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第06讲 函数的图象及其应用
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的图象变换
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
高频考点三：五点法作图
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
角度3：三角函数模型
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第06讲 函数的图象及其应用（精练）
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:
2、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移
1．（2022·全国·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后得到的函数图像关于原点对称，则函数图像的一条对称轴的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
将函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像，则由题知，，
解得，．又，故，所以．令，
解得，当时，解得，当时，解得，当时，解得，A、B、C错误，D正确.
故选：D．
2．（2022·北京通州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为.
故选：A.
3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数在上的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
的图象向左平移个单位可得，
，则，
正弦函数y=sint在上有2个零点，故g(x)在上有2个零点．
故选：B．
4．（2022·北京师大附中高一期中）要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【详解】
由题设，
所以只需把函数的图象向右平移个单位.
故选：D
5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
因为为五点作图法的第2点，
所以，．
因为，所以，
又函数图象过点，所以，得．
所以，
即．
故选：D.
高频考点一：函数的图象变换
例题1．（2022·河南·模拟预测（文））由函数的图象经过图象变换得到函数的图象，则这个变换过程为（ ）
A．向左平移个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）
B．向左平移个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）
C．把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），向左平移个单位长度
D．把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），向左平移个单位长度
【答案】A
【详解】
的图象经过图象变换得到函数的图象,
可先平移后伸缩：
将函数图象向左平移个单位长度得，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象；
先伸缩后平移：
把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到，再将图象左移个单位，得到的图象.
故选：A
例题2．（2022·河南许昌·三模（文））要得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【详解】
把函数上所有的点向左平移个单位长度可得：
.
故选：B.
例题3．（2022·陕西·二模（理））要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【详解】
因为函数，
，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：B.
例题4．（2022·江西上饶·二模（理））为得到函数的图象，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【详解】
对于A，向左平移个单位得：，A错误；
对于B，向左平移个单位得：，B错误；
对于C，向右平移个单位得：，C错误；
对于D，向右平移个单位得：，D正确.
故选：D.
题型归类练
1．（2022·安徽·高一期中）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
解：将向右平移个单位长度得到．
故选：D．
2．（2022·北京八中高一期中）要得到的图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【详解】
解：因为，
所以要得到的图象，只要将的图象向左平移个单位，
故选：C.
3．（2022·湖北·高一期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【答案】B
【详解】
由可得，
把曲线的上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
则可得到的图象，再将该图象向右平移个单位，
则可得的图象，故B正确.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）要得到的图象，需将的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】D
【详解】
，
由向左平移得到.
故选：D
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
例题1．（2022·河南洛阳·一模（理））已知函数在上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
根据变换可得，
对A，，故A符合；
对B，，故B不符合；
对C，，故C不符合；
对D，，故D不符合.
故只有A正确；
故选：A.
例题2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数的部分图象大致如图所示．将函数的图象向左平移个单位后，所得函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由图可知，，，可得，又由五点画图法有，可得
，可得，
，
函数向左平移个单位后，所得函数为
，由奇偶性及，
可得，可得．
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数的部分图象如图所示，若，且，则________．
【答案】﹔
【详解】
由题意知，函数中，
周期，所以，
又函数图象过点，
即，得，
又，所以，
所以；
由，得图象的最高点坐标为，
因为且，
所以，故.
故答案为：.
题型归类练
1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数（其中，，的部分图象如图所示；将函数图象的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数在（ ）上单调递减．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据函数的图象，可得，，
则，则，故；
由，可得，解得，
因为，可得，所以，
将函数图象的横坐标伸长到原来的6倍后，得到，
再向左平移个单位后，得到，
令，解得，
令，解得，
所以函数单调递增区间为，
单调递减区间为，
所以函数在上先增后减，在上先减后增，
在上单调递增，在上单调递减.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间的最小值为
D．为偶函数
【答案】D
【详解】
由图象知，又，故；
再由图象知且，
故，解得，
即，
对于A：由知A选项错误；
又的图象向右平移个单位后得到的函数为，故B选项错误；
当时，，
所以在上的最小值为，故C错误.
