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非线性输运现象
孤立子的概念
1834年，英国造船工程师罗素观察到一个奇妙的现象：由两匹马拉着的一只船在窄河道中急速行驶，当船突然停止时，有一圆滑的、轮廓分明的孤立突起波形离开船头继续前进，并保持形状不变。称之为“孤立波”。
1895年，科特维格和德夫瑞斯为解释一维浅水水波建立一个非线性微分方程，称为KdV方程，该方程有一个解刚好对应于罗素所看到的孤立波。
1965年，扎布斯基和克鲁斯卡尔发表论文，发现两个孤立波碰撞前后波形和速度都保持不变，说明孤立波有明显的粒子性，并由此提出“孤立子”一词。
孤子的发现
发现孤子现象源于1834年．英国海军工程师Scott Russell注意到，在一条窄河道中，迅速拉一条船前进，当船突然停下来时，就会在船头形成一个孤立的水波迅速离开船头。并以l4～15 km／h的速度前进，而波的形状、幅度维持不变，前进了2～3 km才消失，这就是著名的孤立波现象。孤立波是一特殊形态的波，仅有一个波峰，可以在很长的传输距离内保持波形不变。但直到1964年，人们才从孤立波现象中得到启发，引入了“孤子”概念。
孤立波 solitary wave
从波动观点看，孤立波是传播过程中保持自身形态不变的定域化的波。并且两个孤立波碰撞前后波形和速度都保持不变。
从粒子观点看，孤立子是能量被集中在有限时间和空间的孤立波。并且两个孤立子间发生碰撞，碰撞后它们各自的能量不会随时间扩散，保持着原来的速度和形状。
孤立子 soliton
孤立波问题涉及到自然界中的各方面现象，并且有若干类非线性波动方程都存在稳定的孤波解。
光学领域：自感应透明，光纤孤子。
孤子概念的引入
因为孤立波具有非常独特的稳定性，两孤立波相遇之后，原有的波形保持不变，人们称其为具有类似于物质粒子之间的碰撞特性，或称之为孤立波碰撞。为了强调这种碰撞特性，将具有碰撞特性的孤立波称为“孤立子”或称“孤子”
波在传播中往往存在色散现象，色散主要由材料的性质决定。一个线性波动由于在介质中传播时存在色散，所以该波动是不稳定的。
只有当在波动中存在非线性会聚时，如果色散和会聚两种作用出现某种平衡，才会出现波形稳定的孤立波。
波动中的会聚效应
由于底部受到阻滞力，不同高度前进速度不同
水波在行进中逐渐变陡，最终波形出现坍塌
v
t=0 t>0 t>0
1973年，长谷川（A.Hasegawa）和塔拥尔托（F.Tappert）两人利用非线性薛定谔方程，首次从理论上导出在光纤的反常色散区能够形成光学孤立子或称孤子，并为光学孤子波通信建立了理论基础。与kdv方程描述的孤立子相似，由非线性薛定谔方程描述的光纤中的光学孤立子是光波在传播过程中色散效应与非线性压缩效应相平衡的结果
非线性薛定谔方程与光学孤立子
利用波动方程也色散关系之间的对应关系：
略去单色光表达式：
中包函数上的横线，立即可以得出强满足的方程:
第非（3）式即为线性薛定谔方程（NLSE）
再利用：
和相位速：
就有：
式中：
全光型孤立子通信
低强度光脉冲在光线中传播，不可避免地产生色散，从而造成光脉冲的加宽与变形，大大影响光通信传播的质量与距离
然而，如果利用孤立波进行通信，由于孤立波脉冲在传播中能保持稳定不变的能量和波形，因此可实现无中继站的远距离通信。

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