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6.3 向心加速度
科幻电影《星际穿越》《流浪地球》等中描述了空间站中模拟地球上重力的装置。这个模型可以简化为如图所示的环形实验装置,外侧壁相当于“地板”。让环形实验装置绕O点旋转,能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”。其实是模拟地球上的重力加速度g,环形装置该如何转动？
情景引入
任务一、匀速圆周运动的加速度方向
1.左图中的小球与右图中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？
2.做匀速圆周运动的物体加速度方向如何确定？你的依据是什么？
有加速度
Δt
Δv
a=
a
a
m
F
a=
物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心，如图 所示。根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同。因此，物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度
【特别提醒】牛顿第二定律不仅适 用于直线运动，对曲线运 动同样适用。
任务一、匀速圆周运动的加速度方向
1.向心加速度（an）
（1）定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总是指向圆心，我们把它叫做向心加速度（centripetal acceleration）。
总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直。
思考：向心加速度是否是恒定不变的？
不是，向心加速度的方向时刻在改变！
注：①向心加速度不是恒定的，方向时刻在变
思考：匀速圆周运动是否为匀变速曲线运动？
②匀速圆周运动是非匀变速曲线运动
（2）方向：
任务一、匀速圆周运动的加速度方向
向心加速度（an）
只改变线速度方向，不改变线速度大小。
描述物体线速度方向变化的快慢。
（1）定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总是指向圆心，我们把它叫做向心加速度（centripetal acceleration）。
（2）方向：总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直。
（3）作用效果：
（4）物理意义：
任务一、匀速圆周运动的加速度方向
任务二、匀速圆周运动的加速度大小
1.左图中的小球正以角速度????做半径为r的匀速圆周运动，它的向心加速度大小是多少？
?
an = ω2r
2.计算向心加速度的公式除了????????=????2????外，还有其他表达式吗？
?
?
从公式 看，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比；
从公式 an ＝ ω2r 看，角速度一定时，向心加速度与半径成正比。
向心加速度（an）
1.定义：物体做圆周运动时的加速度总是指向圆心，我们把它叫做向心加速度（centripetal acceleration）。
2.物理意义：描述物体线速度方向变化的快慢。
3.方向：总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直。
（只改变线速度方向，不改变线速度大小）
4.大小： ????????=????2????=????2????=????????=4????2????2????=4????2????2????=4????2????2????
?
任务三：运用向心加速度公式解决实际问题
1.如左图所示，A、B、C分别是大齿轮、小齿轮边缘上的点和后轮边缘上的点，当转动脚踏板时，这三个点加速度的大小如何比较？你选择公式的依据是什么？
2.如右图所示，长为l的绳子栓有质量为m的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，绳与竖直线的夹角为θ。小球的加速度方向指向哪里？
3.忽略空气阻力，小球受几个力的作用？是什么力提供了向心力？
4.体验：如果小球转动得快，绳与竖直线的夹角θ如何变化，你能给出理论依据吗？
1.同轴转动：角速度ω相同
2.链条（皮带）传动：线速度V相同
an =
v2
r
an = rω2
任务三：运用向心加速度公式解决实际问题
【例题】如图 6.3-3 所示，在长为 l 的细绳下端拴一个质量为 m 的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为 θ 时，小球运动的向心加速度 an 的大小为多少？通过计算说明 ：要增大夹角 θ，应该增大小球运动的角速度 ω。
任务三：运用向心加速度公式解决实际问题
任务三：运用向心加速度公式解决实际问题
课堂要点小结
探究:
(1)则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g,装置的外半径为R)?
(2)不同质量的人受力相同吗?感受相同吗?
