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第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：公式的基本应用
高频考点二：公式的逆用及变形
高频考点三：辅助角公式的运用
高频考点四：二倍角
高频考点五：拼凑角
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （精练）
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中)
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）.( )
【答案】正确
【详解】
由，
可得，
所以
.
故答案为：正确.
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）.( )
【答案】错误
【详解】
由题意，
故答案为：错误
二、单选题
3．（2022·北京·高三学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由二倍角公式可得，.
故选：A.
4．（2022·四川成都·高一期中（理））（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
；
故选：B.
三、填空题
5．（2022·云南玉溪·高一期末）的值等于____________．
【答案】2
【详解】
.
故答案为：
6．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）将化为的形式为______．
【答案】
【详解】
故答案为：
高频考点一：公式的基本应用
例题1．（2022·江苏徐州·高一期中）已知，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，，所以
.
故选：A
例题2．（2022·四川成都·高一期中（理））若，是方程两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由韦达定理得：，，
所以
故选：A
例题3．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由得，
由得，
两式相加得，得.
故选：A
例题4．（2022·江苏·淮阴中学高一阶段练习）求值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
；
故选：A.
例题5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：___________．
【答案】
【详解】
解：，
，
，
故答案为：
例题6．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）若，则___________；___________．
【答案】
【详解】
，.
故答案为：；.
题型归类练
1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）（ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】A
【详解】
．
故选：A
2．（2022·北京市第二十五中学高一期中）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
故选:C
3．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由，，可得
则
故选：C
4．（2022·江苏·南京外国语学校高一期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，，所以，
所以，
故选：C
5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为，，所以，
所以＝.
故选：D．
6．（2022·山东德州·高一期中）已知，则______．
【详解】
由得，，
即，所以，
即 ，故，
故答案为：0
7．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设复数，，已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)根据题意，，
因为，所以，
即，即，
解得.
(2)因为，所以，
所以，
因为，
所以，
所以.
高频考点二：公式的逆用及变形
例题1．（2022·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，由两角和的正弦公式，可知
故答案为：C
例题2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
均为锐角，即，，
，又，
，
又，.
故选：C.
例题3．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））___________．
【答案】12##0.5
【详解】
．
故答案为：
例题4．（2022·四川凉山·高一期中（理））_________．
【答案】
【详解】
解：由题意得：
由两角和的正切公式，可令
，可得
故答案为：
例题5．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）求下列各式的值．
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
(1)解(2)解：.
题型归类练
1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】
由三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，可得：
.
故选：C.
2．（2022·四川省广安第三中学校高一阶段练习）等于（ ）
A． B． C．1 D．1
【答案】D
【详解】
，
故选：D
3．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）已知，则____________．
【答案】
【详解】
，所以，
.
故答案为：.
4．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）化简：__________．
【答案】##
【详解】
因为，故，所以
故答案为：
5．（2022·江苏宿迁·高一期中）在中，已知，则_________
【答案】
【详解】
由题意可知，
所以，
，
故
故答案为:
6．（2022·江苏·马坝高中高一期中）__________.
【答案】
【详解】
因为，
所以，.
故答案为：.
高频考点三：辅助角公式的运用
例题1．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1)最大值为1，最小值为
(2)最大值为，最小值为
(3)最大值为2，最小值为
(4)最大值为2，最小值为
【解析】
(1)
，最大值为1，最小值为；
(2)
，最大值为，最小值为；
(3)
，最大值为2，最小值为；
(4)
，最大值为2，最小值为.
例题2．（2021·全国·高一课时练习）设m为实数，已知，求m的取值范围．
【答案】
【详解】
解：因为，
因为，所以，即，所以
例题3．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一阶段练习）求函数的值域.
【答案】
【详解】
令，则，
故与值域相同，
又对称轴，
故其在单调递减，在单调递增，
当时，；当时，，
故其值域为，
即的值域为.
题型归类练
1．（2022·江西九江·三模（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，即，
故选：B
2．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
原式
.
故选：A
3．（2022·湖南·模拟预测）___________．
【答案】4
【详解】
故答案为：4
4．（2022·陕西汉中·高一期中）（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
（1），，
，．
（2），
．
5．（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：
(1)；
(2)（a，b均为正数）.
