第十章第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (精讲)(解析版)

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第十章第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (精讲)(解析版)

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第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (精讲)
目录
第一部分:知识点精准记忆
第二部分:课前自我评估测试
第三部分:典型例题剖析
题型一:分类加法计数原理的应用
题型二:分步乘法计数原理
题型三:两个计数原理的综合应用
角度1:与数字有关的问题
角度2:与几何有关的问题
角度3:涂色问题
第四部分:高考真题感悟
知识点一:分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
知识点二:分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
知识点三:分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广
(1)完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,
……,在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
(2)完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
1.(2022·全国·高二课时练习)已知集合,,若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标,则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是( )
A.18 B.16 C.14 D.10
【答案】C
【详解】分两类情况讨论:
第一类,从中取的元素作为横坐标,从中取的元素作为纵坐标,则第一、二象限内的点共有(个);
第二类,从中取的元素作为纵坐标,从中取的元素作为横坐标,则第一、二象限内的点共有(个),
由分类加法计数原理,所以所求个数为.
故选:C
2.(2022·全国·高二课时练习)某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤,现要配成一荤一素一汤的套餐,则可以配成不同套餐的种数为( )
A.30 B.14 C.33 D.90
【答案】D
【详解】因为备有6种素菜,5种荤菜,3种汤,
所以素菜有6种选法,荤菜有5种选法,汤菜有3种选法,
所以要配成一荤一素一汤的套餐,则可以配制出不同的套餐有种
故选:D
3.(2022·全国·高二课时练习)核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体.参与形成RNA的碱基有4种,分别用A,C,G,U表示.在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,假设某一RNA分子由100个碱基组成,则不同的RNA分子的种数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】每个碱基有4种可能,根据分步乘法计数原理,可得不同的RNA分子的种数为.故A,C,D错误.
故选:B.
4.(2022·全国·高二课时练习)某省新高考采用“”模式:“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史科目中选择1个科目;“2”为再选科目,考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学,那么他可选择的方案共有( )
A.4种 B.6种 C.8种 D.12种
【答案】B
【详解】根据题意,分2步进行分析:
①小明必选化学,则须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目,选法有3种;
②小明在物理、历史科目中选出1个,选法有2种.
由分步乘法计数原理知,小明可选择的方案共有(种).
故选:B
5.(2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习)从甲地去乙地有3班火车,从乙地去丙地有2班轮船,则从甲地去丙地可选择的旅行方式有______种
【答案】6
【详解】由分步计数的乘法原理,从甲地去丙地可选择的旅行方式有种.
故答案为:6
题型一:分类加法计数原理的应用
典型例题
例题1.(2022·广东珠海·高二期末)书架上有1本语文书,3本不同的数学书,4本不同的物理书,某位同学从中任取1本,共有( )种取法.
A.8 B.7 C.12 D.5
【答案】A
【详解】任取1本可分三类:第一类取的是语文书,第二类取的是数学书,第三类取的是物理书,
由此可得取法为.
故选:A.
例题2.(2022·陕西西安·高二期末(理))某班有男生13人,女生17人,从中选一名学生为数学课代表,则不同的选法共有( )
A.30种 B.17种 C.221种 D.13种
【答案】A
【详解】解:从该班男中选一名同学为数学课代表有13种方法,从该班女中选一名同学为数学课代表有17种方法,不同的选法的种数有种.
故选:A.
例题3.(2022·全国·高二课时练习)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(允许数字重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A.10 B.11 C.12 D.7
【答案】B
【详解】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:
①与信息0110只有两个对应位置上的数字相同,有(个);
②与信息0110只有一个对应位置上的数字相同,有(个);
③与信息0110对应位置上的数字均不相同,有1个.
综上,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有(个).
故选:B
同类题型归类练
1.(2022·湖南·长沙县实验中学高二期末)从数字1,2,3,4中取出3个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和等于6,则这样的三位数的个数为( )
A.7 B.9 C.10 D.13
【答案】C
【详解】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形:
①由1,1,4三个数字组成的三位数:114,141,411共3个;
②由1,2,3三个数字组成的三位数:123,132,213,231,312,321共6个;
③由2,2,2三个数字可以组成1个三位数,即222.
共有个,
故选:C.
