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第05讲 三角函数的图象与性质
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：三角函数的定义域
高频考点二：三角函数的值域
高频考点三：三角函数的周期性
高频考点四：三角函数的奇偶性
高频考点五：三角函数的对称性
高频考点六：三角函数的单调性
角度1：求三角函数的单调区间
角度2：根据三角函数的单调性比较大小
角度3：根据三角函数的单调性求参数
高频考点七：三角函数中的求解
角度1：的取值范围与单调性相结合
角度2：的取值范围与对称性相结合
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 三角函数的图象与性质（精练）
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心
对称轴方程 无
递增区间
递减区间 无
2、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数 () () ()
周期
其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．
(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．
(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．
3、三角函数的奇偶性
三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数
() ()
() ()
()
(1)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(2)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(3)函数是奇函数 ()．
4、三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(3)函数的图象的对称中心由)解得．
1．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【详解】
∵函数，
∴函数为最小正周期为的奇函数.
故选：A.
2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
因为，所以，
所以的最大值为.
故选：C
3．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以.
故的定义域为.
故选：A
4．（2022·陕西西安·三模（文））下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
当时，，显然该集合是的子集
此时函数单调递减，不符合题意；
当时，，显然该集合不是的子集
此时函数不单调递增，不符合题意；
当时，，显然该集合是的子集
此时函数单调递增，符合题意；
当时，，显然该集合不是的子集
此时函数不单调递增，不符合题意，
故选：C
5．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数的图象关于点中心对称，
所以，则，即,
故的最小值为.
故选：B
6．（2022·江西景德镇·三模（理））函数为偶函数的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数为偶函数，
则有，解之得，令，则有
则函数为偶函数的一个充分条件为
故选：C
高频考点一：三角函数的定义域
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
依题意，
所以的定义域是.
故选：D
例题2．（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由，可得，则
则函数的定义域为
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由函数式知：，
∴，即.
故选：B.
题型归类练
1．（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】
令，解得：，，
定义域为，.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由，因为，所以，
即，
故选：A
高频考点二：三角函数的值域
例题1．（2022·陕西·长安一中高二期中（文））函数最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和5
C．和 D．和5
【答案】C
且，
所以最小正周期和最大值为.
故选：C
例题2．（2022·北京师大附中高一期中）已知的最大值为5，则可以为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
当时，，其中，函数最大值为，故A错误；
当时，，函数最大值为5，B正确；
当时，，其中，函数最大值为，故C错误；
当时，，函数最大值为1，故D错误.
故选：B
例题3．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
令，，
可得，，
，故.
故选：B.
例题4．（2022·北京通州·高三期末）函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2 B．奇函数，且最大值为1
C．偶函数，且最大值为2 D．偶函数，且最大值为1
【答案】D
由题意，，
，所以该函数为偶函数，
又，
所以当即时，取最大值1.
故选：D.
例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由的值域为,可得，
由可得，所以，
解得，所以a的取值范围是，
故选:C
例题6．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
设,因为，所以，
因为正切函数在上为单调递增函数，且,
所以．
∴函数的值域为，
故选：A．
例题7．（2022·安徽·砀山中学高一期中）函数，的值域为______．
【答案】
因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
题型归类练
1．（2022·安徽·高一期中）函数（）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】
．
令，则．而在上单增，
所以当时，．
故选：A．
2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
令，则，，
，
所以当时，有最大值，
当时，有最小值，
所以最大值与最小值的和是，
故选：C
3．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为
所以当时取得最小值；
故选：C
4．（2022·四川乐山·高一期末）函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．
【答案】C
，
令，则，
当时，，
故选：C．
5．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据正切函数的性质，可知：
在上单调递增，
当时， ；
当时， .
所以
，
由在或上单调递减，可得：
当时，；
当时，.
所以函数的值域是.
故选：
6．（2022·上海·华师大二附中高一期中）函数的值域是
A． B． C． D．以上均不对
【答案】C
∵，且函数在上为增函数，
∴，即.
∴.
故选C.
7．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）函数，的值域为______．
【答案】
解：因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）当时，函数的最大值为______．
【答案】-4
由题意得
所以，
当时，，
设
所以，
所以当时，函数取最大值.
所以的最大值为-4．
故答案为：
高频考点三：三角函数的周期性
例题1．（2022·上海闵行·高一期中）函数的最小正周期为_______________.
【答案】
解：由正切函数的周期公式得：．
故答案为：．
例题2．（2022·全国·高一）函数的最小正周期是____
【答案】1
函数的最小正周期.