【答案】(1)最大值为1，最小值为-1.
(2)最大值为，最小值为.
(1)
，，
∴函数的最大值为1，最小值为-1.
(2)
，，
∴函数的最大值为，最小值为.
高频考点四：二倍角
例题1．（2022·北京·汇文中学高一期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
两边平方得：
，
解得：
故选：B
例题2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由得，
．
故选：D．
例题3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，，
解得：（舍）或，.
故选：B.
例题4．（2022·云南曲靖·二模（文））已知，则___________.
【答案】
【详解】
，
，
.
故答案为：
例题5．（2022·北京·中关村中学高一期中）若角的终边经过点，则___________.___________.
【答案】
【详解】
∵角的终边经过点，
∴，
∴
故答案为：，.
题型归类练
1．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知，且，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】
解：，
，
，
即，
解得或，
因为，
所以，
所以，
，
.
故选：C
2．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为
所以当时取得最小值；
故选：C
3．（2022·云南德宏·高三期末（文））已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，所以，，
．
故选：A．
4．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为，所以，所以，解得，所以；
故选：D
5．（2022·江苏南通·高一阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由，可得
则
故选：B
6．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知，且，则________．
【答案】
【详解】
∵，
∴，
因为，
所以，则，
所以.
故答案为：.
7．（2022·北京市西城外国语学校高一期中）已知角的终边在直线上，则________．
【答案】
【详解】
由题意，设角的终边与直线交于点，由三角函数的定义可知.于是，.
故答案为：.
8．（2022·辽宁沈阳·高一期中）若，则___________.
【答案】
【详解】
解：因为①，
所以两边同时平方得，即，
因为，所以，
所以，
所以②，
联立①②可得，
所以，
故答案为：.
9．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知，则________，__________．
【答案】 1
【详解】
故答案为：，1．
高频考点五：拼凑角
例题1．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由，可得，故，，故.
故选：A.
例题2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，且，所以，则
故选：A．
例题3．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，，，
.
故选：D
例题4．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）已知都是锐角，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为都是锐角，
所以，
又，，
所以，，
所以，
，
，
故选；C
题型归类练
1．（2022·北京市第五十中学高一期中）若都是锐角， 且，， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
都是锐角，，，
，，
.
故选：B.
2．（2022·安徽淮南·二模（理））已知，则（ ）
A． B． C．或 D．0或
【答案】A
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以
当时，
，
因为，
所以，故满足题意，
当时，
因为，故不合题意，舍去；
故选：A
3．（2022·甘肃省民乐县第一中学高一期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
．
故选：A.
4．（2022·四川成都·高一期中（理））已知、为锐角，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为、为锐角，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故
故选：A
4．（2022·江苏省镇江中学高一期中）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】
由题设可得，
故选：A.
1．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
2．（2020·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【详解】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
3．（2020·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
4．（2020·全国·高考真题（文））若，则__________．
【答案】
【详解】
.
故答案为：.
5．（2020·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
【答案】
【详解】
故答案为：
6．（2020·浙江·高考真题）已知，则________；______．
【答案】
【详解】
，
，
故答案为：
7．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
一、单选题
1．（2022·四川省南充市白塔中学高一期中（文））的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
．
故选：C
2．（2022·江苏淮安·高一期中）已知，，则（ ）
A． B．－ C．－ D．
【答案】B
【详解】
因为，，
所以.
故选：B.
3．（2022·四川凉山·高一期中（理））已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得：
，解得：
故选：C
4．（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由余弦的倍角公式，可得.
故选：D.
5．（2022·四川凉山·高一期中（理））求的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D.
6．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由两边平方得：，
所以即，
所以.
故选：B.
7．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
，
∴．
故选：B．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以，
所以，
，
故选：A．
二、填空题
9．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数的最大值是______.
【答案】
【详解】
解：，其中，；
因为，所以；
故答案为：
10．（2022·北京市育英中学高一期中）已知，，则的值为__________．
【答案】##
【详解】
因为，故，故，
而
，
故答案为：.
11．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）若， 且， 则_______．
【答案】##-0.2
【详解】
由得，故，
所以，解得，或.
因为，所以，
所以
.
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的值是______.
【答案】
【详解】
由于，且，则，
得，
则.