【解析】(1)为使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的
“重力”,则物体的向心加速度应等于g,根据g=ω2R,可得ω= 。
(2)不同质量的人受力不相同,感受相同。
答案:见解析
曲线运动中的速度的变化量：
v1
v2
Δv
v1
v2
Δv
直线运动中的速度的变化量：
用矢量图表示速度变化量
v2
v1
v2
v1
Δv
v1
v2
Δv
探究：从运动学视角确定向心加速度的方向和大小
探究：从运动学视角确定向心加速度的方向和大小
感知向心加速度的方向：
探究：从运动学视角确定向心加速度的方向和大小
探究：从运动学视角确定向心加速度的方向和大小
常考题型
题组一　对向心加速度的理解
题1 下列关于向心加速度的说法中正确的是（　　）
A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B.向心加速度表示角速度变化的快慢
C.匀速圆周运动的向心加速度大小不变
D.只要是圆周运动，其加速度都是不变的
【解析】　圆周运动有两种情形：一是匀速圆周运动，二是非匀速圆周运动。在匀速圆周运动中，加速度的方向指向圆心，叫向心加速度（大小不变，方向时刻改变）；非匀速圆周运动中加速度可以分解为向心加速度和切向加速度。圆周运动中的加速度是反映速度变化快慢的物理量，故选项C正确。
C
题2［多选］关于圆周运动，下列说法中正确的是（　　）
A.物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
B.物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
C.物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
AD
易误警示：匀速圆周运动的加速度指向圆心，非匀速圆周运动的加速度不指向圆心，此时物体做圆周运动时的加速度可以分解为向心加速度和切向加速度。
题3 如图所示是常用的剪刀，A、B是剪刀上的两点，B离O点更近，则在正常使用过程中 （　　）
A.A、B两点的角速度相同
B.A、B两点的线速度大小相同
C.A、B两点的向心加速度大小相同
D.A、B两点的向心加速度方向相同
A
题4［2019?福建师大附中高一期末］荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千荡到最高点时，小孩的加速度方向是图中的（　　）
A.a方向 　　　　B.b方向
C.c方向 　　　　D.d方向
B
解析：当秋千荡到最高点时，小孩的速度为零，沿半径方向的向心加速度为零，加速度方向沿圆弧的切线方向，即题图中的b方向。
易误警示：做圆周运动的物体的线速度等于零时，向心加速度等于零。
题5 如图所示，轻绳的一端系一小球，另一端固定于O点，在O点的正下方P点钉一颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时（　　）
A.小球的瞬时速度突然变大
B.小球的角速度突然变小
C.绳上拉力突然变小
D.小球的加速度突然变大
D
解析：A错：小球摆到最低点时，悬线碰到钉子，此时运动方向没有外力作用，故小球的瞬时速度不会突然变大。
B错：根据ω=????????知，v不变，r变小，故ω变大。
C错：设钉子到小球的距离为R，则F-mg=????????2????，则悬线的拉力F=mg+????????2????，因R小于L，故碰到钉子时，悬线上的拉力突然变大。
D对：小球的向心加速度a=????2????，R?
题6［多选］如图所示是A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　）
A.A质点运动的线速度大小不变
B.A质点运动的角速度大小不变
C.B质点运动的角速度大小不变
D.B质点运动的线速度大小不变
题组二　向心加速度表达式的理解与应用
AC
题7［2020·河北辛集中学检测］如图所示，一个凹形桥模拟器固定在水平地面上，其凹形轨道是半径为0.4 m的半圆，且在半圆最低点装有一个压力传感器（图中未画出）。一质量为0.4 kg的玩具小车经过凹形轨道最低点时，传感器的示数为8 N，则此时小车的（g取10 m/s2）（　　）
A.速度大小为1 m/s B.速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2 D.向心加速度大小为20 m/s2
C
解析：当小车经过最低点时，受到的支持力与重力的合力提供向心力，则FN-mg=????????2????，代入数据得v=2 m/s，向心加速度an=????2????=10 m/s2。
?
题8 如图所示，甲、乙、丙、丁四个可视为质点的小物体放置在匀速转动的水平转盘上，与转轴的距离分别为4r、2r、2r、r，甲、丙位于转盘的边缘处，两转盘边缘线相切，靠摩擦传递动力，转盘与转盘之间、物体与盘面之间均未发生相对滑动，则向心加速度最大的是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
C
提示：先根据an=ω2r分析同一转盘上两物体的向心加速度关系，再根据an=????2????分析不同转盘上两物体的向心加速度关系。
?
