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第04讲 幂函数与二次函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：幂函数的定义
①求幂函数的值
②求幂函数的解析式
③由幂函数求参数
高频考点二：幂函数的值域
高频考点三：幂函数图象
①判断幂函数图象
②幂函数图象过定点问题
高频考点四：幂函数单调性
①判断幂函数的单调性
②由幂函数单调性求参数
③由幂函数单调性解不等式
高频考点五：幂函数的奇偶性
高频考点六：二次函数
①二次函数值域问题;②求二次函数解析式
③由二次函数单调性（区间）求参数
④根据二次函数最值（值域）求参数
⑤动轴定范围，定轴动范围的最值问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第04讲 幂函数与二次函数（精练）
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
性质 定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
一、判断题
1．（2021·全国·高一课时练习）若，则．( )
【答案】正确
由题设，，而在上递增，
∴，正确.
故答案为：正确
2．（2021·全国·高一课时练习）若，则．( )
【答案】错误
∵在上递减，又，
∴，题设结论错误.
故答案为：错误
二、单选题
1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
由题意得：，
故选：C
2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为函数在区间上单调递增，则，解得.
故选：B.
3．（2022·云南玉溪·高一期末）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
因为，，
所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；
所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
故选：D.
4．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】D
设幂函数，幂函数的图象经过点，所以，
解得，所以，则．
故选：D.
5．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A．－1 B．－1或3 C．3 D．2
【答案】C
由题意知：，即，解得或，
∴当时，，则在上单调递减，不合题意;
当时，，则在上单调递增，符合题意,
∴,
故选：C
高频考点一：幂函数的定义
①求幂函数的值
1．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】D
设幂函数，幂函数的图象经过点，所以，
解得，所以，则．
故选：D.
2．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数的图象经过点，则=____.
【答案】2
设，
则，
所以，
故，
所以.
故答案为：
3．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知幂函数的图象过点，则________
【答案】3
设幂函数，则，则，
则，则
故答案为：3
②求幂函数的解析式
1．（2022·上海市控江中学高一期末）若幂函数是严格增函数，则实数______.
【答案】
因为是幂函数，
所以，
解得，
又因为是严格增函数
所以，
故答案为：
2．（2022·北京·高一期末）幂函数的图象恒过点_________，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是____________．
【答案】
由幂函数的性质知：在第一象限恒过，
设幂函数，则，即，故.
故答案为：，.
3．（2022·辽宁辽阳·高一期末）已知幂函数的图象过点，则______，的解集为______.
【答案】
依题意，设，则，解得，于是得，
显然是偶函数，且在上单调递增，而，
即有，解得或，
所以的解集为.
故答案为：；
③由幂函数求参数
1．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2 B．16 C． D．
【答案】D
由题意得，解得，
所以，故,
故选：D
2．（2022·贵州毕节·高一期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．1 B．6 C．2 D．
【答案】D
∵幂函数在上单调递增，
∴，解得，
故选：D．
3．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）幂函数在上单调递增，则______．
【答案】
由题意得，解得．
故答案为：.
高频考点二：幂函数的值域
1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，值域是的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D；
对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，满足条件；
对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又，所以值域为，不满足条件；
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
幂函数的图像过点，
，解得，
，
的值域是.
故选：D.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）下列函数是偶函数且值域为的是（ ）
①；②；③；④ .
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
对于①，是偶函数，且值域为；
对于②，是奇函数，值域为；
对于③，是偶函数，值域为；
对于④，是偶函数，且值域为，
所以符合题意的有①④
故选：C.
4．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设，
代入点得
，
则，令，
函数的值域是.
故选：C.
5．（2021·河北·石家庄市第九中学高一期中）若幂函数的图象过点，则的值域为____________．
【答案】
设，因为幂函数的图象过点，所以
所以，所以
故答案为：
高频考点三：幂函数图象
①判断幂函数图象
1．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根据函数图象可得：①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，故D选项符合要求.
故选：D
2．（2022·全国·高一）图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（　　）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】D
由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，
结合选项知，指数的值依次可以是．
故选：D.