故答案为：1
例题3．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）函数的最小正周期为___________.
【答案】##
因为，
，
如下图所示：
结合图形可知，函数的最小正周期为.
故答案为：.
例题4．（2022·河南南阳·高一期中）下列6个函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期为π的偶函数的编号为___________.
【答案】①③⑤
①，②，③，④，⑤，⑥都是偶函数，
由函数的图象如如所示，可知，，的最小正周期都是，，不是周期函数，，最小正周期为，
故答案为：①③⑤
题型归类练
1．（2022·上海·高三专题练习）函数的最小正周期为___________.
【答案】2
解：的周期为，
故答案为：2
2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）函数的最小正周期为____
【答案】
由余弦函数的性质知：最小正周期.
故答案为：
3．（2022·上海市七宝中学高一期中）函数的最小正周期是_________.
【答案】
解：
所以函数的最小正周期
故答案为：．
4．（2022·广西梧州·高二期中（文））函数的最小正周期为________．
【答案】
，所以最小正周期为，
故答案为：
5．（2022·山东德州·高一期中）在下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由于可以由函数 的图象保持x轴上方部分不动，将x轴下方部分翻折到x轴上方而得到，故其周期为，
又时，是单调增函数，故A正确；
由于时，是单调减函数，故B不正确；
由于时，是单调减函数，故C不正确；
由于时，是单调减函数，故D不正确；
故选：．
6．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在上单调递增的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【详解】
函数的周期为，且在上单调递增，故①正确；
函数不是周期函数，故②不正确；
函数的周期为，且在上单调递增，故③正确；
函数的周期为，故④不正确.
故选：B
高频考点四：三角函数的奇偶性
例题1．（2022·上海市控江中学高一期中）函数的奇偶性为________函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
【答案】偶函数
由已知条件得，
则，
故函数为偶函数；
故答案为：偶函数.
例题2．（2022·上海市建平中学高一阶段练习）函数是奇函数，那么常数的最大值为______
【答案】
为奇函数，，
解得：，又，当时，.
故答案为：.
例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）下列函数中，偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A，为奇函数，故A不正确；
对于B，为奇函数，故B不正确；
对于C，为奇函数，故C不正确；
对于D，为偶函数，故D正确.
故选：D
例题4．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于A，，，，故为非奇非偶函数，
对于B，，定义域为，，为偶函数，
对于C，，为偶函数，
对于D，易知定义域为R,，，为奇函数．
故选：D
例题5．（2022·北京·模拟预测）下列函数中，定义域为的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
对于A，根据指数函数的性质知，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，函数满足为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意；
对于C，函数为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意；
对于D，函数，定义域为，且满足为偶函数，符合题意.
故选：D.
例题6．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数
【答案】B
解：，
所以函数的最小正周期，且为奇函数；
故选：B
例题7．（2022·山西晋中·高一期末）已知，若，则______．
【答案】
【详解】
由于，即，故，令，则，即在定义域内是奇函数，满足，则，故．
故答案为：
题型归类练
1．（2022·上海南汇中学高一期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A，函数为奇函数，，
对于B，函数为非奇非偶函数，，
对于C，函数为奇函数，，
对于D，，函数为奇函数，，
故选：D
2．（2022·北京·汇文中学高一期中）已知函数，则该函数为（ ）
A．奇函数，最小值为 B．偶函数，最大值为
C．奇函数，最小值为 D．偶函数，最小值为
【答案】D
【详解】
由，定义域为，
，是偶函数，
又，
时，．
故选：D．
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
A：，故为奇函数；
B：，故为奇函数；
C：，故为偶函数；
D：，故为奇函数.
故选：C
4．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）若是奇函数，则常数的一个取值为___________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】
依题意，是奇函数，
函数是奇函数，所以是奇函数，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
5．（2022·山东·高一阶段练习）已知是奇函数，则的值可以为___________.
【答案】
【详解】
根据诱导公式可知，当时，
，而为奇函数，
所以的值可以为.
故答案为：（答案不唯一）
6．（2022·北京市第五十中学高一期中）已知函数，则的奇偶性及最小值分别为( )
A．奇函数， B．偶函数，
C．奇函数， D．偶函数，
【答案】D
，
∵f(x)定义域为R关于原点对称，且，∴f(x)为偶函数，
根据二次函数性质可知，当时，f(x)取最小值．
故选：D．
7．（2022·山东聊城·高一期末）已知函数，若，则（ ）
A．5 B．3 C．1 D．0
【答案】A
依题意，令，则是奇函数，，
于是得，
所以.
