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费米能级和费米面
费米能级和费米面
1、计算能态密度
定义：能态密度
其中：
电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大。
能态密度：在E-E+dE之间单位能量间隔中的量子态数。 (代表可以放进电子的位置，至于电子在该位置出现的几率遵从Fermi-Dirac统计)
：电子波矢
周期性边界条件： ， ＝1, 2, 3
h 为整数
金属中晶胞的总数： N = N1 N2 N3
设N 是金属沿基矢 （ ＝1，2，3）方向的晶胞数，
倒易空间的格矢量：
h 为整数
每一个量子态在 空间中所占的体积为：
在 空间中，波矢 的分布密度为
推导费米能级和费米面
2、计算T=0 K时的费米能级以及费米面
系统的自由电子总数为
在E-E+dE中的电子数为：
T=0时，电子的分布函数为
f(E) =
{
1 E EF0
0 E > EF0
E
EF0
0
1
f(E)
T＝0
推导费米能级和费米面
2、计算T=0 K时的费米能级以及费米面
系统的自由电子总数
T＝0
—— 自由电子密度
金属：n：1022 ~ 1023 cm－3
EF0 ~ 几个eV
Fermi 温度：
2、计算T大于0 K时的费米能级以及费米面
（1）定性了解f(E)的特点
能量在E-E+dE之间的电子数为：
—— Fermi-Dirac分布函数
：电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况
下，系统增加一个电子所需的自由能。
当E= 时，f( )=1/2 ，代表填充概率为1/2的能态。
2、计算T大于0 K时的费米能级以及费米面
（1）定性了解f(E)的特点
f(E)迅速趋于零
当E- >几个kBT时，exp{(E- )/ kBT} >>1 ，
Fermi-Dirac分布过渡到经典的Boltzmann分布
0.5
T>0
m
E
0
1.0
f
(E)
0
m
E
N(E)
E- >几个kBT的能态基本上是没有电子占据的空态
推导费米能级和费米面
2、计算T大于0 K时的费米能级以及费米面
（2）利用Sommerfeld展开求解费米能级
推导需要掌握，但是，在2.3节中，待会努力记笔记。
三、 Sommerfeld自由电子理论的应用
1. 导电率
0
kx
ky

kF
Ⅰ
Ⅱ
只有在费米面附近未被抵消部分的电子才对传导电流有贡献。
这部分电子对电流的贡献为
这部分电子所占的分数为
三、 Sommerfeld自由电子理论的应用
2. 热容量
Ce
U
U=N
当 T > 0时，只有在费米面附近几个kBT的电子受热激发，
对电子热容量的贡献主要来自费米面附近厚度~kBT的一层电子。
在 E-EF kBT中的电子数为
三、 Sommerfeld自由电子理论的应用
2. 热容量
Ce
U
U=N
三、 Sommerfeld自由电子理论的应用
3. Pauli顺磁
所以，产生的总磁矩为

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