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第05讲 指数与指数函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：指数与指数幂的运算
高频考点二：指数函数的概念
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象； ②根据指数型函数图象求参数
③指数型函数图象过定点问题； ④指数函数图象应用
高频考点四：指数（型）函数定义域
高频考点五：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间上的值域； ②指数型复合函数值域
③根据指数函数值域（最值）求参数
高频考点六： 指数函数单调性
①判断指数函数单调性； ②由指数（型）函数单调性求参数
③判断指数型复合函数单调性； ④比较大小
⑤根据指数函数单调性解不等式
高频考点七：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
②根据指数函数最值求参数
③含参指数（型）函数最值
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 指数与指数函数（精练）
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
底数
图象
性质 定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有
在定义域上为增函数 在定义域上为减函数
注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数（且）的图象必过定点( )
【答案】正确
解：令得，，此时，
函数的图象必过定点，
故答案为：正确
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习） ( )
【答案】正确
，判断正确
故答案为：正确．
二、单选题
1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数在的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为函数是单调递增函数，
所以函数也是单调递增函数，
所以.
故选：C
2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由指数函数（，且），且
根据指数函数单调性可知
所以，
故选：A
3．（2022·北京·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.
另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.
故选：B
4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为指数函数在R上单调递减，
所以，得，
所以实数a的取值范围是，
故选：D
5．（2022·北京·高三专题练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
由题意可得，解得.
故选：C.
高频考点一：指数与指数幂的运算
1．（2022·广东肇庆·高一期末）设，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
∵，，∴，
∴，
故选：B
2．（2022·上海杨浦·高一期末）设，下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，，，
故选：C
3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：对A：，故选项A错误；
对B：，故选项B正确；
对C：，不能化简为，故选项C错误；
对D：因为，所以，故选项D错误.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
【答案】C
原式＝.
故选：C.
高频考点二：指数函数的概念
1．（2022·浙江·高三专题练习）函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)= （ ）
A． B． C． D．9
【答案】D
由，解得，所以．
故选：D.
2．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数在上单调递增，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
解得，
又函数在上单调递增，则，
故选：B
3．（2022·全国·高一课时练习）函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
因为函数是指数函数
所以，且，
解得.
故选：C.
4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于
A． B． C． D．
【答案】D
指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1
则 解得a=
故选D
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象
1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由函数，
得，所以函数为偶函数，故排除AB，
当时，，
所以函数在上是减函数，故排除D.
故选：C.
2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
根据
，
是减函数，是增函数.
在上单调递减，在上单调递增
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）．
A． B．C．D．
【答案】C
试题分析：由，在上单调递减，所以排除；
令，，C正确．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图象可能是 (　 　)
A． B．
C． D．
【答案】C
①当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则A错误；
又时，，则函数过点，故B错误；
②当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则D错误；
又时，，则函数过点，故C正确；
故选：C
②根据指数型函数图象求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
由，可得，
因为由图像可知函数是减函数，所以，所以，
因为，
所以，所以，
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）函数与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由图可知，单调递增，则；单调递减，则，
A：0不一定成立，如；
B：不一定成立，如；
C：，成立；
D：不成立，，，.
故选：C.
3．（2021·全国·高一专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；
分析可知：
函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.
故选：D
4．（2021·全国·高一专题练习）若函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
根据图象，函数是单调递减的
所以指数函数的底
根据图象的纵截距，令，
解得
即，
故选：D.
③指数型函数图象过定点问题
1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数且的图象恒过定点（ ）
A．(－2，0) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(－1，－2)
【答案】A
由题意，函数且，
令，解得，
，
的图象过定点．
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
对于函数，当时，，
所以函数过定点，
设以为顶点且过原点的二次函数，
因为过原点，
所以，解得：，
所以的解析式为：，
故选：A.
3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
且恒过定点则函数恒过定点且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故选：B
④指数函数图象应用
1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
当时，是减函数，，，D选项错误，C选项符合.
当时，是增函数， ，，AB选项错误.
故选：C
2．（2021·全国·高一课时练习）函数，且）与的图像大致是
A． B． C． D．
【答案】A
由题知，直线的斜率为，故排除选项C、D，又由选项A、B中的图像知，当时， ，所以A正确，B错误．
故选A．
3．（2021·全国·高一课时练习）若，，则函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】A
由可得函数的图像单调递增，且过第一、二象限，由可得把的图像向下平移个单位可得的图像，结合可知，图像过第一、二、三象限．
故答案为A
高频考点四：指数（型）函数定义域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由题意得：，
故，故，
解得：，
故函数的定义域是，
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由得，即.
