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第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
②根据函数奇偶性求解析式
③函数奇偶性的应用
④由函数奇偶性求参数
⑤奇偶性+单调性解不等式
高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
②由函数周期性求解析式
高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
②由函数对称性求函数值或参数
③对称性+奇偶性+周期性的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分： 第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（精练）
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
1．（2022·北京·高三学业考试）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
由题意，，即函数为偶函数.
故选：B.
2．（2022·浙江台州·高一期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】C
解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则，
又由，则有，
则，
故选：C.
4．（2021·全国·高一课时练习）若的偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与得大小关系是
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
是偶函数，其定义域为，且在，上是减函数，则，且，则，故选．
5．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且，则（ ）
A．2019 B．3 C．－3 D．0
【答案】D
∵，∴，
又∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
故选：D.
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
1．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）下列函数在其定义域内为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题，可画出函数解析式所对应的图像，只有B项的图像关于原点对称，B为奇函数.
故选：B
2．（2021·江苏·高一单元测试）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
3．（2021·广东·龙门县高级中学高一期中）给定函数：①；②；③；④.其中奇函数是（ ）.
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
①，令为奇函数.
②，令为偶函数.
③，令的定义域为，为奇函数.
④，令，所以为非奇非偶函数.
所以奇函数是①③.
故选：D
②根据函数奇偶性求解析式
1．（2021·四川省南充高级中学高一阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A．10 B．5 C．3 D．2
【答案】B
函数是定义在上的偶函数，所以，且
所以，
所以
所以.
故选：B.
2．（2021·宁夏·银川一中高一期中）已知是定义域为R的偶函数，当时，，则函数在时，=___________.
【答案】
当时，，所以，因为是定义域为R的偶函数，所以，故
故答案为：
3．（2021·江苏·南京外国语学校高一期中）设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为__________.
【答案】0
解：因为函数（）是偶函数，所以，
所以，得，所以，
故答案为：0.
4．（2021·全国·高一课前预习）已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式．
【答案】
是定义在上的奇函数，
所以，
当时，，，
所以.
③函数奇偶性的应用
1．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则＝________.
【答案】－1
因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f＝－f＝－f＝－1.
故答案为：-1
2．（2022·广东茂名·高一期末）若函数是奇函数，则__________.
【答案】
因为是奇函数，可得.
故答案为：.
3．（2022·四川凉山·高一期末）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
【答案】
因为，所以有，
因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以，
因此由，
故答案为：
4．（2022·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___．
【答案】1
是奇函数，
∴h(1)＋h(－1)＝0
即f(1)＋1＋f(－1)＋1＝0，
∵f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－1，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1.
故答案为：1.
④由函数奇偶性求参数
1．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知函数是偶函数，则______．
【答案】
为偶函数，，即，.
故答案为：.
2．（2022·海南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
【答案】
依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故答案为：
3．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数为奇函数，则_______．
【答案】0
因为为奇函数，所以，即，解得
故答案为：0
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）为偶函数，则___________.
【答案】
由为偶函数，
得，
，
不恒为，
，
，
，
故答案为：.
⑤奇偶性+单调性解不等式
1．（2022·广西南宁·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由于函数是偶函数，所以，
由题意，当时，，则；
又因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以当时，，则，所以的解集为.
故选：C.
2．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
的定义域为，，所以为奇函数，
在上递增，
由得，
∴，，
解得.
故选：B
3．（2022·四川绵阳·高一期末）若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为，且函数的定义域为，故函数为定义域上的偶函数，
又当时，在上单调递增，
所以，则有，解得.
故选：C
4．（2022·广东汕尾·高一期末）函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______．
【答案】
因为，时，，所以在上单调递减，又因为为奇函数，且，所以在上单调递减，且.当时，不等式，得；当时，不等式，得.综上，不等式的解集为.
故答案为：
5．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）设偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是___________.
【答案】
因为函数是偶函数，所以，
因为函数在区间单调递增，所以，
得，解得：.
故答案为：
6．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）是奇函数
(1)求
(2)判断并证明的单调性
(3)若，求的取值范围
【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析(3)
(1)
为奇函数，，即，
，解得：；
(2)
在上单调递减，证明如下：
设，
则；
为上的增函数，，又，，
，在上单调递减；
(3)
由得：，
为奇函数，
，
；
由（2）知：在上单调递减，
，解得：，即的取值范围为.
高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
1．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为满足，所以，
所以是周期为的函数，
当时，，所以，
又因为是奇函数，
，
故选：D.