3．（2022·湖南·高一课时练习）结合图中的五个函数图象回答问题：
(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
(1)
数形结合可知，的图象关于轴对称，故其为偶函数；
的图象关于原点对称，故都为奇函数.
(2)
数形结合可知：的定义域是，值域为；
的定义域都是，值域也是；
的定义域为，值域也为；
的定义域为，值域为.
(3)
数形结合可知：的单调增区间是：，无单调减区间；
的单调增区间是：，无单调减区间；
的单调减区间是：和，无单调增区间；
的单调减区间是，单调增区间是.
(4)
数形结合可知：
幂函数均恒过点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.
对幂函数，当，其一定在是单调增函数；当，在是单调减函数.
②幂函数图象过定点问题
1．（2022·北京·高三专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.
【答案】
时，，所以函数图象恒过定点．
故答案为：．
2．（2021·全国·高一专题练习）函数恒过定点______．
【答案】
当，即时，，函数恒过定点.
故答案为：.
3．（2021·全国·高一课时练习）函数的图象过定点________．
【答案】
幂函数的图象过，
将代入，可得，
所以函数的图象过定点.
故答案为：.
4．（2021·上海·高一专题练习）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________．
【答案】
因为幂函数过点，可解得，
所以，
故，
当时，，
故恒过定点.
故答案为
5．（2021·全国·高一课时练习）若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．
【答案】
因为过定点，
将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：，
所以过定点.
故答案为.
高频考点四：幂函数单调性
①判断幂函数的单调性
1．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））下列函数是偶函数，且在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
A选项：，，为偶函数，在上单调递增，故A选项正确；
B选项：，，为偶函数，时，，在上单调递减，故B选项错误；
C选项：，，为偶函数，时，，在上单调递减，故C选项错误；
D选项：，，且，为非奇非偶函数，且在上单调递增，故D选项错误；
故选：A.
2．（2022·河南开封·高一期末）已知函数幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
因为函数为幂函数，则，即，解得或.
若，函数解析式为，该函数在定义域上不单调，舍去；
若，函数解析式为，该函数在定义域上为增函数，合乎题意.
综上所述，.
故选：A.
3．（多选）（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
A：在上不单调，不符合；
B：且是偶函数，在上单调递增，符合；
C：在上递减，不符合；
D：且是偶函数，且在上单调递增，符合.
故选：BD
4．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．
【答案】
由题意得，函数为幂函数且在内是单调递减，所以，解得．
故答案为：.
5．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
解：因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；
综上所述，.
(2)
解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，
即，即，解得，
所以满足的实数的取值范围为.
②由幂函数单调性求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】C
由函数为幂函数知，
，解得或.
∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴，，
∴.
故选：C.
2．（2022·江苏省天一中学高一期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；
若幂函数在上是减函数，
则，解得或
故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件
故选：A
3．（2022·广西百色·高一期末）已知幂函数在上单调递减，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【答案】A
由题意，幂函数，可得，解得或，
当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，
综上可得，实数的值为.
故选：A.
4．（2022·河南平顶山·高一期末）已知幂函数在其定义域上是增函数，则实数___________．
【答案】
因为为幂函数，所以，解得或，
又在其定义域上是增函数，
所以，所以.
故答案为：
5．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知幂函数在上单调递减，则实数__________．
【答案】
根据幂函数的定义知，即，
解得或，
又在上单调递减，
所以．
故答案为：.
③由幂函数单调性解不等式
1．（2022·全国·高三专题练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
因为定义域为，且为增函数，又，所以，解得：，因为，而，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2022·北京·高三专题练习）若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为幂函数在和上都是单调递减的，
所以，由可得或或
解得或，
即实数m的取值范围为.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
4．（2022·重庆巫山·高一期末）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______
【答案】
由题意，不妨设，
因为幂函数过点，则，解得，
故为定义在上的奇函数，且为增函数，
因为，则，
故，解得，
从而实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（2022·湖北武汉·高一期末）已知幂函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)若，求代数式的最小值．
【答案】(1)(2)5
(1)
由题知，，解得或，
又函数为奇函数，则，，
(2)
由（1）知，函数单增，等价于，解得，
，当且仅当时，等号成立.