故选：D.
3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　)
A．a＞0 B．a＜1
C．0＜a＜1 D．a≠1
【答案】C
要使函数且有意义,
则,
即,
当时，；
当时，，
因为的定义域为
所以可得符合题意，
的取值范围为，故选C.
4．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由即可得
所以的定义域为，
令，可得，所以函数的定义域为，
故选：A．
高频考点五：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间上的值域
1．（2022·全国·高一）当x[-1，1]时，函数f(x)=3x-2的值域为________
【答案】
因为x[-1，1]，
所以，
所以，
所以f(x)=3x-2的值域为，
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=9x﹣a3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若对于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．
【答案】（Ⅰ）g（a）=；（Ⅱ）m≤﹣或m≥．
解：（Ⅰ）令u=3x∈[1，3]，则f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2．
当≤2，即a≤时，g（a）=h（u）max =h（3）=a2﹣9a+9；
当，即a＞时，g（a）=h（u）max=h（1）=a2﹣3a+1；
故g（a）=；
（Ⅱ）当a≤时，g（a）=a2﹣9a+9，g（a）min=g（）=﹣；
当a时，g（a）=a2﹣3a+1，g（a）min=g（）=﹣；
因此g（a）min=g（）=﹣；
对于任意任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立等价于﹣m2+tm≤﹣．
令h（t）=mt﹣m2，由于h（t）是关于t的一次函数，故对于任意t∈[﹣2，2]都有h（t）≤﹣等价于，即，
解得m≤﹣或m≥．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求函数在的值域；
【答案】（1）；
（1）当时，，
令，，则，
故，，
故值域为；
4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
(1)
由，可得：，解得：，
∴；
(2)
由，可得，
令，则，
则原问题等价于y＝m与y＝h(t)＝在上有交点，
数形结合可知m∈[h()，h(4)]＝.
故实数的取值范围为：.
②指数型复合函数值域
1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
令，则，
∵，
∴，
∴函数的值域为，
故选：D
2．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数的值域为______．
【答案】
由于，在上单调递减，
所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是___________.
【答案】
因为，设,
,
在上单调递增,
所以
故答案为：.
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若有最大值16，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)
当时，.
因为在R上单调递增，且，
可得，所以，
故的值域为.
(2)
令，因为函数在其定义域内单调递增，
所以要使函数有最大值16，则的最大值为4，
故解得.
故的值为.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求在上的值域；
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】
（1）令，当时，，则可将原函数转化为，
当时，；当时，；
在上的值域为；
③根据指数函数值域（最值）求参数
1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数的定义域和值域都是，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
当时，，方程组无解
当时，，解得
故选：A.
2．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，
且的值域为，
所以，解得.
故选：C.
3．（2022·全国·高一）已知函数且在区间上的最大值比最小值大,求的值.
【答案】或
时，是减函数，，；
时，是增函数，，．
综上，或．
4．（2022·湖南·高一期末）已知函数.
(1)求的值域；
(2)当时，的最大值为7，求的值.
【答案】(1)(2)或
(1)
设，则.
因为，所以，所以，
所以，
即的值域为.
(2)
函数图象的对称轴为直线.
当时，，
所以在上单调递增，
则，解得或（舍去）
所以；
当时，，所以在上单调递增，
则，解得或（舍去），
因为，所以.
综上，或.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为常数，）是上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的值域为，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)
由是奇函数得，，此时是奇函数；
(2)
由复合函数的性质得在定义域内是增函数，
所以，，，或（舍去），
，
所以．
高频考点六： 指数函数单调性
①判断指数函数单调性
1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数，则 （ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
函数的定义域为，，所以函数为奇函数.
而，可知函数为定义域上的减函数，
因此，函数为奇函数，且是上的减函数.
故选：D.
2．（2022·福建宁德·高一期末）已知是上的奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并根据定义证明．
【答案】(1)(2)见解析
(1)
已知是上的奇函数，且，
所以 ，解得，
所以，
(2)
根据指数函数的单调性可判断得为增函数.