由，为偶函数，故D选项正确.
故选：D
3．（2022·天津·二模）如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心
C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增
【答案】D
【详解】
由图象知，
又，所以的一个最低点为，
而的最小正周期为，
所以
又，则，
所以,即，
又，所以，
所以，
将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，
再把所得曲线向右平移个单位长度得，
即.
由得，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
当时，可知在递增，在递减，所以错误；
因为，
所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
因为，
所以直线不是图象的一条对称轴，故C错误；
因为在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故正确；
故选：.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数的图象向左平移个单位可得到一个偶函数
【答案】C
【详解】
根据函数的部分图象，
可得，，∴.
再根据五点法作图，可得，
∴，.
排除A；排除B；
在上，，
方程在上有两个不相等的实数根，则实数，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故所得函数为奇函数，故D错误；
故选C.
5．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（文））已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.
【答案】1
【详解】
由题图可知，周期，，
所以，
因为在的图象上，
所以，所以，
得，
因为，所以，
所以，
所以，
故.
故答案为：1
高频考点三：五点法作图
例题1．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x 5
0 2 0 0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将的图象向右平行移动个单位，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值.
【答案】(1)(2)1
(1)由题意可得：
0
x -4 2 5 8
0 2 0 0
;
(2)由题意得：，
则由图象的一个对称中心为得：，
即，则当时 的最小值为1.
例题2．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知函数，．
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)说明此函数图象可由的图象经怎样的变换得到.
【答案】(1)图像见解析；(2)(3)见解析.
(1)列表如下图所示：
3 6 3 0 3
图像如下：
(2)由正弦函数的单调性得：，解得，
故单减区间为：.
(3)把的图像向左移动个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；
再把各点的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变；再把图像向上平移3个单位即可.
题型归类练
1．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数的解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有解，求实数m的取值范围？
(3)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在区间上恰有10条对称轴，求的取值范围？
【答案】(1)表和图像见解析，(2)(3)
(1)解：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
画出函数图像如图：
由表得：，则，
，
则，
将点代入得，
所以，
所以；
(2)解：当时，，
则，
所以，
因为关于x的方程在区间上有解，
所以；
(3)解：将函数的图像向右平移个单位，
得到函数，
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，
得到函数，
则，
由，得，
因为函数在区间上恰有10条对称轴，
所以，
解得.
2．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处，并画出函数图像
(2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式．
(3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．
【答案】(1)答案见解析(2)；
(3)，在共有个不同的零点
(1)根据表中的数据可得 ，解得，
故，所以，
又，故.
所以完善表如下：

0 π 2π
0 1 0 -1 0
0 0 0
.
函数图像如图：
(2)由（1）知：，将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为：，
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，
故.
(3)，的周期为，
当时，令，考虑方程的根情况，
因为，故在必有两个不同的实数根，
因为在有奇数个零点，故或.
若，则方程、在共有4个不同的实数根，
在有0个实数根或2个实数根，
故在有个根或个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去.
若，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根，
故在有个根或，
与有奇数个零点矛盾，舍去.
同理也不成立，所以或，
若，则，此时的根为，
方程、在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解，
所以在有个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去；
若，则，方程的根，
方程、在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根，
所以故在有个根，符合题意.
综上，，在共有个不同的零点.
3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）已知函数.
(1)其振幅为______，最小正周期为______，初相为_____；
(2)列表并作出函数f(x)在长度为一个周期闭区间上的简图；
(3)说明这个函数图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换得到.
【答案】(1)振幅为2；最小正周期为；初相为(2)见解析；
(3)先向左平移个单位；再把每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变得到.
(1)由可知，振幅为2；最小正周期为；初相为；
(2)列表如下：
0 2 0 0
图像如下：
(3)可以由y＝sinx的图像向左平移个单位；再把每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变得到.
