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第06讲 对数与对数函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：对数的运算； 高频考点二：换底公式
高频考点三：对数函数的概念； 高频考点四：对数函数的定义域
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域
③根据对数函数的值域求参数值或范围
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
②根据对数（型）函数的图象判断参数
③对数（型）函数图象过定点问题
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
④对数（指数）综合比较大小
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
②根据对数（型）函数的最值求参数
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第06讲 对数与对数函数（精练）
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
图象
性质 定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数 在上是单调减函数
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知，则不等式成立 ( )
【答案】错误
若，则满足，而无意义，所以错误，
故答案为：错误
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）( )
【答案】错误
.
故答案为：错误
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）.( )
【答案】正确
.故正确.
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）若则 ( )
【答案】错误
因，则，
所以命题不正确.
故答案为：错误
二、单选题
1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
A. 函数的定义域为，值域为R；
B. 函数的定义域为R，值域为；
C. 函数的定义域为R，值域为R；
D. 函数的定义域为，值域为，
故选：C
2．（2022·海南·模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解:由在单调递减，得，即；
，即；
由在R上单调递减，得，即；
即.
故选:A.
3．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由，由于，而，故不等式成立的一个充分不必要条件是，A选项是充要条件，B选项是既不充分也不必要条件，C选项是必要不充分条件.
故选：D.
4．（2022·陕西西安·高一期末）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
的定义域为，
，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误.
，所以B选项错误.
故选：C
5．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意，且，所以函数的定义域为.
故选：C
高频考点一：对数的运算
1．（2022·甘肃平凉·二模（文））______．
【答案】
．
故答案为：.
2．（2022·北京师大附中高一期末）______________．
【答案】
原式.
故答案为：.
3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）计算______.
【答案】7
解：
.
故答案为：7.
4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)7；(2)；(3)0.
(1)
由.
(2)
由.
(3)
由.
高频考点二：换底公式
1．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
.
故选：C
2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知，，用，表示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意知，
故选:D．
3．（2022·山东济南·二模）已知，，那么用含a、b的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由换底公式，.
故选：B.
4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：________.
【答案】
原式.
故答案为：.
高频考点三：对数函数的概念
1．（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数满足①定义域为；②值域为；③.写出一个满足上述条件的函数：___________.
【答案】（答案不唯一）
因为满足①定义域为；②值域为；
，
所以符合题意，
故答案为：，（答案不唯一）.
2．（2021·江苏·高一专题练习）对数函数f（x）的图象过点(3，－2），则f()＝________.
【答案】－1
设f(x)＝logax，则loga3＝－2，∴a－2＝3，
∴a＝，∴f（x）＝,
∴f()＝＝－1.
故答案为：－1
3．（2021·江苏南通·高三期中）写出满足条件“函数在上单调递增，且”的一个函数___________.
【答案】
是对数函数模型，满足条件.
故答案为：．
4．（2021·全国·高一专题练习）若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，则a=________.
【答案】2
因为函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，、
所以a2+a-5=1得或a=2
又a>0且a≠1，所以a=2.
故答案为：2
高频考点四：对数函数的定义域
1．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）函数f（x）= 的定义域为（　　）
A．（2，+∞） B．（0，2） C．（-∞，2） D．（0， ）
【答案】B
，解得
故选：B
2．（2022·四川·模拟预测（文））函数的定义域为___________.
【答案】
由已知可得，即，可得，解得.
故原函数的定义域为.
故答案为：.
3．（2022·四川宜宾·高一期末）函数的定义域为________.
【答案】##
由题意知，所以，所以，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
4．（2022·上海市控江中学高一期末）函数定义域为R，则实数k的取值范围为______.
【答案】
解：因为函数定义域为R，
所以在R上恒成立，
所以，解得.
故答案为：.
5．（2022·上海浦东新·高一期末）函数的定义域为_____________．
【答案】
【解析】
要使函数有意义，则有，即，解得
故答案为：
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域为_______________________．
【答案】
函数在定义域上单调递增.
当时，;
当时，，
，
所以的值域为.
故答案为：
2．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数．
(1)求在区间上的值域；
【答案】(1)(2)
(1)
∵，
∴在上单调递增，∴．
3．（2022·全国·高一课时练习）求函数的值域.
【答案】
为增函数，，，
所以函数的值域为.
②求对数型复合函数的值域
1．（2022·贵州·毕节市第一中学高一阶段练习）函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为（ ）
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】C
令，
又因为在上递增，
所以，
所以y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞)，
故选：C
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数的值域是________．
【答案】##
，而在定义域上递减，
，无最小值，
函数的值域为．
故答案为：.