故选：A
8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知函数（，，为实数），且，则（ ）
A． B．1 C． D．4045
【答案】C
设，，
则，是奇函数，
，所以，
．
故选：C．
高频考点五：三角函数的对称性
例题1．（2022·北京八中高一期中）函数的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由，令,
解得，即函数的对称轴为：，
当时，，
故选：C
例题2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数图像的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由，令,
解得，即函数的对称轴为：，
当时，，
故选：B
8．（2022·海南·模拟预测）函数的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：令，则，
所以函数的图象的对称中心为，故AB不是函数图象的对称中心；
令，则，故不是函数图象的对称中心；
令，则，故是函数图象的对称中心.
故选：D.
例题3．（2022·吉林长春·三模（文））函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由，可得
当时，，当时，
当时，，所以为的一个对称中心
故选：D
例题4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为是函数图象的对称轴，
所以，故，
所以，故的最小正周期的最大值为，
故选：D.
例题5．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若函数的图象关于直线对称，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【详解】
解：因为，所以，其中，；
因为为的对称轴，，
所以，即，解得，
所以，则；
故选：C
题型归类练
1．（2022·河南南阳·高一期中）函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由于正弦函数的性质，有，即，
当时，，
故选：D
2．（2022·重庆·三模）函数的图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：令，则，
即函数的图象的对称轴为，
当时，.
故选：B.
3．（2021·全国·高一课时练习）函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令，可得．
所以当时，，故满足条件，
当时，，故满足条件；
故选：D
4．（2022·广东·模拟预测）函数的一个对称中心是（ ）
A．（0，0） B．（，0） C．（，0） D．以上选项都不对
【答案】B
【详解】
因为的对称中心为
所以令，
当k=1时，，即（，0）为函数的一个对称中心.
经检验，其他选项不成立.
故选：B
5．（2022·全国·高一单元测试）函数图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令，得，
故函数图象的对称中心的坐标为.
故选:D.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的对称中心坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令），
解得，
故函数的对称中心为，
故选：D．
7．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵函数的最小正周期为，
∴，则，
则，
∵图像关于直线对称，
∴，即，
∵，
∴当时，，
则，
由，解得，
当时，，
即函数图象的一个对称中心为.
故选：B.
8．（2022·江西·高一期中）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为的图象关于直线对称，所以，即，
解得，则．
故选：B
高频考点六：三角函数的单调性
角度1：求三角函数的单调区间
例题1．（2022·山东日照·模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
的单调递减区间即函数的单调递增区间，令,解不等式得到，令得，，
所以是函数的单调递减区间，其他选项均不符合，
故选：B
例题2．（2022·河北·高三阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，函数，
令，解得,
所以函数的单调递减区间为.
故选：B.
例题3．（2022·甘肃张掖·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【详解】
解：，令，，解得，，故函数的单调递减区间为；
故选：A.
例题4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为，令，解得，所以函数的单调递增区间为，当时可得函数的一个单调递增区间为，因为，所以函数在上单调递增；
故选：D
例题5．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
例题6．（2022·河南·模拟预测（理））函数在下列区间单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
当时，即时单调递减，令，得是的单调递减区间.
故选:B．
角度1题型归类练
1．（2022·湖南·高一课时练习）y＝cos在[0，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由的单调递减区间为，可得，解得，
又，时， .
故选：D.
2．（2022·江西·高一期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：由，可得，
即，所以的单调递增区间是.
故选：A．
3．（2022·湖南·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
【答案】D
【详解】
由可得
所以该函数的单调增区间为 ()．
故选：D
角度2：根据三角函数的单调性比较大小
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】
(1)在区间上递增，所以.
(2)在区间上递增，所以.
(3)，，
在区间上递增，所以.
(4)在区间上递减，所以.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，；(2)，．
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)因为在上单调递增，
而，
所以
(2)因为在上单调递增，
因为，
而，
所以，
即.
例题3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）下列不等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
，A错误；
，B正确；
，故，C错误；
，D错误；
故选：B.
例题4．（多选）（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
解：因为余弦函数是偶函数，比较与即可，
因为，所以，即，A正确；
，正弦函数，在（，）上单调递减，且，
所以，即，B正确；
因为，且在内单调递增，
所以，C错误；
因为，则，D正确．
故选：ABD
角度2题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
对于A选项，，
因为正切函数在上为增函数，且，
所以，，即，A选项错误；
对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且，
所以，，B选项错误；
对于C选项，，，
因为余弦函数在为减函数，且，
所以，，即，C选项正确；
对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且，
所以，，D选项错误.
