第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 (精讲+精练)(含解析)

资源下载
  1. 二一教育资源

第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 (精讲+精练)(含解析)

资源简介

第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 (精讲+精练)
目录
第一部分:知识点精准记忆
第二部分:课前自我评估测试
第三部分:典型例题剖析
高频考点一:①②③三剑客
高频考点二:商数关系(与分式或多项式求值)
角度1:弦切互化
角度2:正余弦齐次式问题
高频考点三:诱导公式的应用
高频考点四:同角关系式和诱导公式的综合应用
第四部分:高考真题感悟
第五部分:第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 (精练)
1、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:.
(2)商数关系:
2、三角函数的诱导公式
诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八
3、常用结论
(1)同角三角函数关系式的常用变形
(2)诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.
(3)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
一、判断题
1.(2022·江西·贵溪市实验中学高二期末)的值是0.5 ( )
【答案】错误
【详解】

故答案为:错误.
2.(2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习).( )
【答案】正确
【详解】
.
故答案为:对.
二、单选题
1.(2022·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习)如果,,那么( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
解:因为,,
所以,
所以.
故选:D
2.(2022·北京师大附中高一期中)已知,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
.
故选:C
3.(2022·安徽·高一期中)( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】

故选:D.
4.(2022·辽宁沈阳·高一期中)( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】

故选:B.
高频考点一:①②③三剑客
例题1.(2022·安徽·高一期中)设,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
因为,所以,,
与异号.而已知,所以,.
因为,所以取.
故选:C.
例题2.(2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试)在 ABC中,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
因为在 ABC中,,
两边平方得;,即,
所以,,
即,
解得,
所以,
故选:D
例题3.(2022·重庆八中高一阶段练习)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
,等式两边同时平方,
得,即,
所以,
所以
.
故选:C
例题3.(2022·全国·高三专题练习)函数的最大值为( )
A.1 B. C. D.3
【答案】C
【详解】

令,所以,则

所以,
所以原函数可化为,,
对称轴为,
所以当时,取得最大值,
所以函数的最大值为,
即的最大值为,
故选:C
题型归类练
1.(2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一阶段练习)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
解:已知,
两边平方可得:,
所以,
所以.
故选:D.
2.(2022·广东潮州·二模)已知,,则______.
【答案】##1.4##
【详解】
,得,