2.(2022·北京东城·高二期末)算盘是中国古代的一项重要发明,迄今已有2600多年的历史.现有一算盘,取其两档(如图一),自右向左分别表示十进制数的个位和十位,中间一道横梁把算珠分为上下两部分,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨一珠记作数字1(如图二算盘表示整数51).若拨动图1的两枚算珠,则可以表示不同整数的个数为( )
A.6 B.8 C.10 D.15
【答案】B
【详解】拨动两枚算珠可分为以下三类
(1)在个位上拨动两枚,可表示2个不同整数.
(2)同理在十位上拨动两枚,可表示2个不同整数.
(3)在个位、十位上分别拨动一枚,由分步乘法计数原理易得,可表示个不同整数.
所以,根据分类加法计数原理,一共可表示个不同整数.
故选:B.
3.(2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习(理))有不同的红球8个,不同的白球7个,不同的黄球6个,现从中任取不同的颜色的球两个,不同的取法有__________.
【答案】146
【详解】当取出不同的球为红球和白球时,一共有种;
当取出不同的球为红球和黄球时,一共有种;
当取出不同的球为白球和黄球时,一共有种;
综上:一共有56+48+42=146种.
故答案为:146
4.(2022·全国·模拟预测)某大学开设选修课,要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中选择3个科目进行研修.已知某班级a名学生对科目的选择如表所示,则的一组值可以是______.
科目 国际金融 统计学 市场管理 历史 市场营销 会计学
人数 24 28 14 15 19 b
【答案】(答案不唯一,为正整数且满足即可)
【详解】依题意,,
即,是满足该式的正整数即可.
故答案为:(答案不唯一,为正整数且满足即可)
题型二:分步乘法计数原理
典型例题
例题1.(2022·安徽·歙县教研室高二期末)现有3位游客来黄山旅游,分别从4个景点中任选一处游览,不同选法的种数是( )
A. B. C.24 D.12
【答案】B
【详解】解:每位游客有4种选择,由分步乘法计数原理知不同选法的种数是.
故选:B
例题2.(2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受各国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上,要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列,则不同的排列方法有多少种?( )
A.24 B.12 C.6 D.2
【答案】B
【详解】解:先对2个雪容融排列,将3个冰墩墩插空放在3个空位上排列,
由分步乘法计数原理,排列方法有.
故选:B
例题3.(2022·广西百色·高二期末(理))某学校推出了《植物栽培》,《手工编织》,《实用木工》,《实用电工》4门校本劳动选修课程,要求每个学生从中任选2门进行学习,则甲 乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为( )
A.16 B.24 C.12 D.36
【答案】B
【详解】甲先从4门课程选择1门,有4种选法,乙再从剩下的3门中选择1门,有3种选法,甲乙再从剩下的2门中共同选择1门,有2种选法,所以根据分步乘法计数原理可得甲 乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为种.
故选:B.
同类题型归类练
1.(2022·北京师大附中高二期中)2022年4月4日至2022年7月3日期间,北京本地燃油机动车尾号限行规定为
周一 周二 周三 周四 周五
3和8 4和9 5和0 1和6 2和7
已知甲、乙、丙各拥有一辆本地燃油机动车,车牌尾号分别为1,2,7三人住在同一小区且工作地点相近,故商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车只用一天,按此限行规定,周一到周五不同的用车方案种数为( )
A.12 B.16 C.24 D.36
【答案】B
【详解】解:由题意知:甲的车只用一天且乙、丙车尾号为2,7,
故甲的车安排在周五,
又因为其它四天乙、丙车不受限制,
故每天都有两种选法,
故有:种不同的方案.
故选:B.
2.(2022·河北石家庄·高二期末)7月3日,甲、乙两人从邢台各自乘坐火车到石家庄,当天从刑台到石家庄有11个车次,其中有5个车次的发车时间为凌晨1点到凌晨5点,有6个车次的发车时间为早上7点到晚上6点.已知甲选择凌晨6点以后出发的车次,乙选择凌晨1点到晚上6点出发的车次,则两人车次的不同选择共有( )
A.11种 B.36种 C.66种 D.121种
【答案】C
【详解】解:依题意可得甲有6种选择,乙有11种选择,
由分步乘法计数原理可得两人车次的不同选择共有种.
