0 1
1 0
1 2 3
0 1
则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
高频考点二：函数定义域
①具体函数的定义域
1．（2022·广东汕尾·高一期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东潮州·高一期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
②抽象函数定义域
1．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知函数y＝f（x＋1）定义域是[－2，3]，则y＝f（x－2）的定义域是（　　）
A．[1，6] B．[－1，4] C．[－3，2] D．[－2，3]
2．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点三：函数解析式
①凑配法求解析式（注意定义域）
1．（2022·全国·高一）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知=，则的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
②换元法求解析式（换元必换范围）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若，那么等于（ ）
A．8 B．3 C．1 D．30
③待定系数法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为
A．或 B．或
C．或 D．或
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数
f（x）的解析式为___________.
④方程组消去法
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数满足，则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知满足，则等于（ ）
A． B．
C． D．
高频考点四：分段函数
①分段函数求值
1．（2022·甘肃张掖·高一期末）已知，则为（ ）
A． B．2 C．3 D．或3
2．（2022·安徽阜阳·高一期中）函数则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·高一阶段练习）若是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
4．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）设 ，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
②已知分段函数的值求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）函数，若，则实数a的值为（ ）
A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1
2．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知函数 ，若，则（ ）
A． B．2或 C．或2 D．或
3．（2022·江西南昌·一模（理））已知若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．0
4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数，且，则（ ）
A．26 B．16 C．－16 D．－26
③分段函数求值域（最值）
1．（2022·全国·高三专题练习），若是的最小值，则的取值范围为（ ）.
A．[1，2] B．[1，0] C．[1，2] D．
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数
(1)求，的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
5．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
高频考点五：函数的值域
①二次函数求值域
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期末（理））函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．10，5 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
②分式型函数求值域
1．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为________________．
③根式型函数求值域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
④根据值域求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，求a的取值范围为
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
⑤根据函数值域求定义域
1．（2021·山西·怀仁市第一中学校高一阶段练习）已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（ ）
A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1）
2．（2021·江苏·高一专题练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个
3．（2021·江西省泰和中学高二开学考试（理））定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
4．（2021·全国·高一课时练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为______.
1．（2021·山东·高考真题）函数的定义域为（ ）
A．且 B．
C．且 D．
2．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.
4．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
5．（2020·山东·高考真题）已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
一、单选题
1．（2022·全国·高一）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））若，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川成都·二模（文））已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（理））设集合，函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B．（，）
C． D．（，1]
二、填空题
9．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数若，则a的值为______．
10．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克/立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为（为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是______
11．（2022·河南开封·高一期末）已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为______.
12．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）已知函数若是函数的最小值，则实数a的取值范围为______．
三、解答题
13．（2022·广东汕尾·高一期末）某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex，简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．
(1)求函数的解析式；
(2)该城市2021年12月8日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．
14．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数
(1)求的值；
(2)对函数，若存在点，使得，求实数的值．
15．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数，
(1)若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.

展开更多......

收起↑