2．（2022·甘肃·一模（文））定义在上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A．8 B．2 C．-2 D．-8
【答案】A
由题设，，即的周期为8，
所以.
故选：A
3．（2021·广东汕头·高二期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则________.
【答案】
因为，所以奇函数的周期为.
所以
故答案为:
②由函数周期性求解析式
1．（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数满足，且时，则：
（1）__________；
（2）当时，_________.
【答案】
∵定义在R上的奇函数满足，
∴，，
∴，即函数是以4为周期的周期函数，
又时，
∴，
∴当时，，
∴，
∴当时，，
∴.
故答案为：（1）；（2）
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.
【答案】
当时，，
则，
因为是定义域为R的偶函数，所以；
当时，，则，
又的周期为2，所以；
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意实数都有，且当时，.
（1）求，的值；
（2）写出在，上的解析式；
（3）当，时，求不等式的解集.
【答案】（1），；（2）；（3）.
（1），
，.
（2）当时，，
.
.
（3）当时，，
由得，
解得：.
当时，求不等式的解集为.
4．（2021·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算.
【答案】(1)(2)
(1)
，，是周期为4的周期函数.
当时，，由已知得.
又是奇函数，，，
又当时，，，
又是周期为4的周期函数，，
从而求得时，.
(2)
，，，，又是周期为4的周期函数，
.
又，.
高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
1．（2022·广东·高三开学考试）下列函数与关于对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
关于对称的是，即.
故选：C
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设点是函数上任意一点，则点在函数的图像上
即
所以函数的解析式为：
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
【答案】
由可得关于对称，
所以开口向下，对称轴为，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，满足，则______.
【答案】2
由于，故是函数的对称轴，由于的对称轴为，故，解得.
③由函数对称性求函数值或参数
1．（2021·江西·景德镇一中高二期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
解：因为为奇函数，所以有，故
，
故选:B.
2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数，记，则
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为，
所以，
所以
故选：A
3．（2022·四川雅安·高一期末）若，则___________.
【答案】1010
根据题意，函数，则，
则有；
故；故答案为：1010．
4．（2021·上海·高一专题练习）的对称中心为，则a的值为___________．
【答案】6
，对称中心为，
所以，．
故答案为：6．
5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f（x）＝.
（1）求f（2）与f ，f（3）与f ；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f 有什么关系？证明你的发现；
（3）求f（2）＋f ＋f（3）＋f ＋＋f（2019）＋f 的值.
【答案】（1）f（2）＝，f ＝，f（3）＝，f ＝；（2）f（x）＋f ＝1，证明见解析；（3）2018.
（1）由f（x）＝＝1－，
所以f（2）＝1－＝，f ＝1－＝.
f（3）＝1－＝，f ＝1－＝.
（2）由（1）中求得的结果发现f（x）＋f ＝1.
证明如下：f（x）＋f ＝＋
＝＋＝1.
（3）由（2）知f（x）＋f ＝1，
∴f（2）＋f ＝1，f（3）＋f ＝1，
f（4）＋f ＝1，…，f（2 019）＋f ＝1.
∴f（2）＋f ＋f（3）＋f ＋…＋f（2 019）＋f ＝2 018.
④对称性+奇偶性+周期性的综合应用
1．（2022·四川凉山·二模（文））定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意，函数满足，可得，
所以函数是周期为4的函数，
又由为上的奇函数，可得，
所以，可得函数的图象关于对称，
因为当时，
可函数的图象，如图所示，
当时，令，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C.
2．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【答案】B
解：因为函数满足，所以函数关于点对称，
因为，即，所以函数关于直线对称，
因为当时，，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数为周期函数，周期为，
由于函数一个周期内，与有2个交点，
在上，与有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.
所以关于x的方程在上的解的个数是个.
故选：B
3．(多选）（2022·甘肃·兰州一中高一期末）定义在R上的偶函数f（x）满足，且在上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称 B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数 D．
【答案】AD
解：根据题意，若，则，
即，是周期为2的周期函数，
则有（2），故D选项正确；
若，且函数为偶函数，
则有，则函数的图象关于直线对称，故A选项正确；
在，上是增函数，且函数为偶函数，
则函数在，上是减函数，B选项错误；
在，上是增函数，且是周期为2的周期函数，
则函数在在[1，2]上是增函数，C选项错误.
故选：AD.
4．(多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．为奇函数 B．的图象关于对称
C．为偶函数 D．是周期为4的函数
【答案】AD
因为，所以关于x=1对称.
