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§2.4 单 摆
生活中的摆动
秋千的摆动
钟摆的摆动
游乐大摆锤的摆动
生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动。
将一小球用细绳悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。
(1)摆线
①长度不可改变
②质量不计
③长度远大于小球直径
1.定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。
2.特点：
(2)摆球：
看做质点（体积小，质量大）
一、单摆
阻力不计
3.单摆是实际摆一个理想化模型。
(2)单摆的摆长是悬点到球心的距离。
摆长 L＝摆线长度＋小球半径
(1)摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略不计;
一、单摆
想一想：下列装置能否看作单摆？
铁链
粗棍上
细绳挂在
细绳
橡皮筋
2
3
4
1
O
O’
长细线
5
钢球
?
思考与讨论：
1.单摆摆动时，摆球的运动是简谐运动吗？
2.用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？
一、单摆
方法二：如果回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，这种振动叫简谐振动。
方法一：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐振动（simple harmonic motion）;
mg
思考：单摆平衡位置在哪？哪个力提供回复力？
1.平衡位置：最低点O
2.回复力来源：
二、单摆的回复力
l
m
O
G
P
????
?
F1
F2
T
????
?
（1）径向： T – mgcosθ = m an
（2）切向： F2 = – mgsinθ
向心力
回复力
规定向右为正方向
?
x
l
m
O
G
P
????
?
F1
F2
T
????
?
回复力F2与小球的位移x=OP并不成正比也不反向；
但是当摆角θ很小时， OP圆弧可近似为直线，认为F2指向平衡位置O，与位移x=OP反向；
回复力F2与小球的位移x=OP并不成正比也不反向；
二、单摆的回复力
但是当摆角θ很小时， OP圆弧可近似为直线，认为F2指向平衡位置O，与位移x=OP反向；
（2）沿切线方向： F2 = – mgsinθ = m at
回复力
l
m
O
G
P
????
?
F1
F2
T
????
?
规定向右为正方向
如果角θ很小，用弧度表示的θ有：
sinθ ≈ θ
表示回复力与位移的方向相反；
mg/l 是一个常数，令其为 k；
结论：单摆在摆角很小的情况下是简谐运动。
做一做：
演示实验：
三、单摆的周期
摆长和质量相同，振幅不同
周期相同
摆长和振幅相同，质量不同
周期相同
周期不同
振幅和质量相同，摆长不同
实验现象：
实验表明：
单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大；单摆的周期与摆球质量和振幅无关。
演示实验：
三、单摆的周期
数据记录：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}全振动个数N
平均用时t
周期T
摆长L
摆长平方L2
摆长二次方根
30
41.41s
1.38s
51.002cm
30
37.53s
1.25s
40.802cm
30
33.30s
1.11s
31.102cm
30
27.61s
0.92s
21.002cm
30
19.81s
0.66s
10.902cm
数据处理：
T-L2图像
图像
1.惠更斯原理：单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。
2.周期公式：
惠更斯（荷兰）
3.单摆周期跟振幅、摆球的质量无关
三、单摆的周期
4.理解:
（1）单摆周期与摆长和重力加速度有关，与振幅和质量无关。
（2）摆长、重力加速度都一定时，周期和频率也一定，通常称为单摆的固有周期和固有频率。
（3）注意事项:
摆长L:悬点到球心的距离
适用条件:单摆做简谐运动θ<50
利用 单摆测重力加速度
三、单摆的周期
单摆模型拓展
1.等效单摆：
如图是一半径为R的光滑凹槽，现将一半径为r的小球从稍稍偏离最低点的位置释放，小球做往复运动的回复力与单摆振动的回复力均为重力沿圆弧切线方向的分力，其运动与摆长为(R－r)的单摆等效，故其周期????=?????????????????????。
?
2.等效摆长：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
做垂直纸面的小角度摆动：
l等效＝lsin α
垂直纸面摆动：
l等效＝lsin α＋l
纸面内摆动：
左侧：l等效＝l
右侧：
纸面内摆动：
l等效＝l
单摆模型拓展
情况一：摆球除受重力和拉力外还受其他力，但其他力不沿半径方向，这种情况下g为等效重力加速度。
3.等效重力加速度
情况二：摆球除受重力和拉力外还受其他力，但其他力只沿半径方向，而沿振动方向无分力，这种情况下单摆的周期不变。
单摆模型拓展
等效重力加速度：单摆处于静止状态时，摆线的拉力F(相当于视重)与摆球质量m的比值，即????等=????????。
?
例1.如图甲所示，电场方向竖直向下，摆球带正电，其等效重力加速度为？单摆的周期为？
例2.如图乙所示，在斜面上摆球的等效重力加速度为?单摆的周期为？

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