故选：C.
2．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
对于A选项，因为正弦函数在上单调递增，且，则，A选项正确；对于B选项，因为余弦函数在上为减函数，，，因为，则，即，B选项不正确；对于C选项，当时，正切函数单调递增，因为，所以，C项不正确；对于D选项，因为正弦函数在上单调递增，又因为，所以，D项正确．
故选：AD.
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】
对于A，在上单调递增，又，，A正确；
对于B，在上单调递减，又，，B错误；
对于C，，又，，C正确；
对于D，，，
又，，D正确.
故选：ACD.
4．（多选）（2022·山东临沂·高一期末）下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】
对于A，，，，
函数在上单调递增，则，A不正确；
对于B，，，而，
函数在上单调递增，则，B正确；
对于C，，，则，C不正确；
对于D，，，即，D正确.
故选：BD
5．（2022·湖南·高一课时练习）比较大小：tan ________tan .
【答案】
【详解】
根据三角函数的诱导公式，可得，
，
因为，且函数在上为单调递增函数，
所以，所以.
故答案为：
6．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，；(2)，；(3)，．
【答案】(1)(2)(3)
(1)因为，，所以，，故；
(2)因为，且在上单调递减，故；
(3)，，因为，且在上单调递增，所以，所以，故
7．（2022·全国·高一课时练习）比较下列两个正切值的大小：
(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan，tan．
【答案】(1)tan 167°【解析】
(1)因为90°<167°<173°<180°，
y＝tan x在(90°，180°)上为增函数，
所以tan 167°(2)因为tan＝tan，
tan＝tan，
且0<<<，y＝tan x在上为增函数，
所以tan即tan角度3：根据三角函数的单调性求参数
例题1．（2022·安徽·高一期中）若函数在内单调递增，则a的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
．
，，
∴f(x)的增区间是，，
∵f(x)在上单调递增，而0，
∴f(x)的增区间k取0时为，满足0，
∴a的最大值为．
故选：D．
例题2．（2022·河南开封·高一期末）函数在区间单调递减，在区间上有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式
详解：当，，
又∵，则，即，，
由得，，
∴，解得，
综上.
故选C.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间 上单调递减，则m的一个值可以是 _______ ；
【答案】（答案不唯一，只要）
【详解】
，，
在区间上恒成立，
在区间上恒成立，
取，显然恒成立，
故答案为：.
例题4．（2022·上海市建平中学高一期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
因为函数的单调递增区间为，，
且函数在上为严格减函数，
所以，解得，即 .
故答案为：
角度3题型归类练
1．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）若函数在上单调，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【详解】
因为，，
所以，
已知在上单调递增，在上单调递减
所以，解得：
或，解得：
综上：的值为或.
故选：D
2．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
【答案】B
【详解】
因为相邻两个对称轴之间的距离2π，
则，即，则，则，
由，得，
所以在上是增函数，由得.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
画出的图象如下图所示，由图可知，的最大值是.
故选：B
4．（2022·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】
函数在内是减函数，
，函数，
且，
，又，
．
故答案为：
5．（2022·广西南宁·二模（理））在上单调递减，则实数m的最大值是______．
【答案】##
【详解】
依题意，，
由得，因此，函数含有数0的单调递减区间是，
因在上单调递减，于是得，即，解得，
所以实数m的最大值是.
故答案为：
高频考点七：三角函数中的求解
角度1：的取值范围与单调性相结合
例题1．（2022·广东广州·高一期中）函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意得：，当时，，
在上单调递增，，又，解得：，
的最大值为.
故选：B.
例题2．（2022·重庆八中模拟预测）若函数在单调递增，在单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】或
【详解】
∵函数在单调递增，在单调递减，
设则函数的最小正周期的为，则，即.
解得：或.
故答案为：或
例题3．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.
【答案】##-0.25
【详解】
因为函数在上单调递减，
所以，，则，
又因为函数在上的最大值为，
所以，即，
所以.
故答案为：
角度1题型归类练
1．（2022·河北保定·二模）已知函数，，，且在上单调递增，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】
因为，所以，
所以，解得.
因为，所以.
因为在上单调递增，所以，
解得，故.
故选：A
2．（多选）（2022·辽宁辽阳·二模）已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值可以为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】BCD
【详解】
由，得，
则，，
解得，.
由，，得，，
因为，所以当时，不符合条件，故，即.