故选:C
3.(2022·全国·高二课时练习)7个不同型号的行李箱上分别对应贴有不同的标签以作标记,其中恰有3个行李箱标签贴错的种数为( )
A.49 B.70 C.265 D.1854
【答案】B
【详解】第一步,从7个行李箱中挑选3个,有种方法;
第二步,3个行李箱标签贴错的方法有2种,
所以恰有3个行李箱标签贴错的种数为.
故选:B
4.(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有( )种
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有3种选取方法,由乘法原理共有种.故A,B,D错误.
故选:C.
5.(2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末(理))将6封信投入4个邮筒,且6封信全部投完,不同的投法有( )
A.种 B.种 C.4种 D.24科
【答案】A
【详解】将6封信投入4个邮筒,且6封信全部投完,根据乘法原理共有种
故选:A
题型三:两个计数原理的综合应用
角度1:与数字有关的问题
典型例题
例题1.(2022·辽宁·二模)重庆九宫格火锅,是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的,实现了“底同火不同,汤通油不通”它把火锅分为三个层次,不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度,其锅具抽象成数学形状如图(同一类格子形状相同):
“中间格“火力旺盛,不宜久煮,适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物;
“十字格”火力稍弱,但火力均匀,适合煮食,长时间加热以锁住食材原香;
“四角格”属文火,火力温和,适合焖菜,让食物软糯入味.现有6种不同食物(足够量),其中1种适合放入中间格,3种适合放入十字格,2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物,且每格只放一种,若同时可以吃到这六种食物(不考虑位置),则有多少种不同放法( )
A.108 B.36 C.9 D.6
【答案】C
【详解】由题可知中间格只有一种放法;
十字格有四个位置,3种适合放入,所以有一种放两个位置,共有3种放法;
四角格有四个位置,2种适合放入,可分为一种放三个位置,另一种放一个位置,有两种放法,或每种都放两个位置,有一种放法,故四角格共有3种放法;
所以不同放法共有种.
故选:C.
例题2.(2022·全国·高三专题练习)在某运动会的百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙3人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.
【答案】2880
【详解】分两步安排这8名运动员.
第1步:安排甲、乙、丙3人,共有1,3,5,7四条跑道可安排,安排方式有4×3×2=24(种).
第2步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,安排方式有5×4×3×2×1=120(种).
所以安排这8人的方式有24×120=2 880(种).
故答案为:2880
例题3.(2022·山东聊城·高二期末)数字2022具有这样的性质:它是6的倍数并且各位数字之和为6,称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中,“吉祥数”的个数为___________.
【答案】12
【详解】当百位为6,符合要求的“吉祥数”有600;
当百位为5,符合要求的“吉祥数”有510;
当百位为4,符合要求的“吉祥数”有420、402;
当百位为3,符合要求的“吉祥数”有330、312;
当百位为2,符合要求的“吉祥数”有240、204、222;
当百位为1,符合要求的“吉祥数”有150、114、132;
综上,共有12个“吉祥数”.
故答案为:12
例题4.(2022·湖南·高二期中)从0,1,2,3,4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数.
(1)一共可以组成多少个?
(2)其中偶数有多少个?
【答案】(1)
(2)
(1)解:从0,1,2,3,4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数,
则千位数字除0外有4种选法,百位、十位、个位数字共有种选法.
所以组成的四位数共有(个);
(2)解:从0,1,2,3,4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中的偶数分两类.
一类:个位为0:有;
二类:个位为2或4:有,
所以组成的四位数中是偶数的共有(个).
同类题型归类练
1.(2022·全国·高二课时练习)将摆放在编号为五个位置上的件不同商品重新摆放,则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________.(用数字作答)
【答案】45
【详解】根据题意,分步进行分析:
(1)将件不同商品中选出件,放回原来的位置,有种情况,假设编号为的位置不变,
(2)剩下四件都不在原来位置,即编号为的四件商品都不在原来位置,
编号为的商品有种放法,假设其放在了号商品原来的位置,则号商品有种放法,
剩下编号为3,4的两件商品只有种放法,
则其余四件商品的放法有种,
故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有种,
故答案为:45.
2.(2022·重庆·高二阶段练习)从1,3,5,7中任取两个数,从0,2,4,6中任取两个数,组成没有重复数字的四位数.
(1)可以组成多少个四位偶数?