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
例题1．（2022·四川遂宁·模拟预测（理））已知函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线x＝对称
D．的图象关于点中心对称
【答案】C
由函数图象知，，所以，
所以 ，
因为函数图象过点，所以，则，
解得，又，所以，
所以，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到，的最小正周期，故A错误；
当时，，此时 单调递减，故B错误；
令，则，当时，，故C正确；
因为，故D错误．
故选：C.
例题2．（多选）（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期中）函数，部分图象如图所示，下列说法不正确是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】BD
从图象可以看出，，，
因为，所以，
解得：，
将代入解析式，，
其中，解得： ，
所以，
当时，，
故不是的对称轴，A错误；
从图象可以看出的图象关于点对称，B正确；
的图象向左平移个单位后得到，故C错误；
，则，
值域为，
且在上单调递减，在上单调递增，
画出函数y=2sinx对应图象如下：
显然方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是，
D正确；
故选：B
角度1题型归类练
1．（2022·安徽淮南·二模（理））函数（其中）的图象如图所示，下列4个命题中错误的是（ ）
A．向左平移个单位长度后图象关于y轴对称
B．向右平移个单位长度后的图象关于坐标原点对称
C．是它的一个对称中心
D．单调递减区间是
【答案】D
根据图象可知，，
，
，
根据的图象可知，
所以，.
A选项，根据图象可知，关于直线对称，
所以向左平移个单位长度后图象关于y轴对称，A选项命题正确.
B选项，向右平移个单位长度后得，
图象关于原点对称，B选项命题正确.
C选项，，所以是的一个对称中心，C选项命题正确.
D选项，，
所以的减区间为，D选项命题错误.
故选：D
2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有______．（填序号）
①方程所有根的和为；
②不等式的解集为，
③函数与函数图象关于对称．
【答案】③
由图象可知：，，；
又，由五点法可知：，解得：；
，
对于①，
，由，得，因为，所以，所以或或或，所以在给定范围内方程根的和为，故①错误；
对于②，，所以，，解得，，故②错误；
对于③，因为，
所以与图象关于对称，故③正确．
故答案为：③
3．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的解的集合.
【答案】(1)(2)
(1)解：由函数图象，可得，，所以，
因为，可得，所以，
又因为图象过点，可得，即，
所以，解得，
又由，所以，所以函数的解折式为.
(2)解：将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，
由，可得，解得，
所以，
即不等式的解集为.
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
例题1．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)方程在上的根从小到大依次为，求的值.
【答案】(1)，单调递增区间为
(2)
(1)，；
令，解得：，
的单调递增区间为
(2)令，即；
，，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象可知：方程在有个解，
其中，；
即，，
，，.
例题2．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的方程在上有三个解，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为图象相邻两对称轴之间的距离是，所以函数的最小正周期，解得，
即，
因为为奇函数，
所以，，即，，
又因为，所以，，
(2)解：因为，，所以，所以，
当时，解得，时，解得，
即在上单调递增，在上单调递减，且，，，
函数，的图象如下所示：
因为关于的方程在上有三个解，
令，即，，
若为方程的根，此时，则，不符合题意；
依题意方程在有两不相等实数根、，不妨令，且，；
若为方程的根，此时，则，此时符合题意；
若时，令则，
即，解得，
综上可得；
例题3．（2022·河南焦作·高一期中）已知函数（，，）的部分图象大致如图．
(1)求的单调递增区间．
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)
(1)根据图象，可得，由，得．
所以，由，得，
所以．
令，，得，，
所以的单调递增区间为，．
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线：，再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象．
由在上有两个不同的实数解，即在上有两个不同的实数解，
因为，设，则，则需直线与的图象在两个不同的公共点．
画出在时的简图如下：
所以实数的取值范围为．
角度2题型归类练
1．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数.
