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第9章 中心对称图形——平行四边形 单元练习
一、单选题
1．能由图中的图形旋转得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，三个顶点坐标是、、，那么顶点D的坐标是（ ）
A．(2，1) B．(2，2) C．(3，1) D．(3，2)
4．如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．有两个内角分别为90°，60°，30°的完全一样的三角形拼成四边形，其形状不同的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
6．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm，8cm，则这个三角形的面积是（　　）
A．80cm2 B．60cm2 C．40cm2 D．20cm2
7．如图，点A的坐标为（2，5），点B的坐标为（8，0），把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为20，则点D的坐标为（　　）
A．（10，0） B．（12，0） C．（14，0） D．（16，0）
8．如图，平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
9．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
10．若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形 D．矩形
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，将 沿对角线折叠，使点落在处，若则为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）
14．如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是________（填序号）．
16．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 ___________________．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB，DC的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．设BC﹣AD=2m，则GH的长为______．
18．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点处，线段与线段AD交于点E，已知，，，则线段BC的长为________．
19．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝9cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），沿着直线DE剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿过△BDE的顶点D的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为__cm．
三、解答题
20．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长．
21．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBFD的形状，并对结论给予证明．
22．如图，在平面直角坐标系中，有，，，点、均在轴上，边与轴交于点，连接，且是的角平分线，若点的坐标为，．
(1)如图1，求点的横坐标；
(2)如图2，将绕点逆时针旋转一个角度得到△，直线交直线于点，直线交轴于点，是否存在点、，使为等腰三角形？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
23．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝5，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，
(1)如图1，①点C到射线OM的距离为 　 　．
②求证：△CDE是等边三角形．
(2)设OD＝t，
①如图2，当5＜t＜9时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．
②当△BDE是直角三角形时，求t的值．（直接写出结果）
参考答案
1．B
【详解】解：绕着图形的中心，顺时针旋转180度，得到的图形是
故选B．
2．B
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不符合题意．
故选：B．
3．B
【详解】解：∵A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3），
∴AB＝3，ABy轴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵C（2，﹣1），
∴点C向上平移3个单位得到点D（2，﹣1＋3），
∴点D的坐标是（2，2），
故选：B．
4．D
【详解】解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，
∵∠CHD=∠BGA=90°，
∴△CHD≌△AGB（AAS），
∵，，，
∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，
∴OH=2+2=4，
∴C（4，4），
∴OE=CE=4，
∴∠COE=45°，OC=4，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，
由旋转得∠COC1=75°，
∴∠C1OF=30°，
∴C1F=OC1=OC=2，
∴OF=，
∴点C1的坐标为，
故选：D．
5．C
【详解】根据平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对角分别相等，可知角分别为，(2) 90°，90°，90°90°；(2) 120°，60°，120°，60°；(3) 150°，30°，150°，30°；不是平行四边形的四边形为(4) 60°，90°，120°，90°．共4种，
故选C．
6．C
【详解】∵直角三角形斜边上中线是8cm，
∴斜边=2×8=16cm，
∴这个三角形的面积=×16×5=40cm2．
故选C．
7．B
【详解】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵点A的坐标为（2，5），四边形ABDC的面积为20，
∴5BD＝20，
∴BD＝4，
∵点B的坐标为（8，0），
∴D（12，0），
故选：B．
8．B
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B
9．C
【详解】试题解析：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选C．
10．B
【详解】因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，而中点四边形的两组对边分别是和原四边形的两条对角线平行的，矩形相邻两边是互相垂直的，所以原四边形的对角线应该互相垂直.
故选B.
11．B
【详解】分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．
详解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，
∴∠E=∠B=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，
∴∠B=∠EAF=60°，
∴△EFA是等边三角形，
∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴图中等边三角形共有3个，
故选B．
12．C
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，
，
由折叠的性质得：，
，
，
故选：C．
13．B
【详解】解：
过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，
则四边形EFNM是矩形，
所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM，
∴∠EAB＝∠AQC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠AQC＝∠DCN，
∴∠DCN＝∠EAB，
在△DCN和△BAE中
，
∴△DCN≌△BAE（AAS），
∴BE＝DN，AE＝CN，
∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），
∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3，
∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，
∴D的坐标为（3，2），
故选：B．
14．B
【详解】解：在矩形纸片中，，，
∴，，，
∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合，
∴，，，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，
∴，，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴线段GP长为，
故选：B．
15．乙、丁
【详解】甲、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
乙、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
丙、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
丁、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故答案是：乙、丁．
16．（2，5）
【详解】解：点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（2，5）
故答案为：（2，5）
17．1m
【详解】∵梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC的中点，
∴EF∥BC∥AD，
∴AH=CH，BG=DG，
∴EG=AD，EH=BC，
∴GH=EH﹣EG=（BC﹣AD）=×2=1（m），
故答案是：1m．
18．
【详解】解：过C作CH⊥BD于H，如图：
∵将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，
∴∠CBD=∠C'BD，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠C'BD，
∵∠AEB=60°=∠ADB+∠C'BD，
∴∠ADB=∠C'BD=∠CBD=30°，
在Rt△DCH中，∠BDC=45°，CD=，
∴CH=，
在Rt△BHC中，∠HBC=30°，
∴BC=2CH=，
故答案为：．
19．24．
【详解】解：，，，将该纸片沿过点的直线折叠，
，
如图2，过点作平分交于点，此时沿所在直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形是平行四边形，
，
，
平行四边形的周长
故答案为
20．
【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠AEF=∠CEF，AE=EC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AE=AF，
∴四边形AFCE为菱形．
（2）如图，作AG⊥BE于点G，
则∠AGB=∠AGE=90°，
∵点D的落点为点D′，折痕为EF，
∴D'F=DF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC．
又∵AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．
∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=，
∴AG=GB=6．
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠AEB=∠FCE=60°．
∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，
∴GE==，
∴BE=BG+GE=，
∴D′F=．
21．
【详解】证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AE=CF，
∴AO﹣AE=CO﹣FO，
∴EO=FO，
在△BOE和△DOF中
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
(2) 四边形EBDF为菱形
理由：∵BO=DO，FO=EO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形EBDF为菱形．
22．
【详解】（1）解：如图1中，过点作于．
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，．
（2）如图2，连接，
是等腰三角形，，
当时，，
当时，，
当时，，
当点在y轴的负半轴上时，等腰三角形的顶角为，此时，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
23．
【详解】（1）解：①解：如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB，
∴AH＝BH＝2，∠ACH＝30°，
∴CH＝AH＝，
∴点C到射线OM的距离为，
故答案为：；
②证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：①存在，当5＜t＜9时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
∴△BDE的最小周长＝CD+4＝；
②存在，
当t＝9时，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
当0≤t＜5时，由旋转可知， 而
∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED＝90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA﹣DA＝5﹣4＝1，
∴t＝1；
当5＜t＜9时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
如图，当t＞9时，由旋转的性质可知，
∠DBE＝60°，
又由（1）知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝13，
∴t＝13，
综上所述：当t＝1或13时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

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