因此，代数式的最小值为5.
6．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.
（1）求和的值；
（2）求满足的的取值范围.
【答案】（1）或；；（2）
知，再根据幂函数的单调性即可求解.
（1）函数为幂函数，，
即，解得或，
函数在上是减函数
，解得，
又函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，
，当时，，函数不是偶函数，舍去；
当时，，函数为偶函数，满足条件；
当时，，函数不是偶函数，舍去；
综上所述，.
（2）由（1）可知，
因为在，上单调递减，
所以等价于
或或，
解得或.
故的取值范围为
高频考点五：幂函数的奇偶性
1．（2022·辽宁·育明高中高一期末）下列函数中，值域是且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
的值域为，不符合题意，A选项错误.
，当时等号成立，不符合题意，B选项错误.
的定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意，C选项错误.
令，其定义域为，，所以是偶函数，
且，即的值域为，符合题意，D选项正确.
故选：D
2．（2022·四川雅安·高一期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【答案】C
幂函数为偶函数，
，且为偶数，
则实数，
故选：C
3．（多选）（2022·广西钦州·高一期末）若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BD
因为函数是幂函数，所以，
解得：或，
当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；
当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意，
故选：BD.
4．（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知幂函数f(x)是奇函数且在上是减函数，请写出f(x)的一个表达式________．
【答案】
因为幂函数是奇函数且在上是减函数，
所以为负数且为奇数，
所以f(x)的一个表达式可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）
5．（2022·四川·宁南中学高一开学考试）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在区间内是减函数，则的解析式为________．
【答案】
因幂函数在区间内是减函数，
则有，解得，而，于是得，
又的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，即幂指数为偶数，
而或时是奇数，时为偶数，
所以，的解析式为.
故答案为：
高频考点六：二次函数
①二次函数值域问题
1．（多选）（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）设函数，，若存在，，使，则的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】CD
注意，所以恒非负，
且对称轴.固定，只需当时，
因此只需存在使，故，解得.
故选：CD
2．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______
【答案】80
因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.
故答案为：80
3．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
当时，，
∴当时，，
当时，为增函数，
所以时，取得最大值，
∵对，使得，
∴，
∴，解得.
故答案为：.
4．（2022·湖南·高一课时练习）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】，
，
二次函数的开口向下，对称轴为，且
所以函数在单调递增，在上单调递减，
所以，
②求二次函数解析式
1．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知二次函数，满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)求在区间上的值域.
【答案】(1)(2)
(1)
解：由可得，
，
由得，
所以，解得，所以.
(2)
解：由（1）可得：，
则的图象的对称轴方程为，，
又因为，，
所以，在区间上的值域为.
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数有最小值，且函数的零点为和2，求该二次函数的表达式．
【答案】
因为二次函数的零点为和2，
所以设二次函数为，
因为二次函数有最小值，
所以，
所以，解得，
所以二次函数为
3．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数的图象开口向下，与轴交于，两点．
(1)求的取值范围；
(2)当时，求该二次函数的表达式．
【答案】(1);
(2)
(1)
抛物线开口向下,与.x轴有两个交点，
(2)
是方程的两根，
又
或
所求函数的表达式为
4．（2022·河南·信阳高中高一期末（文））已知为二次函数，且．
(1)求的表达式；
【答案】(1)
(1)
设，
因为，
所以
整理的，
故有，即，所以.
5．（2022·山西·高一期末）已知是二次函数，且满足，，.
(1)求函数的解析式；
【答案】(1).
(1)
解：设，
因为，所以函数关于对称，
所以，
又，，
所以，解得，
所以；
③由二次函数单调性（区间）求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为函数在R上为减函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为，
故选：B.
2．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由于函数是开口向上，对称轴为，
所函数的单调递减区间为，
又函数在上是减函数，
所以，所以，所以.
故选;B.
3．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】
当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
4．（2022·广东揭阳·高二期末）若函数的递增区间是，则实数______.
【答案】
因为二次函数开口向上，对称轴为，故其单调增区间为，
又由题可知：其递增区间是，故.
故答案为：.