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且）上恰好有10个零点，求的最小值；
【答案】(1)或(2)
(1)∵的最小正周期为，
又∵，，∴的最小正周期是，
故，解得，
当时，，
由，
的对称中心为；
当时，，
由，
的对称中心为；
综上所述，的对称中心为或.
(2)∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
∴.
又∵是的一个零点，
，即，
∴或，，
解得或，
由可得
∴，最小正周期.
令，则
即或，，解得或，；
若函数在（）上恰好有10个零点，故
要使最小，须m n恰好为的零点，故.
2．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有三个不相等的实数根，求m的取值范围及的值．
【答案】(1)(2)，
(1)由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
(2)由已知得，当时，，令，则，
令，则函数的图象如下图所示，且，，，
由图象得有三个不同的实数根，则，
所以，即，
所以，所以，
故．
3．（2022·上海市七宝中学高一期中）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作，令函数.
(1)求函数的函数解析式；
(2)求函数的最大值及相对应的的值；
(3)若函数在内恰有2021个零点，其中常数，，求常数与的值.
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).
(1)因为函数的最小正周期为，
所以有，即，
又因为直线是图象的一条对称轴，
所以有，
因为，所以令，则，即，
因为函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作，
所以；
(2)
，
当时，即时，，
此时，即或；
当时，即时，，
此时，即；
当时，即时，，
此时，即，
综上所述：当时，，此时
或；
当时，，此时；
当时，，此时；
(3)，
设，则，
该方程的判别式，
所以该方程有实根，设为，，显然两根为异号，
若时，则方程在内都有偶数个根，
所以方程有偶数个根，不符合题意；
若，则，此时，
当时，只有一个根，有两个根，
所以有三个根，由于，
所以在内有个根，
由于方程在内只有一个根，没有实根，
所以方程在时有个实根，不符合题意；
若，则，此时，
当时，只有一个根，有两个根，
所以有三个根，由于，
所以在内有个根，
由于方程在内没有实根根，有两个实根，
所以方程在时有个实根，符合题意；
若两个根有一个绝对值大于1，则另一个根绝对值大于零且小于1，有偶数个根，不符合题意，
综上所述：.
角度3：三角函数模型
例题1．（2022·江西景德镇·高一期中）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？
【答案】(1)6℃(2)6时至22时
(1)解：由题意，函数，
根据正弦型函数的性质，可得，
所以，可得，
所以实验室这一天的最大温差为℃.
(2)解：由题意，令，即，即，
因为，可得，
所以，解得，
即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.
例题2．（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为．
(1)求，，，的值；
(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
【答案】(1)，，，；(2).
(1)由题易知，解得，．
由题知，得，
∴，
∴，，
∴．
∴，，，．
(2)由，得，
∴，，即，．
∴当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时,
即盛水简出水后至少经过就可以到达最高点.
角度3题型归类练
1．（2022·山东山东·高一期中）我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6m，中心O距水面3m，一水斗从水面处的点处出发，逆时针匀速旋转，80s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h．
(1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？
【答案】(1)；(2)秒；秒.
(1)依题意，当时，以x轴非负半轴为始边，为终边的角是，
因80s转动一周，则水斗转动的角速度为，
因此，水斗转动ts到点P时的角为，以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角是，
于是得点P的纵坐标为，则，
所以所求函数关系为：.
(2)由（1）令，即，当再次到达水面时，，，
解得：，则有，即此水斗经过秒后再次到达水面，
在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是秒.
2．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)当时，求1号座舱与地面的距离；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．
【答案】(1)(2)或(3)
(1)解：设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，
则，，
所以
依题意，所以，
当时，所以，故，
所以，
即当时，求1号座舱与地面的距离为；
(2)解：令，即，
所以，
又，所以，
所以或，解得或，
即或时1号座舱与地面的距离为17米；
(3)解：依题意，，
所以
令，解，
所以当时取得最大值，
依题意可得
3．（2022·江西景德镇·高一期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
【答案】(1)；
(2)请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的.