(2)可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数?(所有结果均用数值表示)
【答案】(1)396
(2)360
(1)当0在末位时,共有个四位偶数,
当末位为2,4,6,且0不在首位时,共有个四位偶数,
则可以组成个四位偶数.
(2)当0在首位时,有种,
则两个奇数数字相邻的四位数共有个.
3.(2022·山东烟台·高二期中)(1)将标有1,2,3,4,5号的小球依次放入标号为1,2,3,4,5的五个方格,每个方格一个小球,若3号小球不放在3号方格,则共有多少种不同的放法?
(2)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比34000大的正整数?
【答案】(1)个;(2)个.
(2)根据分类加法计数原理,按最高两位34和35以及最高位4和5去排数即可.
【详解】(1)由题知,3号球不放在3号方格,则有种放法,
将其余的球放入方格中,则有种放法,
所以,一共有种放法.
(2)由题知,34和35在万位和千位的五位数有个;
4和5在万位的五位数有个.
所以,一共有个比34000大的的正整数.
角度2:与几何有关的问题
典型例题
例题1.(2022·湖北咸宁·高二期末)方形是中国古代城市建筑最基本的形态,它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则,中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图,用大小相同的竹棍构造一个大正方体(由个大小相同的小正方体构成),若一只蚂蚁从点出发,沿着竹棍到达点,则蚂蚁选择的不同的最短路径共有( )
A.种 B.种
C.种 D.种
【答案】D
【详解】由题意可知,从到最少需要步完成,其中有步是横向的,步是纵向的,步是竖向的,
则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种.
故选:D.
例题2.(多选)(2022·全国·高二期末)在某城市中,,两地之间有如图所示的道路网.甲随机沿路网选择一条最短路径,从地出发去往地.下列结论正确的有( )
A.不同的路径共有31条
B.不同的路径共有61条
C.若甲途经地,则不同的路径共有18条
D.若甲途经地,且不经过地,则不同的路径共有9条
【答案】ACD
【详解】由图可知,从A地出发去往B地的最短路径共包含7步,其中3步向上,4步向右,且前3步中,至少有1步向上,则不同的路径共有条.
若甲途经C地,则不同的路径共有条.若甲途经C地,且不经过D地,则不同的路径共有条.
故选:ACD.
同类题型归类练
1.(2022·山东潍坊·高二阶段练习)如图所示,若从正六边形的六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形,则直角三角形的个数为( )
A.6个 B.8个 C.12个 D.16个
【答案】C
【详解】由正六边形的性质可得,
当以为斜边时,可构成直角三角形,,,四种;
同理可得当以,为斜边时,分为也为四种,
即直角三角形的个数为12,
故选:C.
2.(2022·浙江省杭州第二中学高二期中)将一些小于10的正整数填入如下的方格中,使得每行和每列中的数的乘积都等于10,共有__________种不同的填法.
【答案】
【详解】问题等价于填入数字1,1,2,5,满足每行每列都有一个2和一个5,先填入2,共有种填法,对于其中任一给定的2的填法,5仅有种填法,故共有种填法.
故答案为:
3.(2022·江苏南通·高二期中)将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架(如图),小红欲从A处行走至B处,则小红行走路程最近的路线共有_________.(结果用数字作答)
【答案】210
【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有,
故答案为:210
角度3:涂色问题
典型例题
例题1.(2022·全国·高二单元测试)用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂2个圆,且相邻2个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂法种数为( )
A.24 B.30 C.36 D.42
【答案】B
【详解】分2类(先涂前3个圆,再涂后3个圆.):第1类,前3个圆用3种颜色,后3个圆也用3种颜色,有种涂法;第2类,前3个圆用2种颜色,后3个圆也用2种颜色,有种涂法.综上,不同的涂法和数为.
故选:B.
例题2.(2022·全国·高三专题练习(文))汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中,由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有( )
A. B.1020 C.1180 D.1560
【答案】D
【详解】第一步中间小正方形涂色,有6种方法,剩下5种颜色涂在四个直角三角形中,就按图中所示1234的顺序,1有5种方法,2有4种方法,3有4种方法,但要分类:与1相同和与1不相同,然后确定4的方法数,
所以所求方法数为.
故选:D.
