资源简介

2023 年春“湖北省部分重点中学三月智学联合检测”
高二三月联考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B C A C B D ACD BD BCD ABD
1．A．
a a
2．D． 由 S7 a1 a2 ... a7 7a4 21，则 a4 3，∴公差 d 4 2 1 .2
1
3．B. 焦点在 y轴正半轴上，故焦点坐标 0, .
16
4．C．先分析函数 f (x)有两个零点，再探讨函数 f (x)的单调性与极值情况即可判断.
5．A．
6．C. 对称涂色.
7．B．转化为直线 y x与曲线 f x ln x上的点的距离最小值 d m，利用导数的几何意义求 f x 上斜率为 1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最
小距离，即可得 m的范围.

8．D．根据题意写出直线方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理与 AF2 3F2B构建出关于 a、b、c的齐次方程，根据离心率公式即可解得.
9．ACD. 当m 13时,直线 l为 4x y 9 0 ,设点 P(t, 9 4t) ,圆C : x2 y2 4的圆心C 0,0 ,半径为 r 2 , 两圆的公共弦的方程为 tx 4ty 9 y 4 0整理得
4y x 0
(4 y x)t 9 y 4 0 ,即
9y 4 0
,解之可得.
10．BD.
11．BCD.
ln x
12．ABD. 对于 A、B，根据函数 f x 的单调性，即可判断；对于 C，构造函数 g (t) f (e+t) f (e t), t (0, e)，判断其单调性，结合 x1 ln x2 x2 ln x1 ，x
2( x1 1)
f x x x1 f x 1 22 即可判断；对于 D，将 f x1 f x2 展开整理得 ln x1 ln x2 m(x1 x2 ), ln x1 ln x2 m(x1 x2 )，然后采用分析法的思想，推出 ln x x ，构2 1 1
x2
u(t) 2(t 1)造函数 ln t ，求其最小值即可判断.
t 1
13．2. 根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求 a2023 .
4
14． . 建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线 AB
5 1
与CD1所成角的余弦值.
15．52 .
2
16． e2 . 2x 2不等式 e kx x lnx
1
lnk(k 0)变形为：
2 e
x lnex ( k x)2 ln k x ，
ex
2

所以 y x2 lnx在 0, 单调递增，故 ex k x，变形得到 k，
x


x x
构造 g x e x 0 e x 1 ， ，则 g x ，当 x 1时， g x 0，当 0 x 1时， g x 0，x x2
ex ex
故 g x 在 x 1处取得极小值，也是最小值，可知 e，故 k e2， k的最大值为 e2 .x x min
17． (1)30 ; ...................5 分
(2)70 . ...................10 分
1 an 1 1 1 1 T18 1 n 2 n 1．（ ）当 时， 1 T T n n 1 T TT 2a 2 2a 2 2T ， ，即2 2 n n 1
2，
n n n n
1 1 a 1
又当 n 1时， 1 ，得T1 a1 3T1 a1 2a
，
1
数列 Tn 是以 3为首项，2为公差的等差数列；...................5 分
第 1页，共 4页
n
T 2n 1 1 n 1 1
n
2 1
1 1
（ ）由（ ）得 n ，则bn ， S
1 1 1 1 1 1 1 1 1
n 1
n 1 n
2n 1 2n 3 4 2n 1 2n 3 4 3 5 5 7 7 9 2n 1 2n 3
1

1

n 1
1
n 1 1
1 ....................12 分
4 3 2n 3 8n 12 12
19．（1）当 a 1时， f x xex x 1，则 f ' x x 1 e x 1 .
当 x , 0 时，因为 x 1 1，且 0 e x 1，所以 x 1 ex 1，
所以 f ' x x 1 ex 1 0， f x 单调递减.
x 0, x x当 时，因为 x 1 1，且 ex 1，所以 x 1 e 1，所以 f ' x x 1 e 1 0，f x 单调递增. 所以当 a 1时，f x 的单调递减区间为 , 0 ，
单调递增区间为 0, ....................5 分
x
（2） f x a ln x恒成立等价于 xe ax a a lnx≥0 x 0 恒成立，
令 h x xex ax a a ln x x 0 ，则 h x 0min .
①当 a 0时， h x xex 在区间 0, 上恒成立，符合题意；
x a
②当a 0时， h ' x x 1 e a x 1 e x
a x 1
x
xe a ，x x x
令 g(x) xex a， g ' (x) (x 1)ex，即 g(x)在 0, 上单调递增， g(0) a 0, g(a) aea a a(ea 1) 0，则存在 x0 (0,a) g(x ) 0 x ex，使得 00 0 a 0，
x x此时 00e a，即 x0 ln x0 ln a，则当 x 0, x0 时， h ' x 0， h x 单调递减；当 x x0 , 时， h ' x 0， h x 单调递增.
所以 h x h xmin 0 x0e
x0 a x0 ln x0 a 2a a ln a .令 h x 0min ，得 2a a ln a≥0 .
因为 a 0 2，所以0 a e2 .综上，实数 a的取值范围为 0,e ....................12 分
20．（1）连结PO．因为点 P为圆锥的顶点，所以 PO 平面 ABC．分别取 AC， BC的中点M ， N，
连接 PM，OM ，PN，ON，则在圆O中，OM AC．由PO 平面 ABC，得 PO AC．
又 PO OM O，故 AC 平面PMO，所以 AC PM．
所以 PMO ．同理， PNO ．
1 1 OM 2 ON 2 OC 2 OC 2 1
于是 2