(1)画出散点图，连线如下图所示：
设，根据最大值13，最小值9，可列方程为：，
再由，得，
；
(2)．
∵，
∴，
∴，或
解得，或，
所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．
1．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
2．（2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
3．（2019·天津·高考真题（文））已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则
A． B． C． D．
【答案】C
因为为奇函数，∴；
又
，，又
∴，
故选C．
一、单选题
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是.
故选：A
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】C
把函数的图象向右平移个单位得到
把函数的图象向左平移个单位得到
把函数的图象向右平移个单位得到，
把函数的图象向左平移个单位得到，
故C正确；
故选：C
3．（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知函数，恒成立，且的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为，所以．
因为，所以，
所以，又，所以，
所以．
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，即．
故选：A.
4．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））将偶函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
.
因为函数是偶函数，所以，
因为，所以，所以，
因为函数的图象向右平移个单位，得到的图象，
所以，
当时，函数单调递减，
即当时，函数单调递减，
当时，函数在时单调递减.
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测（文））若将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，然后将所得图象沿x轴向左移个单位长度，最后将所得图象沿y轴向上平移2个单位长度得到函数的图象，则下列说法中错误的个数是（ ）
①函数的最小正周期是；
②函数的最大值是2；
③函数图象的一个对称中心是点；
④函数在区间上单调递增．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
据题意，得．，①错误；
的最大值是3，②错误；
，故函数图象一个对称中心的点，③正确；
令，解得：，
当时，，当时，，故函数在区间上不单调，④错误.
综上，错误说法的个数是3，
故选：A．
6．（2022·上海市七宝中学高一期中）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：，，，，则“同形”函数是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
，，
因为正弦型函数的图象经过若干次平移后，振幅不改变，
所以只有与的振幅相同，故只有这两个函数是“同形”函数，
故选：C
7．（2022·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解法一：
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．故选:A．
解法二
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称．
因为，所以，
即，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．
故选：A．
8．（2022·广西贵港·模拟预测（文））已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．在上单调递减
B．该函数的初相是
C．该图象可由的图象向左平移个单位得到
D．的图象关于直线对称
【答案】A
由图象可知， 所以， 解得，又图象过点，所以，因为，所以，故
对A，当时，，所以单调递增，A错误；
对B，由解析式知函数的初相是，故B正确；
对C，的图象向左平移个单位得到，故C正确；
对D，当时，为最小值，知的图象关于直线对称，故D正确.
故选：A
二、填空题
9．（2022·陕西西安·三模（理））若函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的一个可能的值为___________；
【答案】（答案不唯一）
解：将函数的图像向右平移个单位长度后，
得到函数的图像，
即与函数的图像重合，
即，，
所以，，
故答案为：（答案不唯一）．
10．（2022·河南·高三阶段练习（文））将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在时恒成立，则实数m的最大值是___．
【答案】1
解：因为，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，
．
∵，∴．
∴，即．
∴．故实数m的最大值是1，
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习（理））定义运算“★”：．设函数，给出下列四个结论：①是的最小正周期；②在有2个零点；③在上是单调递增函数；④的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②
，故是的最小正周期，①正确；
，，故在或时，即或时，故在有2个零点，②正确；
，，此时在上单调递增，在上单调递减，故③错误；
的图象向右平移个单位长度得到，故④错误.
故选：①②
12．（2022·江西·二模（理））把的图象向右平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数的图象，若对成立．
①的一个单调递减区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．
其中，判断正确的序号是_________．
【答案】①③④
根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为：，
，解得，，
，
当时，在上单调递减，①正确；
的图象向右平移个单位得到的函数是是一个偶函数，
则，②错误；
令，所以的对称中心为，
故③正确；
，，所以，
令，则关于x的方程在区间上有两个不相等的实根等价于在上有两个不相等的实根，
设，则函数与轴有两个交点，函数对称轴为，实数满足 ，解得：，所以④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题
13．（2022·江西赣州·高一期中）已知函数．
(1)当时，函数的图象关于直线对称，求的值；
(2)在第一问的条件下，将的图像向右平移个单位得到函数，求在上的单调递增区间．
【答案】(1)(2)和
(1)解：因为，
所以
，
由的图象关于直线对称，
所以，解得，
又因为，所以当时，.