因为,所以,
故.
故答案为:
3.(2022·上海南汇中学高一阶段练习)已知,则的值为_____.
【答案】##
【详解】
因,则,即,
而,,于是有,
所以.
故答案为:
4.(2022·上海市朱家角中学高一期中)已知是第四象限角,,求值:
(1).(2).
【答案】(1)(2)
(1)
由,可得,解得.
因为是第四象限角,且,所以,可得,又由,所以,.
(2)
由(1)知,,
联立方程组,求得,所以
5.(2022·江西·南昌十中高一期中)已知,是关于x的一元二次方程的两根.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
【答案】(1)(2)
(1)
因为,是关于x的一元二次方程的两根,
所以,,且,
所以,
所以,得,满足,
所以,即
(2)
因为,
又因为,所以,所以
所以
6.(2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习)已知,,求.
【答案】
【详解】
因为,所以,
所以,
所以,
因为,所以,所以,
所以,则可得,
所以.
7.(2022·北京市房山区房山中学高一阶段练习)已知,是关于x的一元二次方程的两根,
(1)求的值;
(2)求m的值;
(3)若,求的值.
【答案】(1)(2)(3)
(1)
因为,是关于x的一元二次方程的两根,
所以
(2)
因为,是关于x的一元二次方程的两根,
所以,,且,
所以,
所以,得,满足,
所以
(3)
由(2)可得,,
因为,所以,所以,
所以
8.(2022·安徽·界首中学高一期末)已知,.
(1)当且x是第四象限角时,求的值;
(2)若关于x的方程有实数根,求a的最小值.
【答案】(1)(2)1
(1)
,即,则,
即,所以.
因为x是第四像限角,所以,所以,
所以.
(2)
由,可得,
则方程可化为,.
①当时,,显然方程无解;
②当时,方程等价于.
又(当且仅当时取“=”),所以要使得关于x的方程有实数根,则.故a的最小值是1.
高频考点二:商数关系(与分式或多项式求值)
角度1:弦切互化
例题1.(2022·广西南宁·二模(文))若是钝角且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
因为是钝角,所以.则.
故选:A.
例题2.(2022·辽宁·大连八中高一阶段练习)已知,,则___________.
【答案】
【详解】
因为,所以,
又因为,所以,则.
故答案为:.
角度1题型归类练
1.(2022·北京房山·二模)已知是第一象限角,且角的终边关于y轴对称,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
∵是第一象限角,∴,,
∵角的终边关于y轴对称,∴.
故选:D.
2.(2022·河南·方城第一高级中学模拟预测(文))已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
由,得,结合可得,
因为,所以.
故选:B
3.(2022·北京市第十九中学高一期中)若,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
解:因为且,所以,
所以;
故选:A
角度2:正余弦齐次式问题
例题1.(2022·云南德宏·高三期末(理))已知,则=( )
A. B. C.或 D.或
【答案】A
【详解】
因为
,解得.
故选:A.
例题2.(2022·河北·高三阶段练习)已知角的终边落在直线上,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
由角的终边落在直线上可得,,
且,
故选:C
例题3.(2022·上海财经大学附属北郊高级中学高一阶段练习)已知.求
(1)的值;
(2)的值.
【答案】(1);(2).
(1)∵tan α=2,
∴原式=;
(2)原式.
角度2题型归类练
1.(2022·全国·高二课时练习)若一次函数所表示直线的倾斜角为,则的值为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
的斜率为即
故选:D.
2.(2022·北京·北师大实验中学高一期中)已知,则( )
A. B. C.2 D.3
【答案】B
【详解】
故选:B
3.(2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
因为

故选:C.
4.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)若, 且, 则_______.
【答案】##-0.2
【详解】
由得,故,
所以,解得,或.
因为,所以,
所以
.
故答案为:
5.(2022·江西·奉新县第一中学高一阶段练习)已知,则__________
【答案】11
【详解】
对原式分子分母同时除以,
则.
故答案为:
6.(2022·河南信阳·高一期中)已知,则___________.
【答案】##
【详解】
因为,若,则,与不符,矛盾,
所以,,所以,,
因此,.
故答案为:.
7.(2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习)已知,求的值.
【答案】0
因为,所以.
高频考点三:诱导公式的应用
例题1.(2022·河南焦作·高一期中)已知是第四象限角,且的终边在直线上.
(1)求,和的值;
(2)求的值.
【答案】(1);;.(2)
(1)因为点在直线上,且位于第四象限,
所以点在的终边上.
所以;


