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第04讲 简单的三角恒等变换 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：三角函数式的化简
高频考点二：三角函数求值问题
角度1：给角求值型
角度2：给值求值型
角度3：给值求角型
高频考点三：三角恒等变换的应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第04讲 简单的三角恒等变换 （精练）
1、半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
2、万能公式（拓展视野）
（1）
（2）
（3）其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）
1．（2022·全国·高二课时练习）若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】C
【详解】
由题,则，∴，
.
故选：C.
2．（2022·全国·高一专题练习）化简的结果可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：，
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
故选：C.
4．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高一阶段练习）已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意知：，由为锐角，即，
∴.
故选：D
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）若则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，两边平方得，
，
又，
，
故选：A
高频考点一：三角函数式的化简
例题1．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：___________．
【答案】
【详解】
解：，
，
，
故答案为：
例题2．（2022·湖南·模拟预测）___________．
【答案】4
【详解】
故答案为：4
题型归类练
1．（2022·湖北·沙市中学高一期中）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
故选：A
2．（2022·海南海口·模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】
由题意得，．
故选:A
高频考点二：三角函数求值问题
角度1：给角求值型
例题1．（2022·江苏·吴县中学高一期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为
，所以原式
故选：C
例题2．（2022·山西朔州·高一期末）________.
【答案】
由题意得
．
故答案为．
例题3．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值：
(1)计算的值；
(2)已知、均为锐角，，，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：
．
(2)解：、都为锐角，则，
，，
角度1题型归类练
1．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
原式.
故选：A
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列选下选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
对于A中.
对于B中原式.
对于C中.
对于D中.
故选：AC.
3．（2022·全国·高三专题练习）___________.
【答案】
.
故答案为：.
角度2：给值求值型
例题1．（2022·河南商丘·三模（文））已知，则（ ）
A．3 B． C． D．-3
【答案】C
【详解】
．
故选：C
例题2．（2022·北京八中高一期中）设为锐角，若，则的值为________，的值为________.
【答案】 ##0.6 ##0.96
【详解】
为锐角，则，
，
．
例题3．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，所以，解得
因为，所以，又，
解得或（舍去）；
(2)解：
角度2题型归类练
1．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为，所以，又，
所以，
所以。
即，所以
故选：B
2．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为，
所以，
所以.
故选：B.
3．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知，且，则________．
【答案】
【详解】
∵，
∴，
因为，
所以，则，
所以.
故答案为：.
4．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.
【答案】
【详解】
因为，所以，所以.
故答案为：.
5．（2022·北京市第二十五中学高一期中）已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：因为且，所以，
所以
(2)解：
(3)解：由（1）可得，
又，
所以
角度3：给值求角型
例题1．（2022·陕西·西安中学高一期中）若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵，
，
由，，得，，
若，
则
，
与矛盾，故舍去，
若，
则
，
又，
.
故选：A.
例题2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，且，所以，则
故选：A．
例题3．（2022·江苏盐城·高一期中）已知
(1)求的值；
(2)已知，，，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)因为，
所以
所以
又因为=
所以
(2)因为，所以
因为
所以
又因为，所以
所以
由，得
所以
角度3题型归类练
1．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，
因为，所以，即，
所以.
因为，，所以，
因为，
所以.
所以
.
因为，，
所以，所以.
故选：A
2．（2022·江苏·金陵中学高一期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，，
所以或；
若，则，
此时（舍）；
若，则，
此时（符合题意），
所以，
即；
因为且，
所以且，
解得，，
则，
所以.
故选：C.
3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知，且，求的值为_____．
【答案】##
【详解】
，则，注意到
，于是
，不妨记
，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是
.
故答案为：.
4．（2022·江苏·高一期中）已知，，，，则________．
【答案】
【详解】
因为，，则，，，
所以，，，
所以，
，
因此，.
故答案为：.
5．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若，且，则的值为___________.
【答案】或
由题意知，
则，
即，
当时，，即，
由，得；
当时，，
所以，即，
由，得，所以，得.
故答案为：或
6．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)
由已知，，得
所以
(2)由，，可知，，
∴.
∵，∴.
而，∴.
∴，∴.
高频考点三：三角恒等变换的应用
例题1．（2022·江苏省沙溪高级中学高一期中）已知
(1)求的值；
(2)若锐角满足，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)接由题意得：
故
(2)，
又
.
例题2．（2022·河南洛阳·高二期中（文））某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值等于同一个常数：
①；
②；
③；
④.
(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)推广的恒等式为，证明见解析.
(1)
(2)观察①，②，③，④，结合(1)，归纳可得
证明如下：
.
例题3．（2022·江西·南昌十中高一期中）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．
(1)求扇形的周长；
(2)当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；
(2)设，则，，
所以，
所以矩形的面积
，
，所以当时，取得最大值，
即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.
题型归类练
1．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 .
(1)求函数的最小正周期及其对称中心；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)周期，对称中心为(2)
(1)函数，所以最小正周期；
令，解得，
所以对称中心为；
(2)函数
，
因为，所以，
故，
故.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，求的值.