5．（2022·湖南·高一课时练习）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【答案】
二次函数的对称轴为：，
因为函数在区间上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为.
④根据二次函数最值（值域）求参数
1．（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
因为二次函数的值域为，
所以，
即，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：A
2．（2022·山西运城·高一期末）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】D
由题意知，，
∴且，
∴，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D.
3．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.
【答案】
函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，
当x≥1时，函数为增函数，且
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]
4．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【答案】(1)
(2)或
(1)
当时，不等式，
即为，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集为．
(2)
，
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
5．（2022·重庆·高一期末）已知函数，．
(1)若在上的值域为，求的值；
【答案】(1)．
(1)
解：因为函数，，对称轴，且，，，
当时，函数在上单调递增，所以
，即，此时无解；
当时，函数在上单调递减，所以
，即，解得；
当，即时，函数在取得最小值，所以，即，方程在上无解，
综上得：；
⑤动轴定范围，定轴动范围的最值问题
1．（2022·浙江金华第一中学高一期末）己知函数，
(1)求在上的最小值；
【答案】(1)答案见解析
(1)
解：（1）由，抛物线开口向上，对称轴为，
在上的最小值需考虑对称轴与区间的位置关系.
（i）当时，；
（ii）当时，；
（ⅲ）当时，
2．（2022·广东·高一期末）已知函数．若函数在区间上的最大值为，求a的值．
【答案】
对称轴为，当，即时，在上单调递减，，舍去；
当，即时，，解得：或（舍去）；
当，即时，在上单调递增，，解得：（舍去）；
综上：
3．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知二次函数满足，且不等式的解集为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在时的值域为，求t的取值范围，
【答案】(1)(2)
解：因为为二次函数，所以为一元二次不等式，
故可设，
所以，
由，得，所以，
所以；
(2)
解：因为，
所以当时，取最小值，
又由，得或，
所以结合的对称性，可知，且，
所以
所以的取值范围为
4．（2022·山东·广饶一中高一开学考试）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
【答案】(1)(2)(3)
(1)
解：当时，函数，
不等式，即，解得或，
即不等式的解集为.
(2)
解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
要使得在上单调递增，则满足，
所以的取值范围为.
(3)
解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
当时，函数在上单调递增，所以最小值为；
当时，函数在递减，在上递增，
所以最小值为；
当时，函数在上单调递减，所以最小值为，
综上可得，在上的最小值为.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））设求函数的最小值的解析式.
【答案】
，，
函数图像的对称轴为直线，
∴当时，即时，
.
当，即时，在上是减函数，
∴.
当时，在上是增函数，
∴.
综上：.
1．（2021·山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点
【答案】C
，最大值是1，A正确；
对称轴是直线，B正确；
单调递减区间是，故C错误；
令的，故在函数图象上，故D正确，
故选：C
2．（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
函数的对称轴为，开口向上，
所以函数的单调递减区间是，
故选：C.
3．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
，因为为奇函数，所以
故答案为：
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在闭区间上有最大值5，最小值1，则得取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
函数的对称轴为，此时，函数取得最小值为1，
当或时，函数值等于5．
又在区间，上的最大值为5，最小值为1，
实数的取值范围是，，故选D．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)
A．f(0)C．f(2)【答案】A
由知函数图象的对称轴为，而抛物线的开口向上，且，，，根据到对称轴的距离远的函数值较大得．故选A.
3．（2022·全国·高三专题练习）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
由，
由的图像经过，则的值为，此时为奇函数.
又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过.
所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件
故选：C
4．（2022·北京·高三专题练习）已知点在幂函数图像上，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设，由条件可知，所以，
所以，
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是(　　)
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
【答案】B
因为图象与轴交于两点，所以，即，①正确．
对称轴为，②错误．
结合图象，当时，，即，③错误．
由对称轴为知，.又函数图象开口向下，所以，所以，即，④正确．故选B．
6．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在为增函数，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
为幂函数，，解得：或；
当时，，则在上为减函数，不合题意；
当时，，则在上为增函数，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象在上单调递减，则实数的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】A
由幂函数定义得，
解得或.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
故选：A
8．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
二、填空题
9．（2022·山东济宁·高一期末）已知是奇函数，当时，，则______．
【答案】-4
因为是奇函数，当时，，
所以，得，
所以，，
因为是奇函数
所以，
故答案为：
10．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））若幂函数是偶函数，则___________.