(2)解：由（1）可得，则将的图像向右平移个单位得到，
即，因为，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上的单调递增区间为和.
14．（2022·甘肃酒泉·高一期末）函数的部分图象如图所示.
(1)求A，，的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值.
【答案】(1)，，(2)或
(1)解：由图可知，，，所以，即，所以.
将点代入得，，
又，所以；
(2)解：由（1）知，
由题意有，
所以，即，
因为，所以，
所以或，即或，
所以的值为或.
15．（2022·安徽池州·高一期末）已知函数.
(1)在下列坐标系中，作出函数在上的大致图象；
(2)将函数图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域.
【答案】(1)作图见解析；(2).
(1)解：依题意，，
列表如下：
作出函数在上的大致图象如下所示：
(2)解：将函数图象的横坐标伸长为原来的3倍后，得到，
再向左平移个单位，得到
，
当时，，
而，
，
则，
故函数在上的值域为.
16．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（文））已知函数部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式．
(2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个长度单位，得到函数的图象关于y轴对称，求的最小值．
(3)设函数在区间上有两个不同的零点，求．
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：根据函数图象可得：，，可得，∴．
又图象过点，∴，解得，．
由，∴，∴．
(2)解：的图象关于y轴对称，
∴，∴，∴
∵，
∴时最小值为．
(3)解：因为函数在区间上有两个不同的零点，
所以在区间上有两个不同的根，即在区间上有两个不同的根
∵，∴，
∴，即，单调递增，
，即，单调递减，
因为，
所以，当时，在区间上有两个不同的根，且
所以，第06讲 函数的图象及其应用
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的图象变换
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
高频考点三：五点法作图
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
角度3：三角函数模型
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第06讲 函数的图象及其应用（精练）
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:
2、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移
1．（2022·全国·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后得到的函数图像关于原点对称，则函数图像的一条对称轴的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京通州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数在上的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·北京师大附中高一期中）要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．
高频考点一：函数的图象变换
例题1．（2022·河南·模拟预测（文））由函数的图象经过图象变换得到函数的图象，则这个变换过程为（ ）
A．向左平移个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）
B．向左平移个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）
C．把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），向左平移个单位长度
D．把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），向左平移个单位长度
例题2．（2022·河南许昌·三模（文））要得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
例题3．（2022·陕西·二模（理））要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
例题4．（2022·江西上饶·二模（理））为得到函数的图象，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
题型归类练
1．（2022·安徽·高一期中）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．（2022·北京八中高一期中）要得到的图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．（2022·湖北·高一期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
4．（2022·全国·高三专题练习）要得到的图象，需将的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
例题1．（2022·河南洛阳·一模（理））已知函数在上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数的部分图象大致如图所示．将函数的图象向左平移个单位后，所得函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数的部分图象如图所示，若，且，则________．
题型归类练
1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数（其中，，的部分图象如图所示；将函数图象的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数在（ ）上单调递减．
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间的最小值为
D．为偶函数
3．（2022·天津·二模）如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心
C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数的图象向左平移个单位可得到一个偶函数
5．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（文））已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.
高频考点三：五点法作图
例题1．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x 5
0 2 0 0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将的图象向右平行移动个单位，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值.
例题2．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知函数，．
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)说明此函数图象可由的图象经怎样的变换得到.
题型归类练
1．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数的解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有解，求实数m的取值范围？
(3)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在区间上恰有10条对称轴，求的取值范围？
2．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处，并画出函数图像
(2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式．
(3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．
3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）已知函数.
