资源简介

专题2：基本不等式及其应用
题型一：配凑法
例题精讲
例1(2021·湖南省株洲市模拟)若，，且，
则恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
变式训练
练1(2023·安徽省合肥市模拟)若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练2(2023·江苏省无锡市模拟)已知正实数，满足，则的最小值为 ．
题型二：利用常数代换法求最值
例题精讲
例2(2023·湖北省武汉市模拟)若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
变式训练
练3(2021·浙江省杭州市模拟)已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：化单变量
例题精讲
例3(2021·江苏省南通市模拟)已知正数，满足，则的最大值为 ．
变式训练
练4(2023·江苏省无锡市模拟)若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
题型四：多次使用基本不等式
例题精讲
例4(2023·天津市模拟)已知正数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
变式训练
练5(2023·福建省莆田市模拟)已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练6(2022·湖北省襄阳市模拟)已知，，则的最小值为______．
题型五：柯西不等式
例题精讲
例5(2021·安徽省合肥市模拟)已知，均为正实数，，则的最大值为______．
变式训练
练7(2022·北京市期末)已知，则的最小值为_________．
练8(2021·湖北省鄂州市模拟)已知，则以下式子成立的是( )
A． B．
C． D．
专题训练
1.(2021·湖北省鄂州市模拟)若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.(2021·江苏省无锡市模拟)实数满足,,,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.(2022·四川省绵阳市模拟)设，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4.(2022·湖北省武汉市模拟)已知正实数,,,满足,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.(2021·天津市期末)已知实数,,,则的最小值是 ．
6.(2022·安徽省安庆市期末)已知均为正实数,且,则的最小值为 ．
7.(2022·江苏省南京市联考)已知正实数则的最小值为 ．
8.(2022·山东省青岛市模拟)已知实数满足，则的取值范围为___________.
专题2 基本不等式及其应用--答案解析
例1【解析】因为，，，且
则
所以
即，当且仅当，即时，取等号．
则恒成立，等价于，
解得： ．
故选D．
练1【解析】法一：，即
从而
当且仅当，代入可得
法二：，，，，
，
，，
当且仅当即时取，故选D．
练2【解析】因为正实数，满足，则，
因为，则，
所以，
当且仅当且时取等号，
所以的最小值为，故答案为．
例2【解析】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，，
而，
当且仅当，即时等式成立．
则．故选：．
练3【解析】由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.
法二：（齐次化）
故选：D.
例3【解析】因为，所以，即，所以，
所以，
因为、都是正数，所以，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，等号成立，所以的最大值为．
练4【解析】由题知，，对任意实数恒成立，
即，对任意实数恒成立．令，则，
，对任意实数恒成立，令，则，
，对任意实数恒成立，，
又，当且仅当时等号成立，
，，
，实数的最小值为．故选D．
例4【解析】由题意可得又，
，当且仅当时取等号，
，，即，，
注意到，，，
当且仅当，即时取等号，当且仅当且时取等号，
的最小值为．故选C．
练5【解析】设，则，所以
当且仅当且时取得“”，此时，，
所以的最小值为．
练6【解析】注意到，，等号当且仅当，即时取得，
有，等号当且仅当，即时取得，
因此，当且仅当取得.
故的最小值为
例5【解析】由柯西不等式有，
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
练7【解析】由柯西不等式有，当且仅当时等号成立，
即所以的最小值为．
练8【解析】由柯西不等式可得，
当且仅当时，上式取等号，所以，
即，
故．故选B．
【专题训练】
1.【解析】由题意，设，解得，，其中，，
，，整理得，
又由，
当且仅当，即，
即时，等号成立，
的最小值为．故选：．
2.【解析】令，，则，，
且，，，
所以，
当且仅当时取等号.故选：D.
3.【解析】
,
当且仅当和，即时取等号，故选：D.
4.【解析】，，，，
当且仅当时，取等号．
则，
当且仅当时，且，时，的最小值为，故选：．
5.【解析】，，且，，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值是.
6.【解析】，，，，
，
即，当且仅当时等号成立，
，
当且仅当，即，，时等号成立，
的最小值为．
7.【解析】 ，
当且仅当，时，等号成立．
故 的最小值为 .
8.【解析】由柯西不等式可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，故，
又，
当且仅当，即时，等号成立，故，
所以.故答案为：
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