3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数（a>0且a≠1）的图象过点.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的最小值.
【答案】(1)，定义域(2)
(1)
的图象过点，可得：
解得：
则有：
定义域满足：
解得：
故的定义域为
(2)
令，
故当x=3时，
可得：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求该函数的值域；
【答案】
解：，
令，由，则，
所以有，，
所以当时，，当时，
所以函数的值域为.
③根据对数函数的值域求参数值或范围
1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数的值域为，则实数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．9 D．27
【答案】C
解：因为函数的值域为，所以的最小值为，所以；
故选：C
2．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________.
【答案】
若，在上单调递减，则，不符合题意；
若，在上单调递增，则，当值域为时，可知，解得.
故答案为：
3．（2022·全国·高一阶段练习）函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
解：由题可知，函数的值域为，
令，由题意可知为函数的值域的子集.
①当时，，此时，
函数的值域为，合乎题意；
②当时，若为函数的值域的子集，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：．
4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数有最小值，则a的取值范围为______．
【答案】
当时，外层函数为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数，，又，所以；
当时，外层函数为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数 .
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数的值域为R，求实数取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)
当时，，
∵，
∴，
∴函数的值域；
(2)
要使函数的值域为R，则的值域包含，
∴，
解得或，
∴实数取值范围为.
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
1．（2022·广东汕尾·高一期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
2．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函数为上的减函数，排除AB选项，
函数的定义域为，
内层函数为减函数，外层函数为增函数，
故函数为上的减函数，排除D选项.
故选：C.
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵（且，且），
∴，∴，
∴，函数与函数互为反函数，
∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
②根据对数（型）函数的图象判断参数
1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D
y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，若有两解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由条件可知且，当时，，解得：，成立，
当时，若，，，，
有解，则，
如图，
当时，有交点，越大，越小，越大，当时，，
故选：D
3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由图易得，；取特殊点，
，．选A．
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.
【答案】
由题意，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有四个根且，
由图象可知，，可得，
则，
设，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
即的取值范围是.
故答案为：.
③对数（型）函数图象过定点问题
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数的图象一定过定点__________.
【答案】
令，则
所以
所以过定点
故答案为：
2．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.
【答案】27
由题意，，则，定点A为(2,8)，
设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.
故答案为：27
3．（2022·四川南充·高一期末）函数的图象恒过一定点是___________．
【答案】
试题分析：对数函数过定点，令，此时，所以过定点
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解:对于A选项，函数为偶函数，故错误；
对于B选项，对数函数为非奇非偶函数，故错误；
对于C选项，由幂函数性质知为在区间上单调递增，且为奇函数，故正确；
对于D选项，函数定义域为，为非奇非偶函数，故错误.
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由，
而对数函数在上是减函数，在上是增函数，
所以函数f(x)单调递增区间为．
故选：D.
3．（2022·北京·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意，，，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是.
故选：A.
4．（2022·河北张家口·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，，
令，解得：，
根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知函数单调递增，在区间函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是.
故选：D
5．（2022·河南新乡·高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由，得或．
因为函数单调递减，且函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增．
故选：D
6．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题设可得，故或，
故函数的定义域为，
令，
则在为减函数，在上为增函数，
因为在上为增函数，故的增区间为，
故选：D.
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
1．（2022·陕西西安·高一期末）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由对数及不等式的性质知：，而，
所以.
故选：B
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在上单调递减，且，
所以且，解得：.
故的取值范围是
故选：C.
3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由条件可知，函数在上是减函数，
需满足，解得：.
故选：C
4．（2022·湖南岳阳·高一期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根据复合函数的单调性可知，若函数在区间上单调递增，
需满足，解得：.
故选：D
5．（2022·福建泉州·高一期末）若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函数中，令，函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，
因此，，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：D
6．（2022·重庆·高一期末）已知关于的函数在上是单调递减的函数，则的取值范围为（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】D
令，则，
因为的单调递增函数，函数在上是单调递减的函数
由复合函数的单调性判断方法可得是单调递减函数，
所以，又在上是单调递减的函数，
所以，得，
故选：D.
7．（2022·河南南阳·高一期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
的定义域为，令，则函数为，外层函数单调递减，由复合函数的单调性为同增异减，要求函数的增区间，即求的减区间，当，单调递减，则 在上单调递增，即是的子集，则.
故选：C.
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
1．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
原不等式等价于，解得，或．
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数=，则不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】C
函数=，可得x≥0，递增；
当x＜0时，递增；且x=0时函数连续，
所以在R上递增，
不等式，
可化为x+2＜x2+2x，即x2+x﹣2＞0，解得x＞1或x＜﹣2，
则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.
