资源简介 专题3:函数的切线问题应用导数的几何意义探究函数的切线问题高考考查的热点,常见题型有求切线方程、探究切线的条数、由切线方程或切线方程的条数求参变量的值或范围、公切线问题,公切线问题是2022年高考的新题型之一.1.切线的定义:在曲线的某点A附近取点B,并使B沿曲线不断接近A,这样直线AB的极限位置就是曲线在点A处的切线.2.函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).3.求曲线切线方程的一般步骤:(1)求出在处的导数,即在点处的切线斜率(当曲线在处的切线与轴平行时,在处导数不存在,切线方程为);(2)由点斜式求得切线方程.4.对于两个(或两个以上)函数的两条切线重合时,称该切线为两个(或两个以上)函数的公切线即:对于函数和,若直线既与曲线相切,也与曲线相切.则称直线为函数和的公切线.函数公切线问题,一般最后转化为方程的解的个数问题,然后转化为函数的零点个数问题,因此解决函数公切线问题,充分应用“转化与化归”的思想和“函数与方程”的思想;公切线问题的实质是导数几何意义的综合应用,将曲线间的位置关系转化为函数的单调性、凹凸性、极(最)值、零点等,然后通过运算求解或推理论证而解决问题;解决公切线问题至少有三种思维切入方式:①利用两切线重合;②构造函数,转化为函数的最值;③凹凸反转,利用切不等式放缩.题设情境是两常系数函数公式条数的探究及求公切线方程,因此分别设函数的切点坐标,求得相应的切线方程,利用公式的几何特征即两函数的切线为同一直线,因此联列方程组消元后得到关于其中一个切点模坐标的方程,然后应用导数和零点定理讨论方程解的个数,求方程特殊根相应的切线方程.例1(2022·浙江省温州市期末)已知函数,.则函数与的图象是存在 公切线,其中一条公切线的方程为 .【思路点拨】由函数与的图象存在公切线,设公切线与函数、上的切点分别为,,由导数的几何意义分别求得切线的方程,由公切线的意义及两直线重合的条件列方程组,消元后将问题转化为有解,构造函数,(),根据导数研究函数的单调性,可判断函数在上有两个零点,函数与的图象存在两条公切线,结合,,可得其中一条公切线的方程.练1(湖北省武汉市第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考)已知曲线和.若直线与曲线都相切,且与曲线相切于点,则的横坐标为___________.(注:是自然对数的底数)练2(浙江省名校协作体2022-2023学年高三下学期开学联考)已知函数.(1)证明:恰有两个零点,且;(2)设是的一个零点,证明:是曲线和曲线的公切线.题设情境是讨论三次多项式型函数单调性和极值,已知函数切线条数求参变量的取值范国.第(1)问应用导数研究函数单调性和极值的基本方法,通过分类与整合思想求解;第(2)应用导数的几何意义求得过点P的切线方程,应用参变分离方法和数形结合思想,探究存在三条切线的充分条件,从而求得实数的取值范围.例2(吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期摸底考试)已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若函数满足,且过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.【思路点拨】第(1)问由题设求得,由可知得或两个根,然后与1的大小关系分类讨论函数的单调性,便可得到函数的极值;第(2)问首先由求出参数的值,从而可求得过点的切线方程,由切线过点得,构造新函数,应用导数研究函数的性质,借助函数的图象推导曲线有三条切线时,求实数的取值范围.练3(湖北省武汉市武昌区2023届高三上学期质量检测)当时,过点均可以作曲线的两条切线,则b的取值范围是( )A. B. C. D.练4. (2022·河南校考阶段练习) 若函数与函数的图象存在公切线,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.练5(天津市咸水沽第一中学2021-2022学年高三上学期第二次月考)已知函数.(1)若,求函数的极小值点;(2)当时,讨论函数的图象与函数的图象公共点的个数,并证明你的结论.题设情境是讨论含参变量函数的单调性,证明常系数不等式和与函数零点相关的不等式.第(1)问应用导数研究函数单调性的基本方法,通过分类与整合思想求解;第(2)问等价变形不等式,应用数学抽象构造函数,应用导数研究函数最值的基本方法求函数最值而证明不等式;第(3)小问借助研究问题的整体性意识,由第(2)问求解启示,应用切线放缩技巧证明,即利用函数在某点处的切线位于函数下方,从而直线与函数的交点之间的距离小于直线与两切线的交点之间的距离.