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6.3　向心加速度
1.做匀速圆周运动的物体所受的合力方向有何特点？
2.做匀速圆周运动的物体是否具有加速度，如果有加速度，其方向又如何？你的依据是什么？
匀速圆周运动是不是匀变速曲线运动？
1、定义：做匀速圆周运动的物体加速度总指向圆心，这个加速度称为向心加速度
2、方向：时刻变化，始终指向圆心
一、向心加速度
做匀速圆周运动的物体，向心加速度方向与线速度方向的关系
3.向心加速度的作用：
只改变速度方向，不改变速度大小
4.向心加速度的大小
an =
v2
r
Fn = m = man
v2
r
F = ma
Fn = m
v2
r
= mω2r
= m r
4π2
T 2
an =
v2
r
an = ω2r
an = r
4π2
T 2
= mωv
an = ωv
5、物理意义：
描述线速度方向变化的快慢
向心加速度的表达式：
an =
v2
r
an = rω2
an = r
4π2
T 2
从公式 看，向心加速度与半径成反比；从公式 看，向心加速度与半径成正比；这两个结论是否矛盾？
an =
v2
r
an = ω2r
v不变时，an与r 成反比
ω不变时，an与r 成正比
思考讨论
an = ωv
①在同一条直线上：△v=v2-v1
　
准备知识：速度变化量的求解方法　
v1
v2
△v
v1
v2
△v
v1
v2
△v
②不在同一条直线上
拓展：从运动学角度求解向心加速度大小
an =
Δv
Δt
O
A
B
设质点沿半径为r的圆周运动做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为vA，经过时间Δt后位于B点，速度为vB，求解质点加速度的大小
vA
vB
vA
Δv
r
vA、vB、Δv所组成的矢量三角形与ΔAOB相似
故
所以
则
则
当Δt极小时，质点转过的角度极小，此时弦长就近似
等于弧长AB的长度
1.下列关于向心加速度的说法中正确的是
A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B.向心加速度的方向不一定指向圆心
C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度不变
E.向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
F.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
G.圆周运动的加速度方向指向圆心
H.无论是否匀速圆周运动，向心加速度方向重视指向圆心。
练习2. A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，它们的向心加速度之比是多少？
an = ωv=4/3 *3/2=2:1
针对训练　如图5所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，当自行车悬空，大齿轮B带动后轮匀速转动时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于
A.1∶1∶8
B.4∶1∶4
C.4∶1∶32
D.1∶2∶4
图5
例：如图所示，圆盘在水平面内匀速转动，角速度为4rad/s，盘面上距离圆盘中心0.1m的位置有一个质量为0.1kg的小物体随圆盘一起转动。求小物体受到的摩擦力大小和方向
二、圆周运动解题
圆周运动解题步骤：
1.确定研究对象，受力分析
2.确定圆周运动的平面，找圆心和半径，标向心加速度an方向
3.分析向心力来源，立牛顿第二定律式子
即：F供（即F合）=F需（向心力表达式）
4.求解未知物理量
O
θ
O'
1.长为L的细绳，栓一质量为m的小球，小球在水平面上做匀速圆周运动。当绳与竖直方向的夹角为 时，求绳的拉力和小球运动的周期？
O
mg
FN
Ff
O
mg
FN
an
an
2.已知圆周运动半径R，最大静摩擦力是重力的k倍，求最大拐弯速度。
3.已知人质量m，圆周运动半径R，最高点时速度为v，求人受到车子给他的作用力大小。
练习：如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 球A的线速度必定大于球B的线速度
B. 球A的角速度必定小于球B的角速度
C. 球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D. 球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
练习：如图所示，有两个质量相同的小球A和B在水平面内作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 球A的线速度等于球B的线速度
B. 球A的角速度等于球B的角速度
C. 球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D. 球A对绳子的拉力必定大于球B对绳子的拉力
O
θ1
θ2
A
B
思考：司机开着汽车在一宽阔的马路上匀速行驶突然发现前方有一堵墙，他是刹车好还是转弯好（设转弯时汽车做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。）
1.绳模型
长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。
（1）当小球在最低点时，绳的拉力与速度大小v1的关系如何？
（2）当小球在最高点 时，绳的拉力与速度大小v2的关系又如何？
六、圆周运动两类模型
（3）小球过最高点的最小速度是多少 原因？
v1
o
mg
T1
v2
T2
mg
当v=v0，小球刚好能够通过最高点；
当v当v>v0，小球能够通过最高点。
注意:这是假设到最高点而做出一个v，其实球没到最高点就脱离了轨道或是沿原轨道返回或是做斜抛运动了.
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么？
对杯中水：
G
FN
表演“水流星” ，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得小于
即：
r
v
m
F
mg
2
N
=
+
这时 FN = 0，
水恰好不流出
1、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长=40cm.求
（1）桶在最高点水不流出的最小速率？（2）水在最高点速率=3m/s时水对桶底的压力？(g取10m/s2)
外轨模型
N2
mg
N1
mg
分析最低点和最高点受力情况和运动情况？
质量为m的小球在光滑的圆轨道内做竖直平面内的圆周运动
2.杆模型
mg
T1
mg
用长为L的细杆一端固定着一个质量为m的小球，使小球在竖直平面内作圆周运动，如图所示
O
（1）当小球在最低点A的速度为V1时， 向心力的来源和杆的弹力大小？
（2）当小球在最高点B的速度为V2时，向心力的来源和杆的弹力大小？
O
练习：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是（ ）
A. 0 B. mg
C. 3mg D. 5mg
练习：如下图所示，轻杆OA长l＝0.5 m，在A端固定一小球，小球质量m＝0.5 kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为v＝0.4 m/s，求在此位置时杆对小球的作用力（g取10 m/s2）

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