故选：C
3．（2022·北京房山·高一期末）设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意，函数，且，
当时，令，解得；
当时，令，可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
4．（2022·四川绵阳·一模（理））设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，在单调递增，且
故或
解得：
故选：D
5．（2022·江西赣州·一模（文））设函数则满足的取值范围是
A．[-1,2] B．[0,2] C．[1,+） D．[0,+）
【答案】D
由，可得；或，可得；
综上，的取值范围是.
故选：D
④对数（指数）综合比较大小
1．（2022·广东中山·高一期末）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为，
则，所以，
又因为，所以，
又由，所以，
所以.
故选：D.
2．（2022·江西·南昌十五中高二阶段练习（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，所以，A错误；
因为函数为增函数，所以，所以，D错误；
因为，所以，B错误；
因为，所以，所以，C正确．
故选：C.
3．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
，
令，则，
所以在上递减，则，即，
则，，
所以，
故选：C
4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，，所以
故选：C.
5．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵，∴，∵，∴，∴，
又，，∵，∴，∴.
故选：C.
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
1．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）已知函数在区间上的最大值为7，则在区间上的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
由可知：且，所以函数是实数集上单调递增函数，
因为函数在区间上的最大值为7，
所以有，因为函数是上的增函数
所以在区间上的最大值为，
故选：C
2．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中（理））已知函数，则（ ）
A．有最小值，且最小值为-2
B．有最小值，且最小值为-1
C．有最大值，且最大值为-2
D．有最大值，且最大值为-1
【答案】D
解： ，所以有最大值，且最大值为，但无最小值.
故选：D
3．（2022·上海金山·高一期末）函数，的最大值为______.
【答案】-2
因为 ，则，
由于 是减函数，所以，
故答案为：-2
4．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三阶段练习）函数的最小值为___________.
【答案】##
函数定义域是，，
，
所以时，．
故答案为：．
5．（2021·全国·高一课时练习）函数的最大值是_______．
【答案】2
设，则，即求在上的最大值，
由在上是单调递增函数，
所以当，即时，函数有最大值2.
故答案为：2.
②根据对数（型）函数的最值求参数
1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
由题意得在上为单调递增函数，
所以，，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
2．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）若函数有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
令，函数有最小值，
，且，
所以的取值范围是.
故选：A.
3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
∵函数
∴当时，的范围是；当时，，，
由题意存在最小值，则，
解得.
故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数没有最小值，则的取值范围是____________.
【答案】
分类讨论：
当时，，函数没有最小值，
当时，应满足有解，故，
综上可得，的取值范围是.
5．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数（且），在上的最大值为.
(1)求的值；
(2)当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并证明，并求出的值域.
【答案】(1)或
(2)为偶函数，证明见解析，.
(1)
当时，为增函数，，解得：；
当时，为减函数，，解得：；
综上所述：或.
(2)
当函数在定义域内是增函数时，，由（1）知：；
，
由得：，即定义域为；
又，是定义在上的偶函数；
，
当时，，，即的值域为.
6．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数（，且）.
(1)求函数的定义域；
(2)是否存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)
(1)
由题意可得，即，
因为，所以解得.
故的定义域为.
(2)
假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1.
设函数，由，得，
所以在区间上为减函数且恒成立，
因为在区间上单调递减，
所以且，即.
又因为在区间上的最大值为1，
所以，
整理得，解得.
因为，所以，
所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1
7．（2022·天津河北·高一期末）已知函数（，且）
(1)求的值及函数的定义域；
(2)若函数在上的最大值与最小值之差为3，求实数的值．
【答案】(1)0；；(2)或.
(1)
函数，则，由解得：，
所以的值是0，的定义域是.
(2)
当时，在上单调递减，，，
于是得，即，解得，则，
当时，在上单调递增，，，
于是得，即，解得，则，
所以实数的值为或.
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
1．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）已知函数，若对任意的使得成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
若对任意的使得成立，即，得，
，
由于函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以，函数在上为增函数，，，
，即，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)
令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，，
当时，，当时，，
故当时，函数的值域为．
(2)
由于对于上恒成立，
令，，则
即在上恒成立，所以在上恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
所以当时，，
故时，原不等式对于恒成立．
3．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数.
(1)若，求a的值；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
(1)
解：因为，所以，
所以，所以，解得.
(2)
解：由，得，即，
即或.
当时，，则或，
因为，则不成立，
由可得，得；
当时，，则或，
因为，则不成立，所以，解得.
综上，的取值范围是.