【答案】
【详解】
,
因为，所以，解得：，
由，得，则
3．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y.
(1)写出y与x的函数关系式，并化简；
(2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值.
【答案】(1)，(2)当时，
(1)解：在直角中，，，
在直角中，， 又，
所以，
所以
，
即，.
(2)解：因为，所以，所以当，即时，.
1．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题（文））（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，
.
故选：D.
3．（2021·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
，，，解得，
，.
故选：A.
4．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
5．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
6．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
一、单选题
1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期中）若，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因为，所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
2．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题，因为，
所以，
故选：B
3．（2022·广东汕头·二模）若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由已知可得
.
故选：A.
4．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
解：因为，所以；
故选：D
5．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）函数，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
，则，因此，.
故选：C.
6．（2022·河南·模拟预测（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，所以，
所以，所以，
即， 故.
故选：B.
7．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
，
，
∴．
故选：B．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为，即，所以，所以，所以，即，即，所以；
故选：C
二、填空题
9．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知，则__________．
【答案】##
由得： ，
即得 ，
故，
故答案为：
10．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）若，且，，则______________.
【答案】
【详解】
解：因为，，所以，
又，，
所以，
因为，所以，
又，所以，
所以.
故答案为：.
11．（2022·河北石家庄·一模）已知角，，则______.
【答案】
，，
，
，
，
，，
，则.
故答案为：.
12．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习）__________．
【答案】32.
解：因为
所以
故答案为
三、解答题
13．（2022·四川凉山·高一期中（理））已知、均为锐角，，
(1)求的值
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：、为锐角，，解得，
.
(2)解：因为，.
、为锐角且，
所以，
，
所以
14．（2022·云南·昆明一中高一期末）已知α，β均为锐角，.在下面条件中任选一个作为已知条件，求tanβ的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①；②.
【答案】
若选①：
因为，所以，
因为，所以，所以.
，则，
所以.
若选②：
因为，所以，
因为，所以.
则，
所以.
15．（2022·湖北武汉·高一阶段练习）已知．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)
因为，所以
(2)因为，
所以，
所以第04讲 简单的三角恒等变换 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：三角函数式的化简
高频考点二：三角函数求值问题
角度1：给角求值型
角度2：给值求值型
角度3：给值求角型
高频考点三：三角恒等变换的应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第04讲 简单的三角恒等变换 （精练）
1、半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
2、万能公式（拓展视野）
（1）
（2）
（3）其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）
1．（2022·全国·高二课时练习）若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
2．（2022·全国·高一专题练习）化简的结果可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高一阶段练习）已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）若则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点一：三角函数式的化简
例题1．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：___________．
例题2．（2022·湖南·模拟预测）___________．
题型归类练
1．（2022·湖北·沙市中学高一期中）化简：（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·海南海口·模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
高频考点二：三角函数求值问题
角度1：给角求值型
例题1．（2022·江苏·吴县中学高一期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·山西朔州·高一期末）________.
例题3．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值：
(1)计算的值；
(2)已知、均为锐角，，，求的值．
角度1题型归类练
1．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列选下选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）___________.
角度2：给值求值型
例题1．（2022·河南商丘·三模（文））已知，则（ ）
A．3 B． C． D．-3
例题2．（2022·北京八中高一期中）设为锐角，若，则的值为________，的值为________.
例题3．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
角度2题型归类练
1．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知，且，则________．
4．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.
5．（2022·北京市第二十五中学高一期中）已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
角度3：给值求角型
例题1．（2022·陕西·西安中学高一期中）若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江苏盐城·高一期中）已知
(1)求的值；
(2)已知，，，求的值.
角度3题型归类练
1．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·金陵中学高一期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知，且，求的值为_____．
4．（2022·江苏·高一期中）已知，，，，则________．
5．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若，且，则的值为___________.
6．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的值.
高频考点三：三角恒等变换的应用
例题1．（2022·江苏省沙溪高级中学高一期中）已知
(1)求的值；
(2)若锐角满足，求的值.
例题2．（2022·河南洛阳·高二期中（文））某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值等于同一个常数：
①；
②；
③；
④.
(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
例题3．（2022·江西·南昌十中高一期中）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．
(1)求扇形的周长；
(2)当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．
题型归类练
1．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 .
(1)求函数的最小正周期及其对称中心；
(2)求函数在上的值域.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，求的值.
3．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y.
(1)写出y与x的函数关系式，并化简；
(2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值.
1．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
2．（2021·全国·高考真题（文））（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
5．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
一、单选题
1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期中）若，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东汕头·二模）若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）函数，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·模拟预测（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则( )
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知，则__________．
10．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）若，且，，则______________.
11．（2022·河北石家庄·一模）已知角，，则______.
12．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习）__________．
三、解答题
13．（2022·四川凉山·高一期中（理））已知、均为锐角，，
(1)求的值
(2)求的值．
14．（2022·云南·昆明一中高一期末）已知α，β均为锐角，.在下面条件中任选一个作为已知条件，求tanβ的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①；②.
15．（2022·湖北武汉·高一阶段练习）已知．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的值．

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