下证明：设是上任意给定的两个实数，且，
则
，， ，，
函数在上是单调递增函数
3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数是指数函数
(1)求，的值；
(2)求解不等式
【答案】(1)且；
(2)；
(1)
因函数是指数函数，则，解得，
所以，的值是：且 .
(2)
由(1)知，，，则函数在R上单调递增，
由得：，解得，
所以不等式的解集是：.
4．（2021·全国·高一期末）设函数，
(1)判断的单调性，并证明你的结论；
【答案】(1)增函数，证明见解析；
(1)
依题意，函数定义域为R，是R上的增函数，
，且，则，
因为R上的增函数，则由得，即，，
于是得，即，
所以函数是上的增函数.
②由指数（型）函数单调性求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是.
故选：A.
2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是___．
【答案】
由题知．
故答案为：.
3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.
【答案】
因为分段函数在上单调递减，所以每段都单调递减，即，并且在分界点处需满足，即，解得：.
故答案为：
4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数________.
【答案】1
依题意知，即，解得：（舍）
故答案为：1
5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为
所以，即
故答案为：
6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数是区间上的减函数，求实数的取值范围．
【答案】
函数是区间上的减函数，
故 ，即，
所以 ，
故实数的取值范围为 .
③判断指数型复合函数单调性
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
函数在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为.
故选：D
2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题可知函数在上是增函数，
∴，解得．
故选：B．
3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】
令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
故答案为：.
4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性.
【答案】(1)；
(2)在R上单调递增，证明见解析.
【解析】
(1)
由题设，，整理可得：恒成立，解得.
(2)
由（1）知：，在R上单调递增，证明如下：
令，则，又，，，
所以，即在R上单调递增.
④比较大小
1．（2022·广东汕尾·高一期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
因为在上为减函数，且，
所以，所以，
故选：A
2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由，指数函数在上单调递增，因为，且，即．
故选：D.
3．（2022·福建三明·高一期末）已知，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由，
所以.
故选：B
4．（2022·海南·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设，可得，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则，，所以最小，
又由，因为，所以，所以，
综上可得：.
故选：D.
⑤根据指数函数单调性解不等式
1．（2022·全国·高一）若，则x的取值范围是______．
【答案】
解：原不等式可化为，而指数函数是定义在R上的减函数，
所以，即原不等式的解集为；
故答案为：
2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式的解集是__________.
【答案】
，，
，或，
解得或，
所以不等式不等式的解集是.
故答案为：
3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是______．
【答案】
是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
则，等价为，
即，
则，得，
即实数的取值范围是，
故答案为：
4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)解不等式．
【答案】(1)；(2).
(1)
解：因为数是定义在R上的偶函数，当，，
则当时，，.
因此，对任意的，.
(2)
解：由（1）得，
所以不等式，即，
令，则，于是，解得，
所以，得或，
从而不等式的解集为．
高频考点七：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：，使得，等价于， ，
由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，
又在上单调递增，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数，，则（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】C
在上是增函数，
所以最小值为，没有最大值.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，则________；函数在区间的最大值为_________．
【答案】
当时，；
令，所以，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
所以，此时，
故答案为：；.
【点睛】
思路点睛：求解形如的函数的最值的步骤：
（1）先采用换元法令，并求解出的取值范围；
（2）将变形为关于的二次函数，根据其对称轴以及开口方向确定出其最值，由此求解出的最值.
4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
当时，，
∴当时，，
当时，为增函数，
所以时，取得最大值，
∵对，使得，
∴，
∴，解得.
故答案为：.
5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知，则函数的最大值为__________.
【答案】
设，，则，，
故当，即时，函数有最大值为.
故答案为：.
②根据指数函数最值求参数
1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数在上有最大值，则实数a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】A
∵函数在上有最大值，
∴，，
∴，解得或（舍去）.
故选：A.
2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
当时，函数在上为减函数，
则，解得；
当时，函数在上为增函数，
则，解得.
综上所述，或.
故选：BC.
3．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数（且）在的最大值与最小值之差等于，则实数的值为______．
【答案】或
若，则函数在上为增函数，则，解得；
若，则函数在上为减函数，则，解得.
综上所述，或.
故答案为：或.
4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______．
【答案】或2
①当时，，得；②当时，，得，故或2．
故答案为：或2.
5．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值和最小值之和为6，则实数______.
【答案】2
当时，函数在区间上是增函数，
所以，，由于最小值和最大值之和 6，即：，
解得：或﹣3（负值舍去）；
当，函数在区间上是减函数，
所以，，由于最小值和最大值之和 6，即：，
解得：或﹣3，而，故都舍去.