(1)其振幅为______，最小正周期为______，初相为_____；
(2)列表并作出函数f(x)在长度为一个周期闭区间上的简图；
(3)说明这个函数图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换得到.
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
例题1．（2022·四川遂宁·模拟预测（理））已知函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线x＝对称
D．的图象关于点中心对称
例题2．（多选）（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期中）函数，部分图象如图所示，下列说法不正确是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
角度1题型归类练
1．（2022·安徽淮南·二模（理））函数（其中）的图象如图所示，下列4个命题中错误的是（ ）
A．向左平移个单位长度后图象关于y轴对称
B．向右平移个单位长度后的图象关于坐标原点对称
C．是它的一个对称中心
D．单调递减区间是
2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有______．（填序号）
①方程所有根的和为；
②不等式的解集为，
③函数与函数图象关于对称．
3．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的解的集合.
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
例题1．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)方程在上的根从小到大依次为，求的值.
例题2．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的方程在上有三个解，求a的取值范围．
例题3．（2022·河南焦作·高一期中）已知函数（，，）的部分图象大致如图．
(1)求的单调递增区间．
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
角度2题型归类练
1．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数.
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且）上恰好有10个零点，求的最小值；
2．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有三个不相等的实数根，求m的取值范围及的值．
3．（2022·上海市七宝中学高一期中）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作，令函数.
(1)求函数的函数解析式；
(2)求函数的最大值及相对应的的值；
(3)若函数在内恰有2021个零点，其中常数，，求常数与的值.
角度3：三角函数模型
例题1．（2022·江西景德镇·高一期中）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？
例题2．（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为．
(1)求，，，的值；
(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
角度3题型归类练
1．（2022·山东山东·高一期中）我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6m，中心O距水面3m，一水斗从水面处的点处出发，逆时针匀速旋转，80s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h．
(1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？
2．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)当时，求1号座舱与地面的距离；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．
3．（2022·江西景德镇·高一期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
1．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2019·天津·高考真题（文））已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则
一、单选题
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
3．（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知函数，恒成立，且的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））将偶函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·模拟预测（文））若将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，然后将所得图象沿x轴向左移个单位长度，最后将所得图象沿y轴向上平移2个单位长度得到函数的图象，则下列说法中错误的个数是（ ）
①函数的最小正周期是；
②函数的最大值是2；
③函数图象的一个对称中心是点；
④函数在区间上单调递增．
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2022·上海市七宝中学高一期中）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：，，，，则“同形”函数是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
7．（2022·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·广西贵港·模拟预测（文））已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．在上单调递减
B．该函数的初相是
C．该图象可由的图象向左平移个单位得到
D．的图象关于直线对称
二、填空题
9．（2022·陕西西安·三模（理））若函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的一个可能的值为___________；
10．（2022·河南·高三阶段练习（文））将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在时恒成立，则实数m的最大值是___．
11．（2022·全国·高三专题练习（理））定义运算“★”：．设函数，给出下列四个结论：①是的最小正周期；②在有2个零点；③在上是单调递增函数；④的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是__________．
12．（2022·江西·二模（理））把的图象向右平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数的图象，若对成立．
①的一个单调递减区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．
其中，判断正确的序号是_________．
三、解答题
13．（2022·江西赣州·高一期中）已知函数．
(1)当时，函数的图象关于直线对称，求的值；
(2)在第一问的条件下，将的图像向右平移个单位得到函数，求在上的单调递增区间．
14．（2022·甘肃酒泉·高一期末）函数的部分图象如图所示.
(1)求A，，的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值.
15．（2022·安徽池州·高一期末）已知函数.
(1)在下列坐标系中，作出函数在上的大致图象；
(2)将函数图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域.
16．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（文））已知函数部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式．
(2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个长度单位，得到函数的图象关于y轴对称，求的最小值．
(3)设函数在区间上有两个不同的零点，求．

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