tan tan 2
2 2 ．...................6 分 OP OP OP AP OA 2
OP OP
（2）因为 tan 3 tan ，即 3 ,所以OM 3ON ,即BC 3AC,
ON OM
AC2 BC2 AB2 , BC 2 3, AC 2．
在圆O中，CA CB，以点C为坐标原点，CA所在直线为 x轴，CB所在直线为 y轴，过C且垂直于平面 ABC的直线为 z轴建立空间直角坐标系C xyz．
则C (0, 0, 0)， A(2,0,0)， B(0, 2 3,0)．

又因为 PO 平面 ABC，所以OP//z轴，从而 P(1, 3,2 2)．则CA (2,0,0)， CB (0,2 3,0)，CP (1, 3,2 2)．设平面PAC的法向

m CA 0 2x 0
量为m (x, y, z)，则 ，即 ，不妨取 y 2 2， 则 x 0，z 3，此时m (0, 2 2, 3)．设平面 PBC
m CP 0 x 3y 2 2z 0

n CB 0 2 3n 0
的法向量为 n (m,n, t)，则
n
，即
CP 0 m 3n 2 2t 0

m n 3 33
不妨取m 2 2 ，则 n 0， t 1，此时 n (2 2,0, 1)．所以 cos m, n ．
|m | | n | 11 3 33
所以二面角 A PC B 4 66的正弦值为 ．...................12 分
33
x2 y221．（1）证明：椭圆 1，可知 a2 3,b2 2， c2 3 2 1
3 2
第 2页，共 4页
2 2
由 AC BD，知点P(x0 , y0 )在以线段 F1F2 为直径的圆上，故 x0 y0 1,
x2 y2 x2 y2
所以 0 0 0 0
1
1....................4 分
3 2 2 2 2
（2）①当直线 BD的斜率 k存在且 k 0时，则直线BD的方程为 y k (x 1)，
y k(x 1)

联立 x2 y2 ，消去 y得， (3k 2 2)x2 6k 2x 3k 2 6 0
1 3 2
2 2
设 B(x1, y1) ,D(x , y ) x x
6k x x 3k 62 2 ，则 1 2 ， 3k 2 2 1 2 3k 2 2
4 3(k 2 1)
由弦长公式得 BD 1 k2 . | x 2 21 x2 | (1 k ).[(x1 x2 ) 4x1 x2 3k 2 2
4 3 1 2 1
AC BD AC 1 | AC | k 4 3(k
2 1)
由 ，垂足为 P，知 的斜率为 ，可知
k 23 1 2 2k 3
k 2
1 1 4 3( k 2 1) 4 3( k 2 1) 24( k 2ABCD S BD AC 1)
2
则四边形 的面积
2 2 3 k 2