因为，所以，所以关于对称.
对于A：由点关于x=1的对称点为，为的对称中心，且关于x=1对称，所以为的对称中心，即，所以为奇函数.故A正确；
对于B：因为，所以，所以的图象不关于对称.故B错误；
对于C：因为，令x+2代换x，得到①.
对于，令x+1代换x，得到②.
由①②得：，令-x代换x，得到，
与②结合得：，
所以为奇函数.故C错误；
对于D：对于，令x-1代换x，得到，
又因为，所以，
令2-x代换x，得到，
令x-2代换x，得到，
所以，
令x+2代换x，得到，即是周期为4的函数.故D正确.
故选：AD
5．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
【答案】10
解：因为，所以，
所以函数是以2为周期的周期函数，
令，则，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，
由图可知函数有10个交点，
所以函数在区间内的零点有10个.
故答案为：10.
1．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
2．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
3．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
解：因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：B
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
5．（2021·湖南·高考真题）已知函数为奇函数，.若，则____________
【答案】.
因为，，
所以， ，
因为为奇函数，
所以，由，得，
因为，所以.
故答案为：6.
6．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
解：因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以.
故选：C.
2．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
当时，则，因为是奇函数，
所以.
故选：D
3．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，，则或.
故选:D.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
依题意对，有成立，
令，则，
所以，故，
所以是周期为的周期函数，
故.
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，
因为，
故函数的周期为4，则；
而，所以由可得；
而，
解得.
故选：C.
6．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数为定义在R上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2021 B．1 C． D．0
【答案】B
因为，
所以，
所以，所以函数的周期为4，
所以，
因为函数为定义在R上的奇函数，且当时，，
所以，
所以1，
故选：B
7．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
因为是定义在上的奇函数，故可得，
又 为偶函数，故可得，
则，故以为周期；
故.
故选：.
8．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知在R上的函数满足对于任意实数都有，，且在区间上只有和两个零点，则在区间上根的个数为（）
A．404 B．405 C．406 D．203
【答案】B
因为，故可得；
因为，故可得；
故可得，则，
故是以10为周期的函数.
又在区间上只有和两个零点，
根据函数对称性可知，在一个周期内也只有两个零点，
又区间内包含个周期，
故在的零点个数为，
又在的零点个数与的零点个数相同，只有一个.
综上所述，在内有405个零点.
故选：B.
二、填空题
9．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知，若，则实数的取值范围是______
【答案】
当时，，，
为定义在上的偶函数，，即；
在上单调递增，在上单调递减，
，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
10．（2022·江西·新余市第一中学高一开学考试）已知函数满足，且当时，，则________．
【答案】
由题意，函数满足，
可得，可得函数是周期为4的函数，
又因为当时，，
所以.
故答案为：.
11．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知定义在区间上的奇函数满足：，且当时，，则____________.
【答案】
因为在区间上是奇函数，
所以，，
，得，
因为，，
所以的周期为.
.
故答案为：.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，，有下列个命题：
①若为偶函数，则的图象自身关于直线对称；
②函数与的图象关于直线对称：
③若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
其中正确命题的序号为______.
【答案】①②③④
解：对于①，若为偶函数，其函数图像关于对称，故图像向右平移1个单位得的图象，故的图象自身关于直线对称，正确；
对于②，的图像向右平移1个单位，可得的图像，将的图像关于轴对称得的图像，然后将其图像向右平移1个单位得的图像，故与的图像关于直线对称，故正确；
对于③，若为奇函数，且，故，所以的图象自身关于直线对称，故正确；
对于④，因为为奇函数，且，故，所以的图像自身关于直线对称，故正确.
故答案为：①②③④
三、解答题
13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数．
(1)判断的奇偶性，并加以证明；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)是奇函数；证明见解析
(2)
(1)
由得：，定义域为，关于原点对称；
，
，为奇函数；
(2)
令，
且，，或，
或，的值域为.
14．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
由图象知：，即，解得：，当时，；
当时，，，
为上的偶函数，当时，；
综上所述：；
(2)
为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，
有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，
由图象可知：，即实数的取值范围为.
15．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当，时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当，时，求的解析式；
（3）计算的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.
（1）证明：，．
是周期为4的周期函数．
（2）当，时，，，由已知得，
又是奇函数，，．
又当，时，，，．
又是周期为4的周期函数，
．
从而求得，时，．
（3），（2），（1），（3）．又是周期为4的周期函数，
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
．
而，
所以.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）+f（1﹣x）＝1；
（3）求的值．
【答案】（1）a＝4，（2）见解析，（3）1005.
