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晶体内部原子实与电子的运动——波动性与准粒子性
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晶体内部原子实与电子的运动——波动性与准粒子性
外 层 电 子 原 子 实 备 注
波 自由电子（索未菲模型） 布洛赫电子（能带论） 格 波 为方便对波的描述, 引入倒格子空间, 用k表征波的状态.
平移对称性 无, 平底势阱中的平面波 功函数 各向同性 布洛赫波（x与k的周期性） 能带, 禁带 空穴. 填充情况: 价带, 导带. 各向异性, (能带重迭) 简单格子: 声学支, max 或 min, 复式格子: 光学支, max 和 min 格波数. （ max ～1014, 红外） 各向异性 能带论是一种理论方法, 对系统作充分的近似后，即把多体问题简化为单电子问题. 可解方程
布里渊区边界 无 强烈布啦格反射 强烈布啦格反射 倒格子空间引入所带来的方便之一.
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晶体内部原子实与电子的运动——波动性与准粒子性
周期性边界条件 状态分立 态密度 状态分立 态密度 状态分立 态密度 保证了有限晶体边界的平移对称性
准粒子 自由粒子, 能量: E=p2/2m 动量: 费米子, 费米分布; Pauli原理 费米面, 费米能, 费米能级, 费米速度 声子: 集体运动的元激发. 能量: ; 动量: . 群速: 玻色子: 玻色分布. 某一振动模式 的振动能量: 考虑成准粒子后, 波的运动状态及相互作用问题可方便地用准经典运动的图象加以解决: 相互作用可看成粒子间的相互碰撞, 遵从动量守恒, 能量守恒.
能量:
晶体动量:
准经典速度:
有效质量:
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晶体内部原子实与电子的运动——波动性与准粒子性
周期性边界条件 状态分立 态密度 状态分立 态密度 状态分立 态密度 保证了有限晶体边界的平移对称性
准粒子 自由粒子, 能量: E=p2/2m 动量: 费米子, 费米分布; Pauli原理 费米面, 费米能, 费米能级, 费米速度 声子: 集体运动的元激发. 能量: ; 动量: . 群速: 玻色子: 玻色分布. 某一振动模式 的振动能量: 考虑成准粒子后, 波的运动状态及相互作用问题可方便地用准经典运动的图象加以解决: 相互作用可看成粒子间的相互碰撞, 遵从动量守恒, 能量守恒.
能量:
晶体动量:
准经典速度:
有效质量:
解决主要问题 电子比热, 接触电势, 热电子发射. 金属, 半导体, 绝缘体的能带论解释; 有效质量的能带论解释; 正电荷载流子的解释 晶格比热; 晶格热导; 热膨胀, 光散射,
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例题：.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？
解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
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例题：.金属自由电子论在空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？
解：金属自由电子论在空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。
例题：.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？
解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
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例题： 已知某简立方晶体的晶格常数为a，其价电子能带可表示成：
a) 如果已测得该晶体价带顶的电子有效质量 ，试求能带表达式中的参数A。
b) 试求该晶体的价电子能带宽度。
c) 试求该晶体在简约布里渊区中心点处的电子平均速度。
如果在x方向上施加外场 　，试求简约布里渊区中心点处电子的平均加速度。
e)　在布里渊区中心附近价带电子的状态密度。
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解答.
1、由题给出的价电子能带色散关系可知价带顶处在　　　　　处，价带顶处的电子有效质量可表示成：
所以价带顶电子的有效质量为一标量　　　　。而题中给出　　　　，由此可得　　　　　。
2、价电子的能带宽度　　　　　　　　　。
3、简约布里渊区中心点（　　　　　　　）处的电子平均速度：
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4、简约布里渊区中心点处的电子平均加速度
　　　　　这里　表示沿　方向的单位矢量。
　　　　5、在布里渊区中心点附近，把　　用泰勒级数展开：
在布里渊区中心点附近，等能面可近似看成为球面。在　　空间中能量分布为　　及　　　　的两个等能面层之间的体积为　　　　　，按周期性边界条件，单位　　空间中的电子状态数为　　　　因此能量在　　及　　　　间隔内的电子状态数为：
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根据　　　的色散关系，可得：
　　由此可得单位体积、单位能量间隔中的电子状态密度：
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原子为单价的。
（1）画出第一、二布里渊区；
（2）计算自由电子费密半径；
（3）画出费密面在第一、二布里渊区的形状。
例题：
　　二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数为
解答：倒格子原胞基矢为
选定一倒格点为原点，原点最近邻倒格矢有4个，它们是
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这4个倒格矢的中垂线与第一布里渊区边界围成的区间即是第二布里渊区。
这4个倒格矢的中垂面围成的区间是第一布里渊区。原点的次近邻倒格矢有4个，它们是
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（2）在绝对零度时，二维金属中导电电子若看成自由电子，电子的能量为
能量在
区间内的电子占据
波矢空间dk的范围，在此范围内的波矢数目为
能量在
区间内的量子态数目为
能量在
区间内的量子态数目为
波矢密度
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能态密度
在绝对零度时，费密能级以下的量子态全被电子占据，所以有
其中n是金属中导电电子的密度，令
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得到电子费密半径
原胞面积
解答：
　　德拜模型主要特点是：把布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，即把格波看作是弹性波，并且还假设纵的和横的弹性波的波速相等。波速为v的格波的色散关系是　
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例题
　　对二维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。　
在二维空间内，格波的等频线是一个个圆周，在　　　　　　　区间内波速为v的格波的数目为
式中S是二维晶格的总面积。由此可得波速为v的格波的模式密度
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考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密度为
其中，　　是纵波速度，　　是横波速度，格波的振动能
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晶格的热容量
积分限由下式确定
N为原子个数，作变量变换：
由此得到
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当温度较高时，
晶格的热容量
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当温度较低时，　　　　　　　　　　积分　

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