由，得，
则，，
解得，，
由，，得，，
因为，所以当时，不符合条件，故，即.
综上所述，的取值范围为.
所以的取值可以为选项中的，，2.
故选：BCD.
3．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】
因为，且在此区间上的最大值是，所以．
因为f(x)max=2tan=，所以 tan==，即ω=．
由，得．
令，得，即在区间上单调递增．
又因为在区间上单调递增，所以<，即．
所以的取值范围是．
故答案为：1，
4．（2022·安徽·高一期中）已知函数（）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的值是______．
【答案】##
【详解】
由题意知，当时，函数取得最大值，
所以，，解得，．
因为在区间上递增，在上递减，
所以且，
解得，因此．
故答案为：.
角度2：的取值范围与对称性相结合
例题1．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为___________.
【答案】或1
【详解】
∵函数的图象关于点对称，且，
∴，，或，
则令，可得实数或，
故答案为：或1.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】
因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，取最小值为.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题可知，在上只有一个零点，
又，，所以，即.
故选：A.
例题．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
当时，，
函数在内有且仅有三条对称轴，则有，
解得，
故选：B.
角度2题型归类练
1．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【详解】
依题意得，
所以，
即，又，
所以.
故选：C.
2．（2022·山东·乳山市第一中学高一阶段练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为在内不存在对称中心，故，解得，又，，故，解得，又，所以，或，，故的取值范围为.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，函数，
因为函数的图象关于对称，可得，
即，
因为，当时，的最小值为.
故选：B.
4．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】A
【详解】
解：将函数的图象分别向左平移个单位长度后，
可得
将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，
可得，
因为函数与的对称中心重合，所以，
即，解得，
所以的最小值为.
故选：A.
5．（2022·江西上饶·二模（理））已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
【答案】4或10##10或4
【详解】
∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
当时，，
y＝sinx图像如图：
要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；
区间的长度为：，
当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合
例题1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：当时，，
因为函数在区间上的值域为，
所以，解得.
故选：.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】
∵函数，若对于任意的实数x，恒成立，
是函数的最小值，故，即，
则令k＝0，可得ω的最小值为.
故选：D
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设，由，可得，
因为函数在上有且仅有个零点和个最大值点，
所以函数在上有且仅有个零点和个最大值点，
如图，由图可知，解得，所以的取值范围为，
故选：A．
例题4．（2022·辽宁沈阳·高一期中）若函数在内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是___________.
【答案】
解：函数 ，
因为在内有且仅有一个最大值，且，，
所以，即，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
角度3题型归类练
1．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】
解：对任意，都有，
为函数的最大值，则，，
得，，
在区间，上不单调，
，
即，即，得，
则当时，最小.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为，所以，
又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）：
可知，所以解得，
故选：D.
3．（2021·全国·高一专题练习）已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，即，
又，所以，所以，
所以，．
故选：A．
4．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数在处取得最大值，且，若函数在上是单调的，则的最大值为______．
【答案】##11.25
【详解】
由题意，函数
满足，，
可得，，
两式相减得，其中，
解得，
又由，可得，
即，解得，
故m的最大值为8，
此时取得最大值．
故答案为：
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合
例题1．（2022·吉林·模拟预测（理））已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为，当时，，
因为函数在上有且仅有个零点，
则，解得.
故选：B.
例题2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为，
令，即，
所以，在上有且只有5个零点，
因为，所以，
所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，
则，即，
所以实数的范围是.
故选：C
角度4题型归类练
1．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）设 ， 若函数 在区间 上恰有两个零点， 则 的取值范围为 .
【答案】或
由得即，
∵函数在区间上恰有两个零点，
∴，即满足的k恰有两解，
又，所以取2,3或3,4，
当k取2,3时，且，即，
当k取3,4时，且，即，
所以的取值范围是或.
故答案为：或.
2．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为_______
【答案】2
由得,
,
设,则
作出与的图象如图
则,得,
即的最小值是,
故答案为:.
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合
例题1．（2022·北京市第十九中学高一期中）若函数（）在区间上恰好取到3次最小值，请写出一个符合题意的的值：___________.
【答案】3（只要符合即可）
由，得
因为函数（）在区间上恰好取到3次最小值，
所以，故
则的值可以是3
故答案为：3（只要符合即可）
例题2．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数在上有且仅有6个极值点，则正整数的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
设，则当时，
由在上有且仅有6个极值点，则在上有且仅有6个极值点.
如图由正弦函数的图像性质可得
解得，所以正整数的值为3
故选：B
角度5题型归类练
1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵，∴．又，∴．
当时，函数取到最小值，此时，．解得，．
所以当时，.