4．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）设函数，其中为常数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
解：（1）当时，函数，要使函数有意义，只需要或
，，解得，即函数的定义域为；
（2），，
的取值范围是，
又恒成立，可得恒成立，
，，即，
故实数的取值范围是.
1．（2021·湖南·高考真题）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可得：，解得：，
所以函数的定义域为，
故选：B.
2．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
，，
.
故选：C.
3．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，，
，，
，，
.
故选：D.
4．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，即.
故选：C.
5．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
由，当时，，
则.
故选：C.
一、单选题
1．（2021·江苏·高一专题练习）已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
，

，
．
故选：B．
2．（2021·江苏·高一专题练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
故选：D．
3．（2021·江苏·高一专题练习）已知，那么用表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
故选:.
4．（2021·浙江·高一期中）已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为为上的减函数，
所以有，
解得：，
故选：A.
5．（2021·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
因为函数的值域为R，
所以取得一切正数，
即方程有实数解，
得，解得或；
又函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，
则对称轴，解得，
综上，实数a的取值范围为或.
故选：C
6．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
设，则，
因为，
所以，所以的最小值为1，
故选：B
7．（2021·重庆市第七中学校高一阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
，的定义域为，
，所以为奇函数，
图象关于原点对称，排除CD选项.
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
8．（2021·江苏·高一专题练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由已知可得，
在上是增函数；
即
，是方程的两个根，
设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；
解得：，
满足条件的范围是.
故选：A
二、填空题
9．（2021·河南·漯河实验高中高一阶段练习）在上递减，则a的范围是_________．
【答案】
由题可得，根据对数的定义，且，所以是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到，所以.
故答案为：.
10．（2021·江苏·高一专题练习）已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
因为对任意且，不等式恒成立，
所以在上单调递减，
因为在上单调递减，由复合函数的单调性知，
又由对数函数的定义域知，当时，恒成立，
可得，解得，
综上可得；，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
11．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．
【答案】
①当时，，此时定义域为，不合题意；
②当时，令，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
③当时，令，其对称轴为；
⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增，
，即，解得：；
⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
，即，解得：（舍）；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
12．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“函数”.设为其定义域上的“函数”，则实数的取值范围是___________.
【答案】
解：由函数为“函数”的定义可得：在上有解.
即：在上有解
则在上有解，且在上恒成立
即：在上有解，且在上恒成立
记，由于函数在上均单调递增，
所以在上单调递增，且
所以
所以，即：，解得：
又在上恒成立，由对勾函数性质得在上单调递增，
所以，解得：
综上所述：实数的取值范围是
故答案为:
三、解答题
13．（2021·江苏·高一专题练习）计算求值
(1)；
(2)；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)44(2)(3)1
(1)
；
(2)
；
(3)
，，
则，；
所以．
14．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
(1)
由题设，，则或，
所以函数定义域为.
(2)
由函数的值域为R，则是值域的子集，
所以，即.
(3)
由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，
所以在上递增，在上递减，
又在上是增函数，故，可得.
15．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数
(1)求的定义域并判断的奇偶性；
(2)求函数的值域；
(3)若关于的方程有实根，求实数的取值范围
【答案】(1)定义域为，非奇非偶函数
(2)
(3)
(1)
由题意可得，
由，得，
所以的定义域为，
因为定义域不关于原点对称，
所以为非奇非偶函数，
(2)
，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以的值域为，
(3)
关于的方程有实根，即在上有实根，
令，
因为在上单调递减，而在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以在上的最小值为，最大值为，
所以，
所以当时，方程有实根
16．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是奇函数，证明见解析(2)
(1)
解：，
定义域为
任取，
则
，
所以，所以是奇函数
(2)
，
，
不等式恒成立，
则，
，
设，∵，则，
∴，令，则为对勾函数，由对勾函数的单调性知，在单调递减，在单调递增，
当且仅当时，有最小值，.
∴，
又，
所以．第06讲 对数与对数函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：对数的运算； 高频考点二：换底公式
高频考点三：对数函数的概念； 高频考点四：对数函数的定义域
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域
③根据对数函数的值域求参数值或范围
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
②根据对数（型）函数的图象判断参数
③对数（型）函数图象过定点问题
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
④对数（指数）综合比较大小
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
②根据对数（型）函数的最值求参数
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第06讲 对数与对数函数（精练）
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
图象
性质 定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数 在上是单调减函数
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知，则不等式成立 ( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）( )
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）.( )
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）若则 ( )
二、单选题
1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·海南·模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·陕西西安·高一期末）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点一：对数的运算
1．（2022·甘肃平凉·二模（文））______．
2．（2022·北京师大附中高一期末）______________．
3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）计算______.