例题3.(2022·全国·高三专题练习)如图,有、、、四块区域需要植入花卉,现有种不同花卉可供选择,要求相邻区域植入不同花卉,不同的植入方法有(  )
A.种 B.种 C.种 D.种
【答案】D
【详解】区域有种选择,区域有种选择,区域有种选择,区域有种选择,
由分步乘法计数原理可知,不同的檀入方法共有种.
故选:D.
例题4.(2022·江苏江苏·高二阶段练习)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图涂色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有5种颜色可供选择,则不同的涂色方法的有( )种
A.540 B.360 C.300 D.420
【答案】D
【详解】分两种情况讨论即可:
(i)②和④涂同种颜色时,
从①开始涂,①有5种涂法,②有4种涂法,④有1种涂法,③有3种涂法,⑤有3种涂法,∴此时有5×4×1×3×3=180种涂法;
(ii)②和④涂不同种颜色时,
从①开始涂,①有5种涂法,②有4种涂法,④有3种涂法,③有2种涂法,⑤有2种涂法,∴此时有5×4×3×2×2=240种涂法;
∴总共有180+240=420种涂色方法.
故选:D﹒
同类题型归类练
1.(2022·全国·高二期末)现有红、黄、蓝三种颜色,对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同区域),要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同,则不同的涂色方法有( )
A.48种 B.64种 C.96种 D.144种
【答案】C
【详解】根据题意,假设正五角星的区域为,,,,,,如图所示,
先对区域涂色,有3种方法,再对,,,,这5个区域进行涂色,
因为,,,,这5个区域都与相邻,所以每个区域都有2种涂色方法,
所以共有种涂色方法.
故选:C.
2.(2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末)学习涂色能锻炼手眼协调能力,更能提高审美能力.现有四种不同的颜色:湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿,欲给小房子中的四个区域涂色,要求相邻区域不涂同一颜色,且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内,则共有______种不同的涂色方法.
【答案】66
【详解】当选择两种颜色时,因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内,所以共有种选法,因此不同的涂色方法有种,
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中,则有种方法选法,
因此不同的涂色方法有种,
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中,则有种方法选法,
因此不同的涂色方法有种,
当选择四种颜色时,不同的涂色方法有种,
所以共有种不不同的涂色方法,
故答案为:66
3.(2022·河南·郑州四中高二阶段练习(理))现用5种颜色,给图中的5个区域涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方法共有_______种.
【答案】
【详解】按照的顺序进行涂色,
其中与的颜色可以相同也可以不相同,
所以不同的涂色方法共有种.
故答案为:
4.(2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)给图中A,B,C,D,E五个区域填充颜色,每个区域只填充一种颜色,且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择,则共有_________种不同的方案.
【答案】72
【详解】当B,E同色时,共有种不同的方案,
当B,E不同色时,共有种不同的方案,所以共有72种不同的方案.
故答案为:72.
1.(2020·全国·高考真题(文))如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤iA.5 B.8 C.10 D.15
【答案】C
【详解】根据题意可知,原位大三和弦满足:.
∴;;;;.
原位小三和弦满足:.
∴;;;;.
故个数之和为10.
故选:C.
2.(2020·全国·高考真题(理))4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组,选法有:
现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:
根据分步乘法原理,可得不同的安排方法种
故答案为:.第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (精讲)
目录
第一部分:知识点精准记忆
第二部分:课前自我评估测试
第三部分:典型例题剖析
题型一:分类加法计数原理的应用
题型二:分步乘法计数原理
题型三:两个计数原理的综合应用
角度1:与数字有关的问题
角度2:与几何有关的问题
角度3:涂色问题
第四部分:高考真题感悟
知识点一:分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
知识点二:分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
知识点三:分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广
(1)完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,
……,在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
(2)完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
1.(2022·全国·高二课时练习)已知集合,,若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标,则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是( )
A.18 B.16 C.14 D.10
2.(2022·全国·高二课时练习)某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤,现要配成一荤一素一汤的套餐,则可以配成不同套餐的种数为( )
A.30 B.14 C.33 D.90
3.(2022·全国·高二课时练习)核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体.参与形成RNA的碱基有4种,分别用A,C,G,U表示.在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,假设某一RNA分子由100个碱基组成,则不同的RNA分子的种数为( )
A. B. C. D.
4.(2022·全国·高二课时练习)某省新高考采用“”模式:“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史科目中选择1个科目;“2”为再选科目,考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学,那么他可选择的方案共有( )
A.4种 B.6种 C.8种 D.12种
5.(2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习)从甲地去乙地有3班火车,从乙地去丙地有2班轮船,则从甲地去丙地可选择的旅行方式有______种
题型一:分类加法计数原理的应用
典型例题
例题1.(2022·广东珠海·高二期末)书架上有1本语文书,3本不同的数学书,4本不同的物理书,某位同学从中任取1本,共有( )种取法.