例3(湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考)已知函数,其中.(1)求函数的单调区间;(2)当时,①证明:;②方程有两个实根,且,求证:.【思路点拨】第(1)问由函数,求得,应用导数正负取值与函数单调性的关系,即可求解函数的单调区间;第(2)问①证明不等式恒成立,通过构造函数,求得应用导数与函数最值的关系,求得函数的最小值即可证明;②根据函数的单调性及极值点,数形结合判断方程有两个根的情况的取值范围及两根的取值范围,联立直线与,求解交点横坐标,应用“切线夹”的技巧得,运用转化思想将证明不等式,转化证明不等式,构造函数,应用导数求解函数的最值即可证明.练6(2022·安徽省合肥市模拟)已知函数,函数的最大值为.求的值;求证:与的一条公切线过原点;.练7(四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上期诊断模拟考试) 已知函数,(其中是自然对数的底数)(1)试讨论函数的零点个数;(2)当时,设函数的两个极值点为、且,求证:.1.(江苏省南通市启东市吕四中学2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题)过定点作曲线的切线,恰有2条,则实数的取值范围是______.2.(安徽省名校联盟2023届高三下学期开学模拟考试数学试题)已知曲线:,:,若恰好存在两条直线直线、与、都相切,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.3.(天津南开中学2023届高三上学期统练数学试题)若函数与函数有公切线,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.4.(2022年黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校数学测试)设直线,分别是函数,图象上点,处的切线 ,且与垂直相交于点,,分别与轴相交于点A,,则的面积的取值范围是( )A. B. C. D.5.(广西钦州市第四中学2022-2023学年上学期模拟考试数学试题)函数,.(1)讨论的单调性;(2)当时,设,与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,求实数的最大值.6.(安徽省滁州市定远县育才学校2022年测试卷数学试题)已知函数,,其中.(1)若曲线在点,处的切线与曲线在点,处的切线平行,证明:;(2)证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.7.(湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高三上学期月考数学试题)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,直线与曲线和曲线都相切,切点分别为,,求证:.8.(湖北省武汉市第一中学2022-2023学年高三上学期月考数学试题)已知函数.()在处的切线l方程为.(1)求a,b,并证明函数的图象总在切线l的上方(除切点外);(2)若方程有两个实数根,.且.证明:.答案解析【专题探究】例1【解析】由题设函数与的图象存在公切线,设公切线与函数、上的切点分别为,,因为,,所以切线的方程分别为,,即,,由题意可得则,可知,将代入可得,函数与的图象存在公切线,则有解,设,,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,因为,,,所以函数在上有两个零点,则函数与的图象存在两条公切线,因为,代入,可得其中一条公切线的方程为. 练1【解析】依题设直线与曲线的切点为直线与曲线的切点为因为又;两切线重合则有:由因为函数在上递增,所以,代入得因为所以(舍)故的横坐标为练2【解析】(1)函数,定义域为;,,在,上单调递增;因为,所以在上存在唯一零点,即;所以,且;所以在上有唯一零点.