(2)原式
例题2.(2022·安徽·砀山中学高一期中)已知角终边上一点,,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)3(2)
(1)∵,且终边过点,
∴,
解得或(舍).
所以.
(2)
又,,
所以.
题型归类练
1.(2022·首都师范大学附属中学高二期中)已知为锐角,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
因为,所以,即,
又因为为锐角,所以,
所以,
故选:A.
2.(2022·河南·开封高中模拟预测(理))已知,则( )
A.2 B.-2 C. D.
【答案】A
【详解】
由,
可得,所以.
故选:A
3.(2022·江西赣州·二模(文))已知角终边上一点,则( )
A. B. C.3 D.5
【答案】C
【详解】
因为角终边上一点,
所以,
又,
故选:C.
4.(2022·北京市第十九中学高一期中)若为任意角,则满足的一个的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【详解】
因为,所以,即,
所以满足条件的一个的值为2.
故选:B
5.(多选)(2022·河北·沧县中学高一阶段练习)在△ABC中,下列关系式恒成立的有( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【详解】
对于A中,由,所以A正确;
对于B中由,所以B正确;
对于C中,由
,所以C正确;
对于D中,
,所以D错误.
故选:ABC.
6.(2022·北京市西城外国语学校高一期中)已知,,则________.
【答案】
【详解】
因为,所以,又因为,所以.
故答案为:
高频考点四:同角关系式和诱导公式的综合应用
例题1.(2022·安徽黄山·二模(文))已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
由得:,即,,
整理得,而,解得,
所以.
故选:B
例题2.(2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一阶段练习)函数 的最大值为____.
【答案】##1.5
【详解】
由题意得:,
令 ,则 ,
故 ,
当 时,函数取得最大值 ,
故函数 的最大值为 ,
故答案为:
例题3.(2022·河北·沧县中学高一阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,已知角的终边与单位圆(半径为1的圆)的交点为,将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边,记的终边与单位圆的交点为Q.
(1)若,,求角的值;
(2)若,求tan的值.
【答案】(1)(2)
(1)解:当时,即角的终边与单位圆(半径为1的圆)的交点为,
根据三角函数的定义可得,
因为,所以,
(2)解:因为,所以,
即①,平方得,且,
因为,所以,
则②,
由①②得,则.
题型归类练
1.(2022·湖南师大附中二模)中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图,四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形,角为直角三角形中的一个锐角,若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
如图所示,由图中小正方形的面积与大正方形面积之比为,可得,
因为,可得,
所以,所以,所以,
所以,
因为,所以,
所以.
故选:C.
2.(2022·辽宁朝阳·高三开学考试)已知,则___________.
【答案】
【详解】
由得,
又,所以,或舍去,
又,所以,
因此,
故答案为:
3.(2022·广东汕头·高一期末)设函数.
(1)若,求的值.
(2)求函数在R上的最小值;
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
因为,所以即.
此时,
由.
(2)
令,,则,对称轴为
①,即,.
②,即,.
③,即,.
综上可知,
1.(2021·全国·高考真题(文))若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】

,,,解得,
,.
故选:A.
2.(2021·全国·高考真题)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
将式子进行齐次化处理得:

故选:C.
3.(2020·全国·高考真题(理))已知,且,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】
,得,
即,解得或(舍去),
又.
故选:A.
一、单选题
1.(2022·安徽马鞍山·三模(文))若,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
因为,所以
因为,所以
所以.
故选:D
2.(2022·云南·昆明一中高三阶段练习(文))已知角终边上一点,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
∵角终边上一点,则

故选:C.
3.(2022·北京市房山区房山中学高一阶段练习)已知,且,则的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
因为,所以,

又 ②
联立①②,解之得,
所以
故选:C
4.(2022·北京·人大附中高一期中)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
,可得,即,故.
故选:D.
5.(2022·安徽蚌埠·三模(理))已知,则的值为( )
A.3 B.-3 C. D.-1
【答案】A
【详解】
原式.
故选:A
6.(2022·海南·嘉积中学高一阶段练习)已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
,则,

又,故
故选:A
7.(2022·湖北省罗田县第一中学高一阶段练习)已知,则( )
A. B. C.2 D.3
【答案】B
【详解】

故选:B.
8.(2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习)人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形,它是一个顶角为的等腰三角形,由此我们可得( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
解:如图,在中,,点为中点,底与腰之比为黄金分割比,
所以,,
所以
所以.
故选:A
二、填空题
9.(2022·全国·高三专题练习)已知,,则cos(π﹣x)=___________.
【答案】
【详解】
解:因为,,
可得cosx=﹣=﹣,
所以cos(π﹣x)=﹣cosx=.
故答案为:.
10.(2022·浙江·瑞安中学高二开学考试)已知,,则______.
【答案】
【详解】
由,,所以,
又,解得,所以.
故答案为:
11.(2022·浙江·东阳市横店高级中学高二阶段练习)已知,求___________.
【答案】##
【详解】
因为,
所以,得,
所以
故答案为:
12.(2022·河北安新中学高一期末)函数的最小值为______.
【答案】
【详解】
解:因为,
所以
,当且仅当时,等号成立.
故函数的最小值为.
故答案为:
三、解答题
13.(2022·河南南阳·高一期中)已知角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,是角α终边上一点,且.
(1)求m的值;
(2)求的值.
【答案】(1)1(2)
(1)
,解得
(2)
,
=
=
14.(2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习)(1)若是第二象限角,且,求的值;
(2)已知,化简,在(1)的条件下,求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【详解】
(1),,是第二象限角,
,则.
(2)
,由(1)知:,则.
15.(2022·黑龙江·大庆中学高一期末)求解下列问题:
(1)角的终边经过点,且,求的值.
(2)已知,,求的值.
【答案】(1)或(2)
【解析】
(1)
依题意或.
所以或,
所以或.
(2)
由于,所以,

