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专题15 三角形及其基本性质21世纪教育网(www.21cnjy.com)
考点1：三角形的三边关系
性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
典例1-1：（2022·德阳·统考中考真题）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．
【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a，
则根据题意有：，即，
当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，或者，
综上a的取值范围为：，
据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km，
故选：A．
【变式1】（2022·漳州）在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a>b>c，若b=8，c=3，则a的取值范围是（ ）
A．3【答案】D
【解析】∵8-3【变式2】（2022 ·厦门）一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为__________．
【答案】7或9
【解析】根据三角形的三边关系，得：5<第三边<11．又第三边是奇数，则第三边应是7或9．故答案为：7或9．
【变式3】（2022·遵义·二模）方程的两根是一个等腰三角形的两边长，则这个三角形的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．10或11
解：∵，
∴，
解得或，
∴等腰三角形的两边长为3、4，
当边长为3的是腰长时，则三角形三边长分别为3、3、4，能构成三角形，
∴此时等腰三角形的周长为；
当边长为3的是底边长时，则三角形三边长分别为3、4、4，能构成三角形，
∴此时等腰三角形的周长为；
综上所述，这个三角形的周长为10或11，
故选D．
考点2：三角形中的相关线段
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上（角平分线的判定）
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的距离相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）高线：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心
②高线参考应用：互余关系的等量代换，等面积法求高线
（4）中位线：三角形两边中点的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
典例2-1：（2022·福清）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是　 　．
解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴EP=AD，
同理，FP=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∵∠FPE=100°，
∴∠PFE=40°，
故答案为：40°．
【变式1】已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为　 　．
解：为中点，根据同底等高的三角形面积相等，
，同理，
，为中点，．故答案为1．
【变式2】（2020·毕节中考节选）（1）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
（2）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：．
解：（1）如图（3）中，，，，
∴,
∵,
∴；
（2）如图（4），
∵，，，垂足分别为点，，，
∴，
∴，
∵AB=AC，
∴CH=OM+ON
即．
【变式3】（2022·福建中考节选）如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有　　
①是的角平分线；②是边上的中线；
③是边上的高；④是的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知是的角平分线和高线，故此说法正确．故选：．
考点3：三角形内角和及内外角关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
典例3-1：（2021·辽宁）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）
A．80° B．95° C．100° D．110°
解：如图，∠A=90°-30°=60°，
∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，
∴∠3=∠4=35°，
∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，
故选：B．
【变式1】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　）
A．15° B．55° C．65° D．75°
解：∵∠CDE=165°，
∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，
∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°．
故选：D．
【变式2】（2021 仙居县期中）如图，将一角折叠，若，则　 　．
解：连接．
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式3】（2021·龙岩）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 　．
【变式4】（2020·汶川市期末）如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=80°，∠C=54°，求∠DAC、∠BOA的度数．
解：∵AD是高
∴∠ADC=90°
∵∠C=54°
∴∠DAC=180°﹣90°﹣54°=36°
∵∠BAC=80°，∠C=54°，AE是角平分线
∴∠BAO=40°，∠ABC=46°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO=23°
∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=117°
巩固训练
一、选择题
1. (2022·河北)下列图形具有稳定性的是(　　)
2．(2022·贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是(　　)
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
3．(2022·广东省卷)如图，AB∥CD，且∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．(北师八上P187第16题改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为(　　)
A. 15° B. 17.5° C. 20° D. 22.5°
5．(2022·昆明)在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为(　　)
A．90° B．95° C．100° D．120°
6．(2022·聊城)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α , ∠CEA′＝β，∠BDA′＝ γ，那么下列式子中正确的是(　　)
A. γ＝2α＋β B. γ＝α＋2β C. γ＝α＋β D. γ＝180°－α－β
7．(2022·常德)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
8.(2022·长春)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为(　　)
A．44° B．40° C．39° D．38°
9．(2022·黄石)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线， ∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝(　　)
A．75° B．80° C．85° D．90°
10. (2022·眉山)如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为(　　)
A. 114° 　　　B. 122° C. 123° 　　　D. 132°
二、填空题
11．(2022·泰州)已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为________．
12．(2022·甘肃省卷)已知a，b，c是△ABC的三边长， a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝________．
13．(2022·黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21＝0的根，则三角形的周长为________．
14．(2022·南充)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝________度．
15．(2017·陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．
16．(2022·莆田质检)如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，点F在AC上，AE平分∠BAC，AE⊥BF于点E，若点D为BC中点，则DE的长为________．
17．(2022·福建模拟)如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
18．(2022·宁德质检)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．
19．(2022·绵阳)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝______．
20．(2022·原创)在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的BC边上的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
三、解答题
21．(2022·宜昌)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数．
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
22.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数．
参考答案
选择题
1．A　2.B　3.B　4.A　5.B　6.A　7.D　8.C　9.A　10.C
二、填空题
11．5　12.7　13.16　14.24　15.64°　16.