所以恰有两个零点且;(2)因为为的零点,则;由,在处;所以曲线在处的切线为;由化简得切线为:;当曲线切线斜率为时,即,则;所以切点为;则过切点曲线的切线为;由,切线的方程化简为:;所以和相同;故是曲线和曲线的公切线;例2【解析】(1),令得或,①若,即,则,在上单调递增,无极值;②若,即,则当或时,;当时,,故在和单调递增,在单调递减,极大值为,极小值为;③若,即,则当或时,;当时,,在和单调递增,在单调递减,极大值为,极小值为,综上可知,当时,的单调递增区间为,无单调递减区间,无极值;当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为,极大值为,极小值为;当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为,极大值为,极小值为.(2)由,,可得,所以,,设曲线与过点的切线相切于点,则切线的斜率为,所以切线方程为,因为点在切线上,所以,即,设,过点可作曲线的三条切线,即与的图像有三个交点,因为,令,解得或,所以当或时,;当时,,在和上单调递减,在上单调递增,的极小值为,极大值为,则的大致图像如下:从而由与的图像有三个交点,可得,所以实数的取值范围是.练3【解析】设过点的切线与相切于,则有,消去n得:.因为过点均可以作曲线的两条切线,所以关于m的方程有两解.即有两解.令.只需与有两个交点.对于,则.令,解得:;令,解得:.所以在上单调递减,在单调递增.作出的草图如图所示:要使与有两个交点,只需.记,.令,解得;令,解得;所以在上单调递增,在单调递增.所以的最大值为,所以.故选C.练4【解析】由题意,设的切点为,注意到函数的定义域为,又因为函数的导数为,所以切线为:,即,设的切点为,因为函数的导数,,故切线为:,即,,因为函数与函数有公切线,所以且有解,消去得:,由得,要求实数的取值范围,即求的取值范围,令,,对函数求导,化简整理得:,,令,,易知 在上单调递增,又,所以当时,有,即得,当时,有,即得,从而函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,于是当时,在处取得极小值,也是最小值,为,于是函数在区间上的值域为故实数的取值范围是.故选.练5【解析】(1)当时,,所以,令,得,当时,,当时,,所以是函数的极小值点;(2)当时,令,则,当时,时,,时,,所以当时,取得极小值,且,,当,即,函数的图象与函数的图象无公共点;当,即时,函数的图象与函数的图象有1个公共点;当,即时,函数的图象与函数的图象有2个公共点;当,即,函数的图象与函数的图象有1个公共点;当,即时,或时,,时,,所以当时,取得极大值,当时,取得极小值,且,,因为恒成立,所以函数的图象与函数的图象只有1个公共点;综上: 当时,函数的图象与函数的图象无公共点;当或 或时,的图象与函数的图象只有1个公共点;当时,函数的图象与函数的图象有2个公共点.例3【解析】(1)由已知函数的定义域为,且,所以当时,此时,函数单调递减区间为,所以当时,此时,函数单调递增区间为,所以函数单调递减区间为,单调递增区间为.(2)当时,①要证不等式成立,即证明成立.即证明成立.令当时,此时,当时,此时,所以在上单调递减,在上单调递增所以最小值为,恒成立,即恒成立得证.②由①得恒成立,即直线始终在曲线下方且有唯一切点,又,故,所以在点处的切线方程为,令,则所以当时,此时,函数单调递减区间为,所以当时,此时,函数单调递减区间为,所以,即,即直线始终在曲线下方且有唯一切点;设与的图象与交点的横坐标分别为,则,,所以,即.练6【解析】显然,,由得,若,当时,,单调递减当时,,单调递增.没有最大值,不符合题意.若,当时,,单调递增当时,,单调递减.有最大值,故.由,得,设切点坐标为,切线为,即过原点,所以,故,故切线方程为由知,设切点坐标为,切线为由切线过原点,得,故切线方程为所以与有一条公切线过原点.由知要证,即证,即且等号不同时成立令,,,当时,,单调递减当时,,单调递增.所以,所以,当且仅当时取等号,令,,所以.所以,当时,,单调递减当时,,单调递增.故G,所以,当且仅当时取等号.综上,. 练7【解析】(1)由可得,令,其中,则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数,,令可得,列表如下:减 极小值 增如下图所示:当时,函数无零点;当时,函数只有一个零点;当时,函数有两个零点.(2),其中,所以,,由已知可得,上述两个等式作差得,要证,即证,因为,设函数的图象交轴的正半轴于点,则,因为函数在上单调递增,,,,设函数的图象在处的切线交直线于点,函数的图象在处的切线交直线于点,因为,所以,函数的图象在处的切线方程为,联立可得,即点,构造函数,其中,则,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,所以,,所以,对任意的,,当且仅当时等号成立,由图可知,则,所以,,因为,可得,函数在处的切线方程为,联立,解得,即点,因为,所以,,构造函数,其中,则,,当时,,此时函数单调递减,当时, ,此时函数单调递增,则,所以,对任意的,,当且仅当时,等号成立,所以,,可得,因此,,故原不等式成立.