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2023年陕西省商洛市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图，直线，相交于点，于点，，则的度数( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 在下列条件中，能够判定 为矩形的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，直线与交点的横坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为( )
A. B. C. D.
7. 如图，点是中优弧的中点，，为劣弧上一点，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
8. ______．
9. 比较大小： 填“”，“”或“”
10. 如图，校园里一片小小的树叶，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______．
11. 如图，菱形的边长为，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12. 本小题分
解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
13. 本小题分
计算：
；
．
14. 本小题分
已知点是平面直角坐标系中的点．
若点在第二象限的角平分线上，求的值；
若点在第三象限，且到两坐标轴的距离和为，请确定点的坐标．
15. 本小题分
如图，在平直角坐标系小，的三个顶点坐标分别为，，画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为、、，并写出点、的坐标．
16. 本小题分
一个不透明的袋子中有个红球，个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同．
当时，从袋中随机摸出个球，摸到红球和摸到白球的可能性______填“相同”或“不相同”
从袋中随机摸出个球，记录其颜色，然后施加．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于，求的值．
17. 本小题分
小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，已知小明的身高为米，求旗杆的高．
18. 本小题分
已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值等于求的值．
19. 本小题分
有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
求这条抛物线的解析式．
一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？
20. 本小题分
问题提出
如图，是等边的中线，点在的延长线上，且，则的度数为______．
问题探究
如图，在中，，过点作，且，过点作直线，分别交、于点、，求四边形的面积．
问题解决
如图，现有一块型板材，为钝角，工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求，工人师傅在这块板材上的作法如下：
以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接；
作的垂直平分线，与交于点；
以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，连接、，得．
请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义即可得到结论．
本题主要考查了相反数，熟记相反数的定义是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
利用补角、余角的定义计算即可．
本题考查的是补角、余角的定义，解题的关键是从图中找到互余的两个角、互补的两个角．
3.【答案】
【解析】解：，选项错误，不符合题意；
，选项错误，不符合题意；
，选项错误，不符合题意；
，选项正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，对选项逐个求解即可．
本题考查了合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，掌握相关运算法则是关键．
4.【答案】
【解析】解：、 中，，不能判定 是矩形，故选项A不符合题意；
B、 中，，
是菱形，故选项B不符合题意；
C、 中，，
是菱形，故选项C不符合题意；
D、 中，，
是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，设与相交于点，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．
此题考查了菱形的性质、勾股定理．注意菱形的对角线互相垂直平分．
6.【答案】
【解析】解：根据函数图可知，
直线与交点的横坐标为，
把代入，可得，
故关于、的二元一次方程组的解为，
故选：．
根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
7.【答案】
【解析】解：点是中优弧的中点，
，
，
，
，
，
故选：．
根据弧、弦、圆心角的关系得到，根据等边对等角求出，再根据圆内接四边形对角互补得到．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆内接四边形的性质．
8.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
利用平方运算比较与的大小，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：为的黄金分割点，，
，
故答案为：．
直接利用黄金分割的定义计算出的长即可．
此题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
11.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，
四边形是菱形，，
，，，，
，，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，，由三角形中位线定理得，，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
12.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
把不等式的解集表示在数轴上，
原不等式组的解集是．
【解析】求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，写出不等式组的解集即可．
此题主要考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
13.【答案】解：
；
．
【解析】先分解因式，再进行同分母分式的加减法则运算即可得出结果；
先通分，再根据分式的除法法则运算即可得出结果．
本题考查了分式的加减运算法则，分式混合运算法则，熟记对应法则是解题的关键．
14.【答案】解：点在第二象限的角平分线上，
，
；
点在第三象限，且到两坐标轴的距离和为，
，
，
，
，
．
【解析】根据第二象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，然后进行计算即可解答；
根据第三象限点的坐标特征为，然后列出方程进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
15.【答案】解：如图，即为所求，点，．

【解析】根据轴对称的性质即可画出，．
本题主要考查了作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16.【答案】相同
【解析】解：当时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，
故答案为：相同；
摸到绿球的频率稳定于，
，
．
因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同；
根据摸到绿球的频率稳定于，即可求出的值．
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：，
，
，
∽，
，即，
，
同理得∽，
，即，
，
米，
答：旗杆的高是米．
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．
先证明∽，列比例式可得的长，再证明∽，可得的长，最后由线段的差可得结论．
18.【答案】解：根据题意得：，，或，
当时，原式；当时，原式．
【解析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为，过点，
设抛物线的解析式为，
则，
解得，
即这条抛物线的解析式为；
当时，，
货船能顺利通过此桥洞．
【解析】根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过轴上的点，从而可以设出抛物线的顶点式，将点代入求出，进而求得抛物线的解析式；
把代入函数解析式即可得到结论．
本题主要考查二次函数的应用．
20.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，，
是等边的中线，
，
，
，
故答案为：；
如图，连接，
，，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形，
，，
，，
，，
，
，
；
符合要求，
理由如下：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，
，，
，
四边形为正方形，
是的垂直平分线，
是的垂直平分线，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
裁得的型部件符合要求．
根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；
连接，证明四边形为菱形，求出，解直角三角形求出、、，根据三角形的面积公式计算即可；
过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，进而求出，根据要求判断即可．
本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，得出为等边三角形是解题的关键．
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