17．解： ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°，
∵CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝90°，
又∵∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.
18．解：∵∠BAC＝54°，AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠BAC＝27°，
∴∠BGA＝180°－∠ABC－∠BAG＝83°，
又∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC.∴∠AFD＝∠BGA＝83°.
19.　
20．3＜m＜5　【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，DA＝ED，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AC＋AB＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，即1＜m＜5.
三、解答题
21．解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝50°，∴∠CBD＝130°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
(2)∵∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°.
22．解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°．
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．
∵AD⊥BC，
∴∠DAE=90°-80°=10°
∵DF⊥AE，
∴∠ADF=90°-10°=80．专题15 三角形及其基本性质
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考点1：三角形的三边关系
性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
典例1-1：（2022·德阳·统考中考真题）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·漳州）在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a>b>c，若b=8，c=3，则a的取值范围是（ ）
A．3【变式2】（2022 ·厦门）一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为______．
【变式3】（2022·遵义·二模）方程的两根是一个等腰三角形的两边长，则这个三角形的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．10或11
考点2：三角形中的相关线段
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上（角平分线的判定）
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的距离相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）高线：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心
②高线参考应用：互余关系的等量代换，等面积法求高线
（4）中位线：三角形两边中点的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
典例2-1：（2022·福清）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是　 　．
【变式1】已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为　 　．
【变式2】（2020·毕节中考节选）（1）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
（2）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：．
【变式3】（2022·福建中考节选）如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有　　
①是的角平分线；②是边上的中线；
③是边上的高；④是的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点3：三角形内角和及内外角关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
典例3-1：（2021·辽宁）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）
A．80° B．95° C．100° D．110°
【变式1】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　）
A．15° B．55° C．65° D．75°
【变式2】（2021 仙居县期中）如图，将一角折叠，若，则　 　．
【变式3】（2021·龙岩）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 　．
【变式4】（2020·汶川市期末）如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=80°，∠C=54°，求∠DAC、∠BOA的度数．
巩固训练
一、选择题
1. (2022·河北)下列图形具有稳定性的是(　　)
2．(2022·贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是(　　)
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
3．(2022·广东省卷)如图，AB∥CD，且∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．(北师八上P187第16题改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为(　　)
A. 15° B. 17.5° C. 20° D. 22.5°
5．(2022·昆明)在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为(　　)
A．90° B．95° C．100° D．120°
6．(2022·聊城)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α , ∠CEA′＝β，∠BDA′＝ γ，那么下列式子中正确的是(　　)
A. γ＝2α＋β B. γ＝α＋2β C. γ＝α＋β D. γ＝180°－α－β
7．(2022·常德)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
8.(2022·长春)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为(　　)
A．44° B．40° C．39° D．38°
9．(2022·黄石)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线， ∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝(　　)
A．75° B．80° C．85° D．90°
10. (2022·眉山)如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为(　　)
A. 114° 　　　B. 122° C. 123° 　　　D. 132°
二、填空题
11．(2022·泰州)已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为________．
12．(2022·甘肃省卷)已知a，b，c是△ABC的三边长， a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝________．
13．(2022·黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21＝0的根，则三角形的周长为________．
14．(2022·南充)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝________度．
15．(2017·陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．
16．(2022·莆田质检)如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，点F在AC上，AE平分∠BAC，AE⊥BF于点E，若点D为BC中点，则DE的长为________．
17．(2022·福建模拟)如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
18．(2022·宁德质检)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．
19．(2022·绵阳)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝______．
20．(2022·原创)在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的BC边上的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
三、解答题
21．(2022·宜昌)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数．
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
22.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数．

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