【专题训练】1.【解析】由,若切点为,则,∴切线方程为,又在切线上,∴,即在上有两个不同解,令,即原问题转化为与有两个交点,而,①当时,,递增,且,②当时,,递增;当时,,递减;∴,又,时且,∴要使在上有两个不同解,即.2.【解析】设直线,,设与、的切点坐标分别为、,则有,可得,故,整理得:,同理可得,当直线与、都相切时有:,综上所述,只需有两解,令,则,故当时,,当时,,所以在上递增,在递减,故,所以只需满足即可.故选C.3.【解析】设公切线与函数切于点,,切线的斜率为,则切线方程为,即,设公切线与函数切于点,,切线的斜率为,则切线方程为,即,所以有,因为,所以,可得,,即,由可得:,所以,令,则,,设,则,所以在上为减函数,则,所以,所以实数的取值范围是,故选B.4.【解析】设,当时,,;当时,,.∴的斜率为,,的斜率为,,由与垂直知,即,直线的方程为,即,则点,直线的方程为,即,由得,则点,所以,联立直线方程,消去得点横坐标,所以的面积,,因为对勾函数在是单调递减的,取值范围为,故,即.故选:A.5. 【解析】(1),则,当时,,所以在R上单调递增;当时,令或,,解得,所以在上单调递增,上单调递减,上单调递增;当时,令或,,解得,所以在上单调递增,,单调递减,上单调递增;综上所述:当时,在R上单调递增;当时,在,上单调递增,,上单调递减,,上单调递增;当时,在,上单调递增,,上单调递减,,上单调递增.(2),因为与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,设公共点为,所以,则,且,解得,又因为,则,令,当时,;当时,,故在上单调递增,上单调递减,所以,故实数m的最大值为.6.【解析】(1)证明:由,可得曲线在点处的切线的斜率为.由,可得曲线在点处的切线的斜率为.这两条切线平行,故有 =,即,两边取以为底数的对数,得,;(2)曲线在点处的切线,曲线在点处的切线.要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在使得与重合,即只需证明当时,方程组由①得,代入②得:,③因此,只需证明当时,关于的方程③存在实数解.设函数,即要证明当时,函数存在零点.,可知时,;时,单调递减,又,,故存在唯一的,且,使得,即.由此可得,在上单调递增,在上单调递减,在处取得极大值.又,故.故.下面证明存在实数t,使得,因为,当时,有.存在实数t,使得.因此,当时,存在,使得.当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.7.【解析】(1)定义域为,因为,若,则,所以在单调递增,若,则当时,,当时,,所以在单调递减,在单调递增.(2)证法一:对于曲线,,直线的方程为,即,即①.对于曲线,因为,所以,所以,直线的方程为,即,即②.因为①与②表示同一条直线,所以③,且④,④÷③,得,所以.令,,由(1)知,在单调递增又∴有唯一零点,且当时,,,当时,,,所以在上递增,在上递减,所以,又,即,所以,所以,所以,又,所以.证法二:因为,所以直线的斜率为,因为,所以,所以,所以直线的斜率为,所以,所以,又因为,所以,所以,令,所以,所以在单调递增,又因为,,所以存在,使得,且当时,,当时,,所以在单调递减,在单调递增,因为,所以在递减,所以当时,,所以在内无零点,因为是的零点且,所以.8. 【解析】(1)将代入切线方程,有,所以,所以,又,所以,若,则,与矛盾,故,.∴,,,设在处的切线方程为,令,即,所以,当时,,当时,设,,故函数在上单调递增,又,所以当时,,当时,,综合得函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,故,即函数的图象总在切线的上方(除切点外).(2)由(1)知,设的根为,则,又函数单调递减,故,故,设在处的切线方程为,因为,,所以,所以.令,,当时,,当时,设,则,故函数在上单调递增,又,所以当时,,当时,,综合得函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,即.设的根为,则,又函数单调递增,故,故,又,所以.2 展开更多...... 收起↑ 资源预览