故选：C．
2．（2022·重庆·三模）已知函数在区间内有唯一的极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
函数，由于，
所以，
根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个极值点，
所以且，所以．
故的取值范围是.
故答案为：.
1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
3．（2019·全国·高考真题（理））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【详解】
当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
4．（2019·全国·高考真题（理））下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【详解】
因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．
5．（2019·北京·高考真题（理））函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】.
函数,周期为
6．（2019·全国·高考真题（文））函数的最小值为___________．
【答案】.
【详解】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
7．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
8．（2019·浙江·高考真题）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
【答案】（1）；（2）.
(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：.
1．（2022·江苏连云港·模拟预测）如果函数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数满足，所以的图象关于对称，
所以，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：B
2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减 B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减 D．在（—，0）单调递增
【答案】D
【详解】
，
故当时，，所以不单调，AB错误；
当时，，在上单调递增，
故D正确
故选：D
3．（2022·福建宁德·模拟预测）函数的周期为2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．f（x）在[，]上单调递增
D．的图像关于直线对称
【答案】C
【详解】
由可知，,由此可知选项不正确；
由可知，，
即是偶函数，由此可知选项不正确；
由，解得,
当时，区间上为单调递增，由此可知选项正确；
由，解得，
则直线不是的对称轴，由此可知选项不正确；
故选：.
4．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令，因为，所以，
问题转化为函数在时恰有两个最小值点，
所以有，因为，所以，
故选：A
5．（2022·北京昌平·二模）“”是“函数在区间上单调递减”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
当时，满足在区间上单调递减，即由“”可推出“函数在区间上单调递减”，
反之由“函数在区间上单调递减”推不出“”，如时，也满足在区间上单调递减，
∴“”是“函数在区间上单调递减”的充分而不必要条件.
故选：A.
6．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若函数是周期函数，最小正周期为．则下列直线中，图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为最小正周期为，故恒成立，故，，代入得，所以，令，可得对称轴为，故结合选项，函数图象的对称轴为，其它直线均不是函数图象的对称轴.故选：B
7．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．有2个零点 D．是偶函数
【答案】B
【详解】
显然，的定义域为，的定义域为，且，
记，则有，
故是奇函数，选项D错误.
又
故的图象关于点对称，选项B正确，选项A错误；
令，则有，即或，
解得或，即，或，
故有3个零点，选项C错误.
故选：B
8．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数；以下几个结论：
①是的一个周期；
②在上有3个零点；
③的最大值为；
④在上是增函数.
则正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】
的最小正周期是，的最小正周期是，
所以的最小正周期是，故①正确；
当，时，
，即，
即或，解得或或，
所以在上有3个零点，故②正确；
因为的周期为，所以只需求在上的最大值，
，
令，解得或，
当或时，，此时，则在，上单调递增，
当时，，此时但不恒为0，则在上单调递减，因为，，则当时，函数取得最大值，故③正确，④错误.
故答案为：B.
二、填空题
9．（2022·河北邯郸·模拟预测）请写出一个函数表达式___________满足下列3个条件：①最小正周期；②在上单调递减；③奇函数
【答案】
【详解】
根据三角函数的图像与性质，可以写出，等函数表达式，都满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
10．（2022·山东德州·高一期中）已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则______．
【答案】1
【详解】
函数的相邻两个零点之间的距离是，则有的周期，解得，
于是得，所以.
故答案为：1
11．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数，则下列说法正确的有________.
①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
②在上单调递增
③在内有2个零点
④在上的最大值为
【答案】②③
【详解】
由函数，
对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，所以①不正确；
对于②中，令，解得，
当时，可得，即函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以②正确；
对于③中，令，可得，解得，
当时，可得；当时，可得，
所以在内有2个零点，所以③正确；
对于④中，由，可得，
当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.
故答案为：②③.
12．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知函数，，有三个不同的零点，且，则的范围是________.
【答案】
【详解】
解：依题意函数，，
有三个不同的零点，且，
令，得，
令，画出函数，的图象如图，
由图可知关于直线对称，关于直线对称，而，
所以.
故答案为：
三、解答题
13．（2022·北京师大附中高一期中）设函数，．
(1)求的单调递减区间；
(2)若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
(1)由题设，
令，，则，，
所以的单调递减区间为，.
(2)令，，则，，
又对称轴只有一条落在上，则.