故答案为：.
三、解答题
13．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知，.
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，(2)
(1)因为，，所以，
所以，，.
(2).
14．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，所以，解得
因为，所以，又，
解得或（舍去）；
(2)解：
15．（2022·广东·深圳中学高一期中）已知为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)1.
(1)因，所以.
(2)因为锐角，则，而，则，
于是得，所以.
16．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值：
(1)计算的值；
(2)已知、均为锐角，，，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：
．
(2)解：、都为锐角，则，
，，
．第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：公式的基本应用
高频考点二：公式的逆用及变形
高频考点三：辅助角公式的运用
高频考点四：二倍角
高频考点五：拼凑角
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （精练）
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中)
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）.( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）.( )
二、单选题
3．（2022·北京·高三学业考试）（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川成都·高一期中（理））（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2022·云南玉溪·高一期末）的值等于____________．
6．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）将化为的形式为______．
高频考点一：公式的基本应用
例题1．（2022·江苏徐州·高一期中）已知，若，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·四川成都·高一期中（理））若，是方程两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知，，则
A． B． C． D．
例题4．（2022·江苏·淮阴中学高一阶段练习）求值（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：___________．
例题6．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）若，则___________；___________．
题型归类练
1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）（ ）
A． B． C．－ D．－
2．（2022·北京市第二十五中学高一期中）（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·南京外国语学校高一期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若，则=（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·山东德州·高一期中）已知，则______．
7．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设复数，，已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
高频考点二：公式的逆用及变形
例题1．（2022·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））___________．
例题4．（2022·四川凉山·高一期中（理））_________．
例题5．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）求下列各式的值．
(1)
(2)
题型归类练
1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2022·四川省广安第三中学校高一阶段练习）等于（ ）
A． B． C．1 D．1
3．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）已知，则____________．
4．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）化简：__________．
5．（2022·江苏宿迁·高一期中）在中，已知，则_________
6．（2022·江苏·马坝高中高一期中）__________.
高频考点三：辅助角公式的运用
例题1．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：
(1)； (2)；
(3)； (4).
例题2．（2021·全国·高一课时练习）设m为实数，已知，求m的取值范围．
例题3．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一阶段练习）求函数的值域.
题型归类练
1．（2022·江西九江·三模（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·模拟预测）___________．
4．（2022·陕西汉中·高一期中）（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
5．（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：
(1)；
(2)（a，b均为正数）.
高频考点四：二倍角
例题1．（2022·北京·汇文中学高一期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·云南曲靖·二模（文））已知，则___________.
例题5．（2022·北京·中关村中学高一期中）若角的终边经过点，则___________.___________.
题型归类练
1．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知，且，则（ ）
A． B． C． D．或
2．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·云南德宏·高三期末（文））已知，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏南通·高一阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知，且，则________．
7．（2022·北京市西城外国语学校高一期中）已知角的终边在直线上，则________．
8．（2022·辽宁沈阳·高一期中）若，则___________.
9．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知，则________，__________．
高频考点五：拼凑角
例题1．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）已知都是锐角，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
题型归类练
1．（2022·北京市第五十中学高一期中）若都是锐角， 且，， 则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽淮南·二模（理））已知，则（ ）
A． B． C．或 D．0或
3．（2022·甘肃省民乐县第一中学高一期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川成都·高一期中（理））已知、为锐角，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏省镇江中学高一期中）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C．3 D．
1．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
2．（2020·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
3．（2020·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国·高考真题（文））若，则__________．
5．（2020·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
6．（2020·浙江·高考真题）已知，则________；______．
7．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
一、单选题
1．（2022·四川省南充市白塔中学高一期中（文））的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏淮安·高一期中）已知，，则（ ）
A． B．－ C．－ D．
3．（2022·四川凉山·高一期中（理））已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川凉山·高一期中（理））求的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则( )
A． B． C． D．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数的最大值是______.
10．（2022·北京市育英中学高一期中）已知，，则的值为__________．
11．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）若， 且， 则_______．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的值是______.
三、解答题
13．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知，.
(1)求，的值；
(2)求的值．
14．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
15．（2022·广东·深圳中学高一期中）已知为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值：
(1)计算的值；
(2)已知、均为锐角，，，求的值．

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