2 2 k 2 3 (3 k 2 2)(2 k 2 3)
24(k 2 1)2 96
2
2 (3k 2) (2k
2 3) 25 2 2 2 ，当且仅当3k 2 2k 3，即 k 1时，等号成立.
4
1 1 2b2
②当直线BD的斜率不存在或斜率 k 0时，此时四边形 ABCD的面积 S BD AC 2 a 2b2 4 .故四边形 ABCD的面积的最小值为
2 2 a
96
...................12 分
25
22 x．（1） f x e 2a，
由于 f 0 0，故 f 0 e0 2a 1 2a 0 a 1 ，
2
a 1 f x ex当 时， x 1 0恒成立，
2
此时令 f x ex 1 0 f x ex，故 x 1在 x 0处取得极小值，也是最小值，
且 f x f 0 =e0 0 1 0，故 f x 0min 对 x R恒成立；
a 1 f x ex当 时， 2ax 1 ex x 1，则 f 0 e0 0 1 0，显然不合要求，舍去
2
1
当 a 时，
2
f x ex令 2a 0，解得：x ln2a，令 f x ex 2a 0，解得：x ln 2a，其中 ln2a 0，则 f x ex 2ax 1在 , ln 2a 上单调递减，在 ln 2a，+
上单调递增，又 f 0 0，
故当 x ln 2a,0 时， f x 0，不合题意，舍去；
1
综上：实数 a取值集合为 ....................5 分
2
（2）设 g x x sinx 0， g x 1 cosx 0, g x 在 x 0, 上单调递增，
k n 1 n 1 k
所以 g(x)min g 0 0 . 所以 sin ， k N ,n N*，
n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
sin 1 2 n 1 2 n 则 n 1
sin sin
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
1 n 1 n 1 n 1 n 1 2 3 n 1故只需证明：

n 1 n 1
即可
n 1 n 1 e 1
由（1）可知， f x ex x 1 0，则 x 1 ex，
n 1 k
(x 1)n 1 e n 1 x
k
，令 x 1 k 1, 2,3, ,n k e，则 n 1 k 1, 2,3, ,n ，n 1 n 1 e
第 3页，共 4页
1 n 1 2 n 1 3 n 1 n 1
1

n 1 2 3 n e 1 en n 1 1 n
n 1 n 1
e e e e 1 e e e 1 ，
n 1 n 1 en 1 en 1
n 1 1 e e e 1 e 1 e 1
1 n 1 n 1 n 1 n 1
sin sin
2 3 n 1
sin

sin
....................12 分
n 1 n 1 n 1 n 1 e 1
第 4页，共 4页2023年春“湖北省部分重点中学三月联合检测”
高二三月联考
数学试题
本试题卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.已知直线1：3x-3y+1=0,若直线l2与L1垂直，则l2的倾斜角是
A.120
B.150
C.60
D.30
2.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若S,=21,a2=5,则公差为
A.-3
B.3
C.1
D.-1
3.抛物线y=4x2的焦点坐标为
A.(0,1)
B(0,6
C.(160)
D.(1,0)
4.函数f(x)=(x2-2x)e的图像大致是
5.已知圆0：x2+y2=16和点P(3,6),若过点P的5条弦的长度构成一个递增的等比数
列，则该数列公比的取值范围是
A.(1,2]
B.(1,2]
C.(0,2]
D.(0,2]
高二数学试题第1页（共4页）
6.中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联
系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不
能同色，则不同的涂色方法种数有
A.24
B.36
C.30
D.20
7.若不等式(a-b)2+(a-lnb)2≥m对任意a∈R,b∈(0，+e)恒成立，则实数m的取
值范围是
A(-0,2]
B.(-.
C.(-9,2]
D.(-9,2]
8,已知双曲线C:二-1(a>0,6>0)的右焦点P,过点F,倾斜角为。的直线与双曲线
左右两支分别交于A,B两点，若AF=3BF,则双曲线C的离心率e为
A.3
B.2
c号
D.43
3
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.已知圆C:x2+y2=4,直线1：(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R),则下列结论正确的是
A.圆C与曲线x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=16
B.当m=0时，圆C上有且仅有三个点到直线1的距离都等于1
C.直线l恒过第二象限
D.当m=1B时，1上动点P作圆C的切线PA,PB,且A,B为切点，则B经过点(-、-号)
10.正四棱柱ABCD-A,B,CD1的底面边长为2，侧棱长是3，AB,BC的中点为M,N,过点
D1,M,N的平面记为α，则下列说法中正确的是
A.平面α截得的截面面积为73
B.3V8-MNDI VD-MND
C.BD⊥平面ACD
D.二面角A-MN-D,的正弦值为名
1.已知椭圆兰+片
=1(a1>b>0)的离心率为e1,双曲线2-2=
=1(a2>0,b2>0)的离心
ai b2
率为e2,两曲线有公共焦点F,F2,P是椭圆与双曲线的一个公共点，∠F,PF2=60°，以
下结论正确的是
A.a-b好=a-b经
B.6=36
c+1
D.2e+2e的最小值为2+3
高二数学试题第2页（共4页）

展开更多......

收起↑