A.8 B.7 C.12 D.5
例题2.(2022·陕西西安·高二期末(理))某班有男生13人,女生17人,从中选一名学生为数学课代表,则不同的选法共有( )
A.30种 B.17种 C.221种 D.13种
例题3.(2022·全国·高二课时练习)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(允许数字重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A.10 B.11 C.12 D.7
同类题型归类练
1.(2022·湖南·长沙县实验中学高二期末)从数字1,2,3,4中取出3个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和等于6,则这样的三位数的个数为( )
A.7 B.9 C.10 D.13
2.(2022·北京东城·高二期末)算盘是中国古代的一项重要发明,迄今已有2600多年的历史.现有一算盘,取其两档(如图一),自右向左分别表示十进制数的个位和十位,中间一道横梁把算珠分为上下两部分,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨一珠记作数字1(如图二算盘表示整数51).若拨动图1的两枚算珠,则可以表示不同整数的个数为( )
A.6 B.8 C.10 D.15
3.(2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习(理))有不同的红球8个,不同的白球7个,不同的黄球6个,现从中任取不同的颜色的球两个,不同的取法有__________.
4.(2022·全国·模拟预测)某大学开设选修课,要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中选择3个科目进行研修.已知某班级a名学生对科目的选择如表所示,则的一组值可以是______.
科目 国际金融 统计学 市场管理 历史 市场营销 会计学
人数 24 28 14 15 19 b
题型二:分步乘法计数原理
典型例题
例题1.(2022·安徽·歙县教研室高二期末)现有3位游客来黄山旅游,分别从4个景点中任选一处游览,不同选法的种数是( )
A. B. C.24 D.12
例题2.(2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受各国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上,要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列,则不同的排列方法有多少种?( )
A.24 B.12 C.6 D.2
例题3.(2022·广西百色·高二期末(理))某学校推出了《植物栽培》,《手工编织》,《实用木工》,《实用电工》4门校本劳动选修课程,要求每个学生从中任选2门进行学习,则甲 乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为( )
A.16 B.24 C.12 D.36
同类题型归类练
1.(2022·北京师大附中高二期中)2022年4月4日至2022年7月3日期间,北京本地燃油机动车尾号限行规定为
周一 周二 周三 周四 周五
3和8 4和9 5和0 1和6 2和7
已知甲、乙、丙各拥有一辆本地燃油机动车,车牌尾号分别为1,2,7三人住在同一小区且工作地点相近,故商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车只用一天,按此限行规定,周一到周五不同的用车方案种数为( )
A.12 B.16 C.24 D.36
2.(2022·河北石家庄·高二期末)7月3日,甲、乙两人从邢台各自乘坐火车到石家庄,当天从刑台到石家庄有11个车次,其中有5个车次的发车时间为凌晨1点到凌晨5点,有6个车次的发车时间为早上7点到晚上6点.已知甲选择凌晨6点以后出发的车次,乙选择凌晨1点到晚上6点出发的车次,则两人车次的不同选择共有( )
A.11种 B.36种 C.66种 D.121种
3.(2022·全国·高二课时练习)7个不同型号的行李箱上分别对应贴有不同的标签以作标记,其中恰有3个行李箱标签贴错的种数为( )
A.49 B.70 C.265 D.1854
4.(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有( )种
A. B. C. D.
5.(2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末(理))将6封信投入4个邮筒,且6封信全部投完,不同的投法有( )
A.种 B.种 C.4种 D.24科
题型三:两个计数原理的综合应用
角度1:与数字有关的问题
典型例题
例题1.(2022·辽宁·二模)重庆九宫格火锅,是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的,实现了“底同火不同,汤通油不通”它把火锅分为三个层次,不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度,其锅具抽象成数学形状如图(同一类格子形状相同):
“中间格“火力旺盛,不宜久煮,适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物;
“十字格”火力稍弱,但火力均匀,适合煮食,长时间加热以锁住食材原香;
“四角格”属文火,火力温和,适合焖菜,让食物软糯入味.现有6种不同食物(足够量),其中1种适合放入中间格,3种适合放入十字格,2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物,且每格只放一种,若同时可以吃到这六种食物(不考虑位置),则有多少种不同放法( )
A.108 B.36 C.9 D.6
例题2.(2022·全国·高三专题练习)在某运动会的百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙3人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.