解：（1）函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，
而函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上单调递增或单调递减
∴a+a2＝20，得a＝4，或a＝﹣5（舍去）
∴a＝4，
（2）证明：
∴
1
（3）由（2）知，1，，
∴
＝1+1+1+…+1＝1005第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
②根据函数奇偶性求解析式
③函数奇偶性的应用
④由函数奇偶性求参数
⑤奇偶性+单调性解不等式
高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
②由函数周期性求解析式
高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
②由函数对称性求函数值或参数
③对称性+奇偶性+周期性的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分： 第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（精练）
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
1．（2022·北京·高三学业考试）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
2．（2022·浙江台州·高一期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．（2022·全国·高三专题练习）若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
4．（2021·全国·高一课时练习）若的偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与得大小关系是
A． B． C． D．不能确定
5．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且，则（ ）
A．2019 B．3 C．－3 D．0
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
1．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）下列函数在其定义域内为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏·高一单元测试）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
3．（2021·广东·龙门县高级中学高一期中）给定函数：①；②；③；④.其中奇函数是（ ）.
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
②根据函数奇偶性求解析式
1．（2021·四川省南充高级中学高一阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A．10 B．5 C．3 D．2
2．（2021·宁夏·银川一中高一期中）已知是定义域为R的偶函数，当时，，则函数在时，=___________.
3．（2021·江苏·南京外国语学校高一期中）设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为__________.
4．（2021·全国·高一课前预习）已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式．
③函数奇偶性的应用
1．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则＝________.
2．（2022·广东茂名·高一期末）若函数是奇函数，则__________.
3．（2022·四川凉山·高一期末）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
4．（2022·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___．
④由函数奇偶性求参数
1．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知函数是偶函数，则______．
2．（2022·海南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
3．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数为奇函数，则_______．
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）为偶函数，则___________.
⑤奇偶性+单调性解不等式
1．（2022·广西南宁·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川绵阳·高一期末）若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东汕尾·高一期末）函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______．
5．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）设偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是___________.
6．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）是奇函数
(1)求
(2)判断并证明的单调性
(3)若，求的取值范围
高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
1．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃·一模（文））定义在上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A．8 B．2 C．-2 D．-8
3．（2021·广东汕头·高二期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则________.
②由函数周期性求解析式
1．（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数满足，且时，则：
（1）__________；
（2）当时，_________.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意实数都有，且当时，.
（1）求，的值；
（2）写出在，上的解析式；
（3）当，时，求不等式的解集.
4．（2021·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算.
高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
1．（2022·广东·高三开学考试）下列函数与关于对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，满足，则______.
③由函数对称性求函数值或参数
1．（2021·江西·景德镇一中高二期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数，记，则
A． B． C． D．
3．（2022·四川雅安·高一期末）若，则___________.
4．（2021·上海·高一专题练习）的对称中心为，则a的值为___________．
5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f（x）＝.
（1）求f（2）与f ，f（3）与f ；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f 有什么关系？证明你的发现；
（3）求f（2）＋f ＋f（3）＋f ＋＋f（2019）＋f 的值.
④对称性+奇偶性+周期性的综合应用
1．（2022·四川凉山·二模（文））定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
3．(多选）（2022·甘肃·兰州一中高一期末）定义在R上的偶函数f（x）满足，且在上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称 B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数 D．
4．(多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．为奇函数 B．的图象关于对称
C．为偶函数 D．是周期为4的函数
5．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
1．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖南·高考真题）已知函数为奇函数，.若，则____________
6．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
2．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数为定义在R上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2021 B．1 C． D．0
7．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知在R上的函数满足对于任意实数都有，，且在区间上只有和两个零点，则在区间上根的个数为（）
A．404 B．405 C．406 D．203
二、填空题
9．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知，若，则实数的取值范围是______
10．（2022·江西·新余市第一中学高一开学考试）已知函数满足，且当时，，则________．
11．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知定义在区间上的奇函数满足：，且当时，，则____________.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，，有下列个命题：
①若为偶函数，则的图象自身关于直线对称；
②函数与的图象关于直线对称：
③若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
其中正确命题的序号为______.
三、解答题
13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数．
(1)判断的奇偶性，并加以证明；
(2)求函数的值域．
14．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
15．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当，时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当，时，求的解析式；
（3）计算的值．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）+f（1﹣x）＝1；
（3）求的值．

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