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2022-2023学年人教版八年级数学下册《18.2特殊的平行四边形—正方形的判定与性质》
同步知识点分类练习题（附答案）
一．正方形的性质
1．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
3．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边长向正方形外作等边△CDE，AC与BE相交于点F，则∠AFD的度数为（　　）
A．65° B．60° C．50° D．45°
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
5．如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．5
6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．对角线垂直且互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
7．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF，AE．若DE＝DC，EF＝EC，则∠AFE的度数为 　 　．
8．如图，在正方形ABCD的内部作等边△MAB，连接MC、MD，则∠MDC＝　 　°．
9．在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，延长BC至点G，使得BE＝CG，过点G作FG⊥BC，连接EF，且AE＝EF，求证：△ABE≌△EGF．
10．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AD边上一点，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G．求证：△CDE≌△CBF．
11．如图，在正方形ABCD中，点P是BC延长线上一点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，过点D作DF⊥AP于点F．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若AB＝10，∠P＝30°，求EF的长．
12．如图：正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，点M为AB中点，连接OM，求证：OM＝AB．
二．正方形的判定
13．下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（　　）
①AC⊥BD②∠BAD＝90° ③AB＝BC④AC＝BD．
A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③
14．已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，则下列说法准确的是（　　）
A．当OA＝OC时，平行四边形ABCD为矩形
B．当AB＝AD时，平行四边形ABCD为正方形
C．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为菱形
D．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形
15．已知，如图，在Rt△ABC中，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．
16．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CFDE是正方形．
18．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
三．正方形的判定与性质
19．如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．
20．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
21．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．
（1）求证：四边形MANP是正方形；
（2）求证：EM＝BN．
参考答案
一．正方形的性质
1．解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE+DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH＝
∴BF+DE最小值为4．
故选：C．
2．解：∵正方形ABCD，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF＝45°，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFD＝∠AFB．
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB．
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，
∴∠CBE＝15°．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AFB＝∠ACB+∠CBE＝60°．
∴∠AFD＝60°，
故选：B．
4．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠BFE+∠ABC＝180°，
∴∠BFE＝90°，
∴四边形BCEF为矩形，
连接FM，FC，如图：
∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形．
∴点N为FC的中点，BE＝FC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
又∵∠AFG＝90°，
∴△AFG为等腰直角三角形．
∵M是AG的中点，
∴AM＝MG，
∴FM⊥AG，
∴△FMC为直角三角形，
∵点N为FC的中点，
∴MN＝FC，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，DE＝2，
∴BC＝CD＝6，CE＝4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝2，
∴FC＝2，
∴MN＝FC＝．
故选：C．
6．解：正方形具有而菱形不一定具有的性质是：①正方形的对角线相等，而菱形不一定对角线相等，②正方形的四个角是直角，而菱形的四个角不一定是直角，
故选：C．
7．解：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，∠ADB＝45°，AD＝DC，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF＝22.5°，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝∠FEC﹣∠BEC＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵DE＝DC，
∴AD＝DE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
故答案为：45°．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，△MAB是等边三角形，
∴AB＝MB＝MA＝AD，∠MAB＝∠MBA＝∠AMB＝60°，
∴∠MAD＝∠MBC＝30°，
∵MA＝AD，
∴∠MDA＝∠DMA＝75°，
∴∠MDC＝∠ADC﹣∠MDA＝15°，
故答案为：15．
9．证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝90°，
∵BE＝CG，
∴BC＝EG，
∴AB＝EG，
∵FG⊥BC，
∴∠EGF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△EGF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△EGF（HL）．
10．证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∠DCE+∠BCE＝∠DCB＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠BCF+∠BCE＝∠ECF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（ASA）．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠AEB＝∠DFA＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝∠BAE+∠FAD＝90°，
∴∠ABE＝∠DFA，
∴△ABE≌△DAF（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠APB＝30°，
∴AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB＝30°，
∵DF⊥AP，
∴DF＝AD＝＝5，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF＝＝＝5，
∵△ABE≌△DAF，
∴AE＝DF＝5，
∴EF＝5．
12．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABO+∠CBF＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，即∠AOB＝90°．
在Rt△ABO中，M点是斜边AB中点，
∴OM＝AB．
二．正方形的判定
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴当∠BAD＝90°时，菱形ABCD是正方形，故②正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴当AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故④正确；
故选：C．
14．解：A．当OA＝OC时，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则平行四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，故此选项不符合题意；
C．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D．当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确．
故选：D．
15．证明：过E作EM⊥AB，
∵AE平分∠CAB，
∴EF＝EM，
∵EB平分∠CBA，
∴EM＝ED，
∴EF＝ED，
∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，
∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，
∴四边形EFDC是矩形，
∵EF＝ED，
∴四边形CDEF是正方形．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
17．证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE＝DN，DN＝DF，
∴DF＝DE，
∴矩形CFDE是正方形．
18．证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝180×＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
三．正方形的判定与性质
19．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∵CE＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝．
20．解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；
（2）∵BD＝4，BE＝3，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝×10×4＝20．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴四边形MANP是矩形，
∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM＝PN，
∴四边形MANP是正方形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∵∠EPB＝90°，
∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，
∴∠MPE＝∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
∵，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM＝BN．

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