4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
高频考点二：换底公式
1．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知，，用，表示，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东济南·二模）已知，，那么用含a、b的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：________.
高频考点三：对数函数的概念
1．（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数满足①定义域为；②值域为；③.写出一个满足上述条件的函数：___________.
2．（2021·江苏·高一专题练习）对数函数f（x）的图象过点(3，－2），则f()＝________.
3．（2021·江苏南通·高三期中）写出满足条件“函数在上单调递增，且”的一个函数___________.
4．（2021·全国·高一专题练习）若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，则a=________.
高频考点四：对数函数的定义域
1．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）函数f（x）= 的定义域为（　　）
A．（2，+∞） B．（0，2） C．（-∞，2） D．（0， ）
2．（2022·四川·模拟预测（文））函数的定义域为___________.
3．（2022·四川宜宾·高一期末）函数的定义域为________.
4．（2022·上海市控江中学高一期末）函数定义域为R，则实数k的取值范围为______.
5．（2022·上海浦东新·高一期末）函数的定义域为_____________．
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域为_______________________．
2．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数．
(1)求在区间上的值域；
3．（2022·全国·高一课时练习）求函数的值域.
②求对数型复合函数的值域
1．（2022·贵州·毕节市第一中学高一阶段练习）函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为（ ）
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数的值域是________．
3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数（a>0且a≠1）的图象过点.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的最小值.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求该函数的值域；
③根据对数函数的值域求参数值或范围
1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数的值域为，则实数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．9 D．27
2．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________.
3．（2022·全国·高一阶段练习）函数的值域为，则实数的取值范围为______．
4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数有最小值，则a的取值范围为______．
5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数 .
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数的值域为R，求实数取值范围.
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
1．（2022·广东汕尾·高一期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
②根据对数（型）函数的图象判断参数
1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，若有两解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.
③对数（型）函数图象过定点问题
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数的图象一定过定点__________.
2．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.
3．（2022·四川南充·高一期末）函数的图象恒过一定点是___________．
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北张家口·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南新乡·高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
1．（2022·陕西西安·高一期末）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南岳阳·高一期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建泉州·高一期末）若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·重庆·高一期末）已知关于的函数在上是单调递减的函数，则的取值范围为（　 　）
A． B．
C． D．
7．（2022·河南南阳·高一期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
1．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数=，则不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）
3．（2022·北京房山·高一期末）设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川绵阳·一模（理））设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江西赣州·一模（文））设函数则满足的取值范围是
A．[-1,2] B．[0,2] C．[1,+） D．[0,+）
④对数（指数）综合比较大小
1．（2022·广东中山·高一期末）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西·南昌十五中高二阶段练习（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
1．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）已知函数在区间上的最大值为7，则在区间上的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中（理））已知函数，则（ ）
A．有最小值，且最小值为-2
B．有最小值，且最小值为-1
C．有最大值，且最大值为-2
D．有最大值，且最大值为-1
3．（2022·上海金山·高一期末）函数，的最大值为______.
4．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三阶段练习）函数的最小值为___________.
5．（2021·全国·高一课时练习）函数的最大值是_______．
②根据对数（型）函数的最值求参数
1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）若函数有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数没有最小值，则的取值范围是____________.
5．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数（且），在上的最大值为.
(1)求的值；
(2)当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并证明，并求出的值域.
6．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数（，且）.
(1)求函数的定义域；
(2)是否存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
7．（2022·天津河北·高一期末）已知函数（，且）
(1)求的值及函数的定义域；
(2)若函数在上的最大值与最小值之差为3，求实数的值．
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
1．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）已知函数，若对任意的使得成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围.
3．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数.
(1)若，求a的值；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
4．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）设函数，其中为常数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
1．（2021·湖南·高考真题）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
一、单选题
1．（2021·江苏·高一专题练习）已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·江苏·高一专题练习）（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏·高一专题练习）已知，那么用表示是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高一期中）已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
7．（2021·重庆市第七中学校高一阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·江苏·高一专题练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·河南·漯河实验高中高一阶段练习）在上递减，则a的范围是_________．
10．（2021·江苏·高一专题练习）已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．
11．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．
12．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“函数”.设为其定义域上的“函数”，则实数的取值范围是___________.
三、解答题
13．（2021·江苏·高一专题练习）计算求值
(1)；
(2)；
(3)已知，求的值．
14．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
15．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数
(1)求的定义域并判断的奇偶性；
(2)求函数的值域；
(3)若关于的方程有实根，求实数的取值范围
16．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

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