14．（2022·北京市第二十五中学高一期中）已知函数．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)设函数，求函数在上的最小值和最大值，并求出此时对应的x值．
【答案】(1)(2)(3)时，时
【解析】
(1)解：因为，
所以
(2)解：因为，所以
(3)解：因为，
所以，
因为，所以，所以，所以
所以当，即时；
当，即时
15．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求证：.
【答案】(1)(2)(3)证明过程见解析
【解析】
(1)
，
则函数的最小正周期；
(2)令，，
解得：，
故函数的单调递减区间是；
(3)证明：时，，
所以，即.第05讲 三角函数的图象与性质
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：三角函数的定义域
高频考点二：三角函数的值域
高频考点三：三角函数的周期性
高频考点四：三角函数的奇偶性
高频考点五：三角函数的对称性
高频考点六：三角函数的单调性
角度1：求三角函数的单调区间
角度2：根据三角函数的单调性比较大小
角度3：根据三角函数的单调性求参数
高频考点七：三角函数中的求解
角度1：的取值范围与单调性相结合
角度2：的取值范围与对称性相结合
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 三角函数的图象与性质（精练）
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心
对称轴方程 无
递增区间
递减区间 无
2、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数 () () ()
周期
其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．
(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．
(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．
3、三角函数的奇偶性
三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数
() ()
() ()
()
(1)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(2)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(3)函数是奇函数 ()．
4、三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(3)函数的图象的对称中心由)解得．
1．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·陕西西安·三模（文））下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江西景德镇·三模（理））函数为偶函数的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
高频考点一：三角函数的定义域
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题型归类练
1．（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
高频考点二：三角函数的值域
例题1．（2022·陕西·长安一中高二期中（文））函数最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和5
C．和 D．和5
例题2．（2022·北京师大附中高一期中）已知的最大值为5，则可以为（ ）
A．0 B． C． D．
例题3．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·北京通州·高三期末）函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2 B．奇函数，且最大值为1
C．偶函数，且最大值为2 D．偶函数，且最大值为1
例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题6．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
例题7．（2022·安徽·砀山中学高一期中）函数，的值域为______．
题型归类练
1．（2022·安徽·高一期中）函数（）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川乐山·高一期末）函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．
5．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海·华师大二附中高一期中）函数的值域是
A． B． C． D．以上均不对
7．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）函数，的值域为______．
8．（2022·全国·高三专题练习）当时，函数的最大值为______．
高频考点三：三角函数的周期性
例题1．（2022·上海闵行·高一期中）函数的最小正周期为_______________.
例题2．（2022·全国·高一）函数的最小正周期是____
例题3．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）函数的最小正周期为___________.
例题4．（2022·河南南阳·高一期中）下列6个函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期为π的偶函数的编号为___________.
题型归类练
1．（2022·上海·高三专题练习）函数的最小正周期为___________.
2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）函数的最小正周期为____
3．（2022·上海市七宝中学高一期中）函数的最小正周期是_________.
4．（2022·广西梧州·高二期中（文））函数的最小正周期为________．
5．（2022·山东德州·高一期中）在下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在上单调递增的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
高频考点四：三角函数的奇偶性
例题1．（2022·上海市控江中学高一期中）函数的奇偶性为________函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
例题2．（2022·上海市建平中学高一阶段练习）函数是奇函数，那么常数的最大值为______
例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）下列函数中，偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·北京·模拟预测）下列函数中，定义域为的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
例题6．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数
例题7．（2022·山西晋中·高一期末）已知，若，则______．
题型归类练
1．（2022·上海南汇中学高一期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·汇文中学高一期中）已知函数，则该函数为（ ）
A．奇函数，最小值为 B．偶函数，最大值为
C．奇函数，最小值为 D．偶函数，最小值为
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）若是奇函数，则常数的一个取值为___________.
5．（2022·山东·高一阶段练习）已知是奇函数，则的值可以为___________.