故答案为：2.
6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数（且）在区间上的最小值为，求的值．
【答案】
解：令，则，令.
①当时，因为，则，
函数在上为增函数，则，
，解得；
②当时，因为，则，
函数在上为增函数，则，不合乎题意.
综上所述，.
③含参指数（型）函数最值
1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
【答案】3或
令ax=t，则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时，因为x∈[-1，1]，所以t∈，又函数y=(t+1)2-2在上单调递增，所以ymax=(a+1)2-2=14，解得a=3(负值舍去).
当0故答案为: 3或
2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）.
（1）当时，，
，由，可得，解得，
即当时，函数的零点为；
（2）令，即求在区间上的最大值．
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，，则；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，，则；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，.
综上所述，.
【点睛】
方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数．
（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
解：（1），，，，，
①时，，解得（舍
②时，，解得，
；
（2），，令，
在有解，
当且仅当，即时等号成立，此时函数的图象如图，
时，取得最大值，
综上，．
4．（2022·全国·高一课时练习）求函数的最值.
【答案】最小值为，无最大值
解：.
（方法一），
，
即.
的最小值为-1，无最大值.
（方法二）当即时取最小值，且.
1．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
2．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
（1）函数的图象如图所示：
（2），
当时， ，可得：，
当，，可得：，
所以的解集为：，
所以的取值范围为.
一、单选题
1．（2022·江苏江苏·一模）设全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解不等式得：，则，
解不等式得：，则，，
所以.
故选：C
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，则ab=（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
因，，
因此有，即，
而函数在R上单调递增，则，
所以.
故选：B
3．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，函数，可得函数在上为增函数，
当时，可得，所以，
所以，即.
故选：C.
4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），且经过一定时间（单位：）后物体的温度（单位：）满足（为正常数）.现有一杯100热水，环境温度℃，冷却到40℃需要，那么这杯热水要从继续冷却到，还需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意得，则
故选：C
5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可得，即，函数单调递增，所以，解得．
故选：B
6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
则，解得，即当时，，
当时，，则，
而当时，，则当时，，即，
变形得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数，，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为函数，，所以函数.
所以定义域为R.
因为，所以为偶函数.排除A;
又，排除D;
因为在为增函数，在为增函数，所以在为增函数.因为为偶函数，图像关于y轴对称，所以在为减函数.故B错误，C正确.
故选：C
8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为，，，
且幂函数在上单调递增，因为所以，即，
指数函数在上单调递增，因为所以，所以，
综上，
故选：A.
二、填空题
9．（2022·江苏连云港·二模）函数的最小值是___________.
【答案】
，当且仅当，即时取等.所以最小值为.
故答案为：.
10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“”的单调递增函数是________. （填序号）
①；②；③；④f（x）＝3x
【答案】④
①，，，不满足.
②，，，不满足.
③，是上的减函数，不符合题意.
④，，，且在上递增，符合题意.
故答案为：④
11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的值域为_________.
【答案】##
是R上的增函数，
，，，
当,时，；
当,时，；
∴函数的值域为,．
故答案为：{－1,0}.
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________
【答案】
函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，原不等式可化为，所以，解得，故的取值范围是．
故答案为：
三、解答题
13．（2022·湖南·高一课时练习）已知，且，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)
解：因为，且，
所以；
(2)
解：因为，所以，
则，
因为，所以舍去）；
(3)
解：.
14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
(1)
解：设，则，，
即当时，.
(2)
解：当时，；当时，；
又因为，所以，函数在上的值域为，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
因为，则，使得成立，则，解得.
15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
当时，即，
即，令 ，则，
解得 ，故 ，
所以关于的不等式的解集为 ；
(2)
对，不等式恒成立，
即恒成立，
令 ，则恒成立，
需满足 ，即 ，
而函数 是单调递增函数，且 时， ，
故由可知： ，
即求实数的取值范围为 .
