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力矩和刚体定轴转动的转动定律
P
*
O
: 力臂
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .
对转轴 Z 的力矩
力矩和刚体定轴转动的转动定律
一 力矩
O
讨论
1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
其中 对转轴的力
矩为零，故 对转轴的力矩
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
O
O
刚体绕定轴转动定律
2）刚体
质量元受外力 ，内力
1）单个质点 与转轴刚性连接
外力矩
内力矩
O
刚体定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩的代数和.——刚体定轴转动定律
转动定律
定义转动惯量
O
刚体的转动惯量
1.定义:刚体的转动惯量等于各质元的质量和其各自到转轴的垂直距离的平方的乘积之和.
2.决定转动惯量大小的因素:
1).刚体形状、大小相同时,m↑→J↑(决定于m);
2).m相同,m分布离轴越远,J越大(决定于m的分布);
3).同一刚体,转轴不同,J不同,(决定转轴的位置).
3.计算
1).质量不连续分布
其中ri为Δmi到转轴的垂直距离
m1
m3
m2
r3
r2
r1
2)质量连续分布
其中r为dm到转轴的垂直距离
质量为线分布
质量为面分布
质量为体分布
其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
O
O
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元
例 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
O
如转轴过端点垂直于棒
例 .求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
R
O
解:在圆环上取质元dm
J是可加的，若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
例3.求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
l
O
R
r
dr
dm
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。
思考题:两均匀圆盘其厚度相同,且有mA=mB 及ρA>ρB ,试问:JA与JB哪个大
∵RA4.关于J的两个定理
1).叠加定理:
若刚体由几部分组成,则对某一转轴的转动惯量等于各部分对该轴的转动惯量之和.
m1,R1
m2,R2
2).平行轴定理
若刚体绕通过质心的转轴的转动惯量为JC ,则对另一与之平行且相距为d的转轴的转动惯量为J，且有：J＝JC＋md2。
C
d
m
JC
J
平行
o
l/2
l/2
C
x

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