例题3.(2022·山东聊城·高二期末)数字2022具有这样的性质:它是6的倍数并且各位数字之和为6,称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中,“吉祥数”的个数为___________.
例题4.(2022·湖南·高二期中)从0,1,2,3,4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数.
(1)一共可以组成多少个?
(2)其中偶数有多少个?
同类题型归类练
1.(2022·全国·高二课时练习)将摆放在编号为五个位置上的件不同商品重新摆放,则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________.(用数字作答)
2.(2022·重庆·高二阶段练习)从1,3,5,7中任取两个数,从0,2,4,6中任取两个数,组成没有重复数字的四位数.
(1)可以组成多少个四位偶数?
(2)可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数?(所有结果均用数值表示)
3.(2022·山东烟台·高二期中)(1)将标有1,2,3,4,5号的小球依次放入标号为1,2,3,4,5的五个方格,每个方格一个小球,若3号小球不放在3号方格,则共有多少种不同的放法?
(2)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比34000大的正整数?
角度2:与几何有关的问题
典型例题
例题1.(2022·湖北咸宁·高二期末)方形是中国古代城市建筑最基本的形态,它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则,中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图,用大小相同的竹棍构造一个大正方体(由个大小相同的小正方体构成),若一只蚂蚁从点出发,沿着竹棍到达点,则蚂蚁选择的不同的最短路径共有( )
A.种 B.种
C.种 D.种
例题2.(多选)(2022·全国·高二期末)在某城市中,,两地之间有如图所示的道路网.甲随机沿路网选择一条最短路径,从地出发去往地.下列结论正确的有( )
A.不同的路径共有31条
B.不同的路径共有61条
C.若甲途经地,则不同的路径共有18条
D.若甲途经地,且不经过地,则不同的路径共有9条
同类题型归类练
1.(2022·山东潍坊·高二阶段练习)如图所示,若从正六边形的六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形,则直角三角形的个数为( )
A.6个 B.8个 C.12个 D.16个
2.(2022·浙江省杭州第二中学高二期中)将一些小于10的正整数填入如下的方格中,使得每行和每列中的数的乘积都等于10,共有__________种不同的填法.
3.(2022·江苏南通·高二期中)将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架(如图),小红欲从A处行走至B处,则小红行走路程最近的路线共有_________.(结果用数字作答)
角度3:涂色问题
典型例题
例题1.(2022·全国·高二单元测试)用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂2个圆,且相邻2个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂法种数为( )
A.24 B.30 C.36 D.42
例题2.(2022·全国·高三专题练习(文))汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中,由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有( )
A. B.1020 C.1180 D.1560
例题3.(2022·全国·高三专题练习)如图,有、、、四块区域需要植入花卉,现有种不同花卉可供选择,要求相邻区域植入不同花卉,不同的植入方法有(  )
A.种 B.种 C.种 D.种
例题4.(2022·江苏江苏·高二阶段练习)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图涂色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有5种颜色可供选择,则不同的涂色方法的有( )种
A.540 B.360 C.300 D.420
同类题型归类练
1.(2022·全国·高二期末)现有红、黄、蓝三种颜色,对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同区域),要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同,则不同的涂色方法有( )
A.48种 B.64种 C.96种 D.144种
2.(2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末)学习涂色能锻炼手眼协调能力,更能提高审美能力.现有四种不同的颜色:湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿,欲给小房子中的四个区域涂色,要求相邻区域不涂同一颜色,且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内,则共有______种不同的涂色方法.
3.(2022·河南·郑州四中高二阶段练习(理))现用5种颜色,给图中的5个区域涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方法共有_______种.
4.(2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)给图中A,B,C,D,E五个区域填充颜色,每个区域只填充一种颜色,且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择,则共有_________种不同的方案.
1.(2020·全国·高考真题(文))如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤iA.5 B.8 C.10 D.15
2.(2020·全国·高考真题(理))4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.

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