由于,所以,,,
所以,
所以,
所以,,
所以.第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 (精讲+精练)
目录
第一部分:知识点精准记忆
第二部分:课前自我评估测试
第三部分:典型例题剖析
高频考点一:①②③三剑客
高频考点二:商数关系(与分式或多项式求值)
角度1:弦切互化
角度2:正余弦齐次式问题
高频考点三:诱导公式的应用
高频考点四:同角关系式和诱导公式的综合应用
第四部分:高考真题感悟
第五部分:第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 (精练)
1、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:.
(2)商数关系:
2、三角函数的诱导公式
诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八
3、常用结论
(1)同角三角函数关系式的常用变形
(2)诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.
(3)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
一、判断题
1.(2022·江西·贵溪市实验中学高二期末)的值是0.5 ( )
2.(2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习).( )
二、单选题
1.(2022·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习)如果,,那么( )
A. B. C. D.
2.(2022·北京师大附中高一期中)已知,则的值为( )
A. B. C. D.
3.(2022·安徽·高一期中)( )
A. B. C. D.
4.(2022·辽宁沈阳·高一期中)( )
A. B. C. D.
高频考点一:①②③三剑客
例题1.(2022·安徽·高一期中)设,,则( )
A. B. C. D.
例题2.(2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试)在 ABC中,若,则( )
A. B. C. D.
例题3.(2022·重庆八中高一阶段练习)若,则( )
A. B. C. D.
例题3.(2022·全国·高三专题练习)函数的最大值为( )
A.1 B. C. D.3
题型归类练
1.(2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一阶段练习)已知,则( )
A. B. C. D.
2.(2022·广东潮州·二模)已知,,则______.
3.(2022·上海南汇中学高一阶段练习)已知,则的值为_____.
4.(2022·上海市朱家角中学高一期中)已知是第四象限角,,求值:
(1).(2).
5.(2022·江西·南昌十中高一期中)已知,是关于x的一元二次方程的两根.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
6.(2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习)已知,,求.
7.(2022·北京市房山区房山中学高一阶段练习)已知,是关于x的一元二次方程的两根,
(1)求的值;
(2)求m的值;
(3)若,求的值.
8.(2022·安徽·界首中学高一期末)已知,.
(1)当且x是第四象限角时,求的值;
(2)若关于x的方程有实数根,求a的最小值.
高频考点二:商数关系(与分式或多项式求值)
角度1:弦切互化
例题1.(2022·广西南宁·二模(文))若是钝角且,则( )
A. B. C. D.
例题2.(2022·辽宁·大连八中高一阶段练习)已知,,则___________.
角度1题型归类练
1.(2022·北京房山·二模)已知是第一象限角,且角的终边关于y轴对称,则( )
A. B. C. D.
2.(2022·河南·方城第一高级中学模拟预测(文))已知,,则( )
A. B. C. D.
3.(2022·北京市第十九中学高一期中)若,,则的值为( )
A. B. C. D.
角度2:正余弦齐次式问题
例题1.(2022·云南德宏·高三期末(理))已知,则=( )
A. B. C.或 D.或
例题2.(2022·河北·高三阶段练习)已知角的终边落在直线上,则的值为( )
A. B. C. D.
例题3.(2022·上海财经大学附属北郊高级中学高一阶段练习)已知.求
(1)的值;
(2)的值.
角度2题型归类练
1.(2022·全国·高二课时练习)若一次函数所表示直线的倾斜角为,则的值为( ).
A. B. C. D.
2.(2022·北京·北师大实验中学高一期中)已知,则( )
A. B. C.2 D.3
3.(2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习)已知,则( )
A. B. C. D.
4.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)若, 且, 则_______.
5.(2022·江西·奉新县第一中学高一阶段练习)已知,则__________