【答案】
解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，为奇函数，不满足，舍；
当时，，为偶函数，满足条件.
所以.
故答案为：
11．（2021·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）设，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围为____．
【答案】
因为，
当时，，符合题意；
当时，，解得，不成立；
当时，，解得，不成立；
所以a的取值范围是.
故答案为：.
12．（2021·河南商丘·高一期中）已知函数.若在区间上的最大值为，最小值为，则实数___________.
【答案】
由可得的对称轴为，
所以当时，即，
当时，，
由可得，所以，
故答案为：.
三、解答题
13．（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)；
(2).
(1)
解：由题得或.
当时，在上为增函数，符合题意；
当时，在上为减函数，不符合题意.
综上所述.
(2)
解：由题得，
令，
抛物线的对称轴为，所以.
所以函数的值域为.
14．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
(1)求函数的解析式.
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
(1)
由是幂函数，则，解得，又是偶函数，
∴是偶数，
又在上单调递增，则，可得，
∴或2.
综上，，即.
(2)
由（1）偶函数在上递增，
∴
∴的范围是.
15．（2021·湖北孝感·高一期中）已知函数
(1)若函数在区间有两个不同的零点，求的正整数值；
(2)若，求函数的最小值．
【答案】(1)2
(2)
(1)
因为在区间有2个不同的零点，所以，即解得．所以满足条件的的正整数值为2．
(2)
当，即时，在单调递增，；
当，即时，在单调递减，；
当即时，在单调递减，在单调递增，；
综上所述，．
16．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）已知函数.
(1)当，时，求函数的值域；
(2)若函数在上的最大值为，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：当时，，
故当时，，，
此时，函数在上的值域为.
(2)
解：函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，
此时，解得，合乎题意；
②当时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
若，由，可得，不合乎题意；
若，由，可得，不合乎题意；
③当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，解得，不合乎题意.
综上所述，.第04讲 幂函数与二次函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：幂函数的定义
①求幂函数的值
②求幂函数的解析式
③由幂函数求参数
高频考点二：幂函数的值域
高频考点三：幂函数图象
①判断幂函数图象
②幂函数图象过定点问题
高频考点四：幂函数单调性
①判断幂函数的单调性
②由幂函数单调性求参数
③由幂函数单调性解不等式
高频考点五：幂函数的奇偶性
高频考点六：二次函数
①二次函数值域问题;②求二次函数解析式
③由二次函数单调性（区间）求参数
④根据二次函数最值（值域）求参数
⑤动轴定范围，定轴动范围的最值问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第04讲 幂函数与二次函数（精练）
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
性质 定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
一、判断题
1．（2021·全国·高一课时练习）若，则．( )
2．（2021·全国·高一课时练习）若，则．( )
二、单选题
1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·云南玉溪·高一期末）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．和
4．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
5．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A．－1 B．－1或3 C．3 D．2
高频考点一：幂函数的定义
①求幂函数的值
1．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
2．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数的图象经过点，则=____.
3．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知幂函数的图象过点，则________
②求幂函数的解析式
1．（2022·上海市控江中学高一期末）若幂函数是严格增函数，则实数______.
2．（2022·北京·高一期末）幂函数的图象恒过点_________，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是____________．
3．（2022·辽宁辽阳·高一期末）已知幂函数的图象过点，则______，的解集为______.
③由幂函数求参数
1．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2 B．16 C． D．
2．（2022·贵州毕节·高一期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．1 B．6 C．2 D．
3．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）幂函数在上单调递增，则______．
高频考点二：幂函数的值域
1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，值域是的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）下列函数是偶函数且值域为的是（ ）
①；②；③；④ .
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
4．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·河北·石家庄市第九中学高一期中）若幂函数的图象过点，则的值域为____________．
高频考点三：幂函数图象
①判断幂函数图象
1．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一）图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（　　）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
3．（2022·湖南·高一课时练习）结合图中的五个函数图象回答问题：
(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？
②幂函数图象过定点问题
1．（2022·北京·高三专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.