题9［2020·西安长安一中高一检测］自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB=4RA、RC=8RA，如图所示。正常骑行时三轮边缘的向心加速度之比aA∶aB∶aC为（　　）
A.1∶1∶8 B.4∶1∶4
C.4∶1∶32 D.1∶2∶4
C
谢谢！
由定义式求向心加速度
①加速度方向
Δt →0， Δθ →0
Δv的方向与vA的方向垂直
∴加速度方向指向圆心
②加速度大小
v/r= Δv/Δs
.
O
vB
vA
A
B
r
Δθ
vA
vB
Δv
=vω
=ω2r
Δs
v
r
Δv= Δs
a= Δv /Δt
v2
r
=
矢量相减
Δθ
Δv=vB- vA= vB+（- vA）
vB
vA
-vA
vB
Δv
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扩展：向心加速度的大小推导
情景：已知一个物体做匀速圆周运动，轨迹半径为R，线速度大小为v，求该物体的向心加速度大小？
加速度
定义式
描述速度变化快慢
匀速圆周运动速度方向变化
扩展：向心加速度的大小推导——速度的变化量△V的表示
速度变化量的定义式
V初
O
A
B
V末
△V
V初
知识链接：
向量的平移
向量的相减
扩展：向心加速度的大小推导——速度的变化量△V的大小
已知条件：
由△OAB与△BVAVB相似，有　
V初
O
A
B
V末
△V
R
R
v
R
AB
v
=
D
扩展：向心加速度的大小推导——速度的变化量△V的大小
V初
O
A
B
V末
△V
R
R
v
R
AB
v
=
D
当Δt很小时
AB弦长近似等于弧长
扩展：向心加速度的大小推导
V初
O
A
B
V末
△V
R
R
扩展：向心加速度的大小推导
V初
O
A
B
V末
△V
R
R
如图6.3-4 甲所示，一物体沿着圆周运动，在 A、B 两点的速度分别为 vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。
第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过 A、B 两点时的速度方向，分别用 vA、vB 表示，如图甲所示。
第二步，平移 vA 至 B 点，如图乙所示。
第三步，根据矢量运算法则，做出物体由 A 点到 B 点的速度变化量 Δv，其方向由 vA 的箭头位置指向 vB 的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB 的大小相等，所以，Δv与 vA、vB 构成等腰三角形。
第四步，假设由 A 点到 B 点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A 点到 B 点的距离将非常小，作出此时的 Δv，如图丁所示。
仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
向心加速度的推导过程.
物体从A点经时间Δt沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为Δθ，如图所示，因为vA与OA垂直，vB与OB垂直，且vA＝vB，OA＝OB，所以△OAB与vA、vB、Δv组成的矢量三角形相似.
曲线运动中的速度的变化量：
v1
v2
Δv
v1
v2
Δv
直线运动中的速度的变化量：
用矢量图表示速度变化量
v2
v1
v2
v1
Δv
v1
v2
Δv
探究2：从运动学视角确定向心加速度的大小
【加速度方向】
另一种推导
设质点沿半径为r 的圆做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为vA ，经过时间△t 后位于B点，速度为vB 。
vA
Δv
vB
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
vA
Δv
vB
vA
设做匀速圆周运动的物体的线速度的大小为v ，轨迹半径为r。经过时间△t，物体从A点运动到B点。尝试用v 、r 写出向心加速度的表达式。
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
vA、vB、△v 组成的三角形与ΔABO相似
∴ =
AB
Δv
v
r
∴ Δv =
AB
v
r
∴ = ·
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
当△t 很小很小时，AB=AB=Δs
∴ = = = v
AB
Δs
Δt
Δt
AB
Δt
∴ an = · v =
v
r
v2
r
= ω2r= vω
Δ
θ
Δ
θ
【向心加速度的大小】——另一种推导

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