6.(2022·河南信阳·高一期中)已知,则___________.
7.(2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习)已知,求的值.
高频考点三:诱导公式的应用
例题1.(2022·河南焦作·高一期中)已知是第四象限角,且的终边在直线上.
(1)求,和的值;
(2)求的值.
例题2.(2022·安徽·砀山中学高一期中)已知角终边上一点,,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
题型归类练
1.(2022·首都师范大学附属中学高二期中)已知为锐角,若,则( )
A. B. C. D.
2.(2022·河南·开封高中模拟预测(理))已知,则( )
A.2 B.-2 C. D.
3.(2022·江西赣州·二模(文))已知角终边上一点,则( )
A. B. C.3 D.5
4.(2022·北京市第十九中学高一期中)若为任意角,则满足的一个的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(多选)(2022·河北·沧县中学高一阶段练习)在△ABC中,下列关系式恒成立的有( )
A. B.
C. D.
6.(2022·北京市西城外国语学校高一期中)已知,,则________.
高频考点四:同角关系式和诱导公式的综合应用
例题1.(2022·安徽黄山·二模(文))已知,则( )
A. B. C. D.
例题2.(2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一阶段练习)函数 的最大值为____.
例题3.(2022·河北·沧县中学高一阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,已知角的终边与单位圆(半径为1的圆)的交点为,将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边,记的终边与单位圆的交点为Q.
(1)若,,求角的值;
(2)若,求tan的值.
题型归类练
1.(2022·湖南师大附中二模)中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图,四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形,角为直角三角形中的一个锐角,若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为,则( )
A. B. C. D.
2.(2022·辽宁朝阳·高三开学考试)已知,则___________.
3.(2022·广东汕头·高一期末)设函数.
(1)若,求的值.
(2)求函数在R上的最小值;
1.(2021·全国·高考真题(文))若,则( )
A. B. C. D.
2.(2021·全国·高考真题)若,则( )
A. B. C. D.
3.(2020·全国·高考真题(理))已知,且,则( )
A. B.
C. D.
一、单选题
1.(2022·安徽马鞍山·三模(文))若,,则等于( )
A. B. C. D.
2.(2022·云南·昆明一中高三阶段练习(文))已知角终边上一点,则( )
A. B. C. D.
3.(2022·北京市房山区房山中学高一阶段练习)已知,且,则的值等于( )
A. B. C. D.
4.(2022·北京·人大附中高一期中)已知,则( )
A. B. C. D.
5.(2022·安徽蚌埠·三模(理))已知,则的值为( )
A.3 B.-3 C. D.-1
6.(2022·海南·嘉积中学高一阶段练习)已知,,则( )
A. B. C. D.
7.(2022·湖北省罗田县第一中学高一阶段练习)已知,则( )
A. B. C.2 D.3
8.(2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习)人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形,它是一个顶角为的等腰三角形,由此我们可得( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.(2022·全国·高三专题练习)已知,,则cos(π﹣x)=___________.
10.(2022·浙江·瑞安中学高二开学考试)已知,,则______.
11.(2022·浙江·东阳市横店高级中学高二阶段练习)已知,求___________.
12.(2022·河北安新中学高一期末)函数的最小值为______.
三、解答题
13.(2022·河南南阳·高一期中)已知角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,是角α终边上一点,且.
(1)求m的值;
(2)求的值.
14.(2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习)(1)若是第二象限角,且,求的值;
(2)已知,化简,在(1)的条件下,求的值.
15.(2022·黑龙江·大庆中学高一期末)求解下列问题:
(1)角的终边经过点,且,求的值.
(2)已知,,求的值.

展开更多......

收起↑

资源列表