2．（2021·全国·高一专题练习）函数恒过定点______．
3．（2021·全国·高一课时练习）函数的图象过定点________．
4．（2021·上海·高一专题练习）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________．
5．（2021·全国·高一课时练习）若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．
高频考点四：幂函数单调性
①判断幂函数的单调性
1．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））下列函数是偶函数，且在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南开封·高一期末）已知函数幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数（ ）
A． B．
C．或 D．
3．（多选）（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．
5．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
②由幂函数单调性求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
2．（2022·江苏省天一中学高一期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．（2022·广西百色·高一期末）已知幂函数在上单调递减，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
4．（2022·河南平顶山·高一期末）已知幂函数在其定义域上是增函数，则实数___________．
5．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知幂函数在上单调递减，则实数__________．
③由幂函数单调性解不等式
1．（2022·全国·高三专题练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·北京·高三专题练习）若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆巫山·高一期末）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______
5．（2022·湖北武汉·高一期末）已知幂函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)若，求代数式的最小值．
6．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.
（1）求和的值；
（2）求满足的的取值范围.
高频考点五：幂函数的奇偶性
1．（2022·辽宁·育明高中高一期末）下列函数中，值域是且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川雅安·高一期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
3．（多选）（2022·广西钦州·高一期末）若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知幂函数f(x)是奇函数且在上是减函数，请写出f(x)的一个表达式________．
5．（2022·四川·宁南中学高一开学考试）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在区间内是减函数，则的解析式为________．
高频考点六：二次函数
①二次函数值域问题
1．（多选）（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）设函数，，若存在，，使，则的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______
3．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
4．（2022·湖南·高一课时练习）求函数在区间上的最大值和最小值．
②求二次函数解析式
1．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知二次函数，满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)求在区间上的值域.
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数有最小值，且函数的零点为和2，求该二次函数的表达式．
3．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数的图象开口向下，与轴交于，两点．
(1)求的取值范围；
(2)当时，求该二次函数的表达式．
4．（2022·河南·信阳高中高一期末（文））已知为二次函数，且．
(1)求的表达式；
5．（2022·山西·高一期末）已知是二次函数，且满足，，.
(1)求函数的解析式；
③由二次函数单调性（区间）求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
4．（2022·广东揭阳·高二期末）若函数的递增区间是，则实数______.
5．（2022·湖南·高一课时练习）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
④根据二次函数最值（值域）求参数
1．（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2022·山西运城·高一期末）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
3．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.
4．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
5．（2022·重庆·高一期末）已知函数，．
(1)若在上的值域为，求的值；
⑤动轴定范围，定轴动范围的最值问题
1．（2022·浙江金华第一中学高一期末）己知函数，
(1)求在上的最小值；
2．（2022·广东·高一期末）已知函数．若函数在区间上的最大值为，求a的值．
3．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知二次函数满足，且不等式的解集为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在时的值域为，求t的取值范围，
4．（2022·山东·广饶一中高一开学考试）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））设求函数的最小值的解析式.
1．（2021·山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点
2．（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在闭区间上有最大值5，最小值1，则得取值范围是
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)
A．f(0)C．f(2)3．（2022·全国·高三专题练习）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·北京·高三专题练习）已知点在幂函数图像上，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是(　　)
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
6．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在为增函数，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象在上单调递减，则实数的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·山东济宁·高一期末）已知是奇函数，当时，，则______．
10．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））若幂函数是偶函数，则___________.
11．（2021·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）设，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围为____．
12．（2021·河南商丘·高一期中）已知函数.若在区间上的最大值为，最小值为，则实数___________.
三、解答题
13．（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
14．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
(1)求函数的解析式.
(2)若，求的取值范围.
15．（2021·湖北孝感·高一期中）已知函数
(1)若函数在区间有两个不同的零点，求的正整数值；
(2)若，求函数的最小值．
16．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）已知函数.
(1)当，时，求函数的值域；
(2)若函数在上的最大值为，求实数的值．

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