6．（2022·北京市第五十中学高一期中）已知函数，则的奇偶性及最小值分别为( )
A．奇函数， B．偶函数，
C．奇函数， D．偶函数，
7．（2022·山东聊城·高一期末）已知函数，若，则（ ）
A．5 B．3 C．1 D．0
8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知函数（，，为实数），且，则（ ）
A． B．1 C． D．4045
高频考点五：三角函数的对称性
例题1．（2022·北京八中高一期中）函数的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数图像的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·吉林长春·三模（文））函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若函数的图象关于直线对称，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．2
题型归类练
1．（2022·河南南阳·高一期中）函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·三模）函数的图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一课时练习）函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东·模拟预测）函数的一个对称中心是（ ）
A．（0，0） B．（，0） C．（，0） D．以上选项都不对
5．（2022·全国·高一单元测试）函数图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的对称中心坐标是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江西·高一期中）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点六：三角函数的单调性
角度1：求三角函数的单调区间
例题1．（2022·山东日照·模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·河北·高三阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·甘肃张掖·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
例题4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
例题6．（2022·河南·模拟预测（理））函数在下列区间单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
角度1题型归类练
1．（2022·湖南·高一课时练习）y＝cos在[0，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西·高一期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
角度2：根据三角函数的单调性比较大小
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，．
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，；(2)，．
例题3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）下列不等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（多选）（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
角度2题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）（2022·山东临沂·高一期末）下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·湖南·高一课时练习）比较大小：tan ________tan .
6．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，；(2)，；(3)，．
7．（2022·全国·高一课时练习）比较下列两个正切值的大小：
(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan，tan．
角度3：根据三角函数的单调性求参数
例题1．（2022·安徽·高一期中）若函数在内单调递增，则a的最大值是( )
A． B． C． D．
例题2．（2022·河南开封·高一期末）函数在区间单调递减，在区间上有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间 上单调递减，则m的一个值可以是 _______ ；
例题4．（2022·上海市建平中学高一期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是_____________．
角度3题型归类练
1．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）若函数在上单调，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
3．（2022·全国·高三专题练习）若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围是______．
5．（2022·广西南宁·二模（理））在上单调递减，则实数m的最大值是______．
高频考点七：三角函数中的求解
角度1：的取值范围与单调性相结合
例题1．（2022·广东广州·高一期中）函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·重庆八中模拟预测）若函数在单调递增，在单调递减，则实数的取值范围是______．
例题3．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.
角度1题型归类练
1．（2022·河北保定·二模）已知函数，，，且在上单调递增，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（多选）（2022·辽宁辽阳·二模）已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值可以为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________．
4．（2022·安徽·高一期中）已知函数（）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的值是______．
角度2：的取值范围与对称性相结合
例题1．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为___________.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A． B． C． D．
例题．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
角度2题型归类练
1．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
2．（2022·山东·乳山市第一中学高一阶段练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
5．（2022·江西上饶·二模（理））已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合
例题1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·辽宁沈阳·高一期中）若函数在内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是___________.
角度3题型归类练
1．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022·全国·高三专题练习）已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高一专题练习）已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数在处取得最大值，且，若函数在上是单调的，则的最大值为______．
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合
例题1．（2022·吉林·模拟预测（理））已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
角度4题型归类练
1．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）设 ， 若函数 在区间 上恰有两个零点， 则 的取值范围为 .
2．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为_______
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合
例题1．（2022·北京市第十九中学高一期中）若函数（）在区间上恰好取到3次最小值，请写出一个符合题意的的值：___________.
例题2．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数在上有且仅有6个极值点，则正整数的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
角度5题型归类练
1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·三模）已知函数在区间内有唯一的极值点，则的取值范围是___________.
1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
3．（2019·全国·高考真题（理））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
4．（2019·全国·高考真题（理））下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
5．（2019·北京·高考真题（理））函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
6．（2019·全国·高考真题（文））函数的最小值为___________．
7．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
8．（2019·浙江·高考真题）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
1．（2022·江苏连云港·模拟预测）如果函数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减 B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减 D．在（—，0）单调递增
3．（2022·福建宁德·模拟预测）函数的周期为2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．f（x）在[，]上单调递增
D．的图像关于直线对称
4．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京昌平·二模）“”是“函数在区间上单调递减”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若函数是周期函数，最小正周期为．则下列直线中，图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．有2个零点 D．是偶函数
8．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数；以下几个结论：
①是的一个周期；
②在上有3个零点；
③的最大值为；
④在上是增函数.
则正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2022·河北邯郸·模拟预测）请写出一个函数表达式___________满足下列3个条件：①最小正周期；②在上单调递减；③奇函数
10．（2022·山东德州·高一期中）已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则______．
11．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数，则下列说法正确的有________.
①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
②在上单调递增
③在内有2个零点
④在上的最大值为
12．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知函数，，有三个不同的零点，且，则的范围是________.
三、解答题
13．（2022·北京师大附中高一期中）设函数，．
(1)求的单调递减区间；
(2)若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围．
14．（2022·北京市第二十五中学高一期中）已知函数．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)设函数，求函数在上的最小值和最大值，并求出此时对应的x值．
15．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求证：.

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