16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求的值域．
【答案】(1)
(2)答案详见解析
(1)
因为，，
由，可得，
，
，
整理得，于是，．
当时，定义域为，是奇函数．
当时，定义域为，是奇函数．
因此．
(2)
当时，，定义域为，所以，于是，
，因此，故的值域为．
当时，，定义域为，所以，且，
于是，且，所以，或．
因此或，故的值域为．第05讲 指数与指数函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：指数与指数幂的运算
高频考点二：指数函数的概念
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象； ②根据指数型函数图象求参数
③指数型函数图象过定点问题； ④指数函数图象应用
高频考点四：指数（型）函数定义域
高频考点五：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间上的值域； ②指数型复合函数值域
③根据指数函数值域（最值）求参数
高频考点六： 指数函数单调性
①判断指数函数单调性； ②由指数（型）函数单调性求参数
③判断指数型复合函数单调性； ④比较大小
⑤根据指数函数单调性解不等式
高频考点七：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
②根据指数函数最值求参数
③含参指数（型）函数最值
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 指数与指数函数（精练）
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
底数
图象
性质 定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有
在定义域上为增函数 在定义域上为减函数
注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数（且）的图象必过定点( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习） ( )
二、单选题
1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数在的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·北京·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京·高三专题练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B．
C． D．
高频考点一：指数与指数幂的运算
1．（2022·广东肇庆·高一期末）设，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2022·上海杨浦·高一期末）设，下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
高频考点二：指数函数的概念
1．（2022·浙江·高三专题练习）函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)= （ ）
A． B． C． D．9
2．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数在上单调递增，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．且
4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于
A． B． C． D．
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象
1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）．
A． B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图象可能是 (　 　)
A． B．
C． D．
②根据指数型函数图象求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022·全国·高三专题练习）函数与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2021·全国·高一专题练习）若函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
③指数型函数图象过定点问题
1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数且的图象恒过定点（ ）
A．(－2，0) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(－1，－2)
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
④指数函数图象应用
1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高一课时练习）函数，且）与的图像大致是
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一课时练习）若，，则函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
高频考点四：指数（型）函数定义域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　)
A．a＞0 B．a＜1
C．0＜a＜1 D．a≠1
4．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
高频考点五：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间上的值域
1．（2022·全国·高一）当x[-1，1]时，函数f(x)=3x-2的值域为________
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=9x﹣a3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若对于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求函数在的值域；
4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
②指数型复合函数值域
1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数的值域为______．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是___________.
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若有最大值16，求的值.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求在上的值域；
③根据指数函数值域（最值）求参数
1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数的定义域和值域都是，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一）已知函数且在区间上的最大值比最小值大,求的值.
4．（2022·湖南·高一期末）已知函数.
(1)求的值域；
(2)当时，的最大值为7，求的值.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为常数，）是上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的值域为，求的值．
高频考点六： 指数函数单调性
①判断指数函数单调性
1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数，则 （ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
2．（2022·福建宁德·高一期末）已知是上的奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并根据定义证明．
3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数是指数函数
(1)求，的值；
(2)求解不等式
4．（2021·全国·高一期末）设函数，
(1)判断的单调性，并证明你的结论；
②由指数（型）函数单调性求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是___．
3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.
4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数________.
5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数是区间上的减函数，求实数的取值范围．
③判断指数型复合函数单调性
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性.
④比较大小
1．（2022·广东汕尾·高一期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建三明·高一期末）已知，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·海南·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
⑤根据指数函数单调性解不等式
1．（2022·全国·高一）若，则x的取值范围是______．
2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式的解集是__________.
3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是______．
4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)解不等式．
高频考点七：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数，，则（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，则________；函数在区间的最大值为_________．
4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知，则函数的最大值为__________.
②根据指数函数最值求参数
1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数在上有最大值，则实数a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数（且）在的最大值与最小值之差等于，则实数的值为______．
4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______．
5．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值和最小值之和为6，则实数______.
6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数（且）在区间上的最小值为，求的值．
③含参指数（型）函数最值
1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求在区间上的最大值．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数．
（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．
4．（2022·全国·高一课时练习）求函数的最值.
1．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
一、单选题
1．（2022·江苏江苏·一模）设全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，则ab=（ ）
A．2 B． C． D．1
3．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），且经过一定时间（单位：）后物体的温度（单位：）满足（为正常数）.现有一杯100热水，环境温度℃，冷却到40℃需要，那么这杯热水要从继续冷却到，还需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数，，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·江苏连云港·二模）函数的最小值是___________.
10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“”的单调递增函数是________. （填序号）
①；②；③；④f（x）＝3x
11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的值域为_________.
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________
三、解答题
13．（2022·湖南·高一课时练习）已知，且，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求的值域．

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