资源简介

(共39张PPT)
7.1.2 平面直角坐标系
第七章 平面直角坐标系
一、【单元目标】
通过实际生活中座位位置的确定方法和在平面表示一个点的位置，能体会到有序数对，以及平面直角坐标系上的点与有序数对之间的一一对应关系，进一步发展直观想象的核心素养和数形结合的思想。
（1）通过对身边具体实例的分析讨论，自发的得出可以用有序数对表示物体的位置这一基本事实，发展学生的分析问题和解决问题的能力，让学生体验数学源于生活，服务于生活；
（2）通过在老师的引导下说出平面直角坐标系的有关概念，并且可以说出它的由来；发展学生探究的意识，激发学生学习数学的兴趣；
（3）通过独立绘制直角坐标系；并且在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标，掌握数形结合，类比，归纳的思想方法，获得解决问题的成功体验；
(4)通过观察平面直角坐标系和在直角坐标系描点，能发现平面直角坐标系有四个象限以及点到坐标轴距离和横纵坐标的关系，发展学生观察能力和思考能力。
(5)通过分析、观察点的坐标与图形的关系，能发现平面直角坐标系四个象限和坐标轴点的坐标特征，获得探究问题的方法，发展学生的探索能力。
1．平面直角坐标系中四个象限的点和坐标轴上点对应坐标的符号特征。
2．会利用平面直角坐标系点的特征解决问题。
重难点
二、【单元知识框架】
导入新课
情境引入
神舟九号、七号、六号和五号的发射和回收都那么成功 ，圆了几代中国人的梦想，让全中国人为之骄傲和自豪!但是你们知道我们的科学家是怎样迅速地找到返回舱着陆的位置的吗？这全依赖于GPS——卫星全球定位系统”。大家一定觉得很神奇吧！学习了今天的内容，你就会明白其中的奥妙.
笛卡儿发明直角坐标系的故事
数学家笛卡儿潜心研究能否用代数中的计算来代替几何的证明，有一天，在梦境中他用钥匙打开了数学宫殿的大门，遍地的珠宝光彩夺目.他看见窗框角上有一只蜘蛛正惊忙着织网，顺着吐出的丝在空中飘动.一个念头闪过脑际：眼前这一条条的经线和纬线不正是全力研究的直线和曲线吗？惊醒后，灵感的阶段终于来了，那只蜘蛛的位置不正是可以由它到窗框两边的距离来确定吗？蜘蛛在爬行过程中结下的网不正是说明直线和曲线可以由点的运动而生吗？由此，笛卡儿发明了直角坐标系，解析几何诞生了.
笛卡尔
问题1 如图，数轴上的点A、B表示的数是什么？
表示数字4的点是哪个点？
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
A
B
C
由问题1你发现数轴上的点与实数是什么关系？
一一对应
①数轴上的每个点都对应一个实数(这个实数叫作这个
点在数轴上的坐标)；
②反过来,知道一个数,这个数在数轴上的位置就确定了.
A: -3; B:2.
点C
讲授新课
平面直角坐标系
A
B
C
D
问题2 合作与交流：
类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置呢？
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
O
y
在平面内画两条互相垂直的数轴,构成平面直角坐标系.
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
竖直的叫y轴或纵轴；
y轴取向上为正方向
水平的叫x轴或横轴；
x轴取向右为正方向
x轴与y轴的交点叫平面直角坐标系的原点.
一、平面直角坐标系的概念
1. 平面直角坐标系：
特别解读
●平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直；
●一般情况下，两坐标轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同.
(1)定义：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
(2)相关概念：水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
如图7.1-1：
辨识平面直角坐标系
的“三要素”：
1. 两条数轴；
2. 共原点；
3. 互相垂直.
注意：一般取向上、向右为正方向.
2
-1
A
B
C
D
1
5
4
3
-4
-3
-2
-1
O
6
4
3
2
1
5
-2
-3
-4
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了.
x
y
例如，由点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标3，垂足N在y轴上的坐标是4，
(3,4)
我们说A点的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对
(3,4)就叫做A点的坐标，记作A(3,4)
M
N
(-3,-4)
C
D
2
1
5
4
3
-4
-3
-2
-1
O
6
4
3
2
1
-1
5
-2
-3
-4
思考：
原点O的坐标是什么？x轴和y轴上点的坐标有什么特点？
x
y
(0,2)
(1,0)
(0,-3)
(-3,0)
E
F
(0,0)
原点O的坐标为(0,0)
x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0.
知识点
点的坐标
2
1. 定义：
若平面直角坐标系中有一点A， 过点A 作横轴的垂线，垂足在横轴上表示的数为a， 过点A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为b，则有序实数对(a，b)叫做点A 的坐标，其中a 叫横坐标，b 叫纵坐标.
特别提醒
●在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来；
●点的坐标是有序实数对，(a，b) 和(b，a)(a ≠ b) 虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置就不同.
2. 平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系：
(1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应.
(2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应.
问题3 ：如图，在平面直角坐标系中，点B，C，D的坐标分别是什么？点B，C，D到 x轴、y轴的距离分别是什么？
破解方法：任意点p（x，y）到x轴距离等于│y│；到y轴的距离等于│x│。
（-2,3）
（4，-3）
（-1，-4）
知识点
平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
3
1. 象限的划分：
特别提醒
●象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 各象限的名称是一种规定，不能意更改.
●坐标原点既在x轴上，又在y 轴上， 它是两条坐标轴唯一的公共点.
如图7.1-5，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限 .
问题4 ：例1 在平面直角坐标系中描出下列各点：
A(4,5) , B(-2,3), C(-4,-1), D(2.5,-2), E(0,-4).
A
解：如图，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A.
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
典例精析
A
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
B
C
D
E
类似地,在图中描出 B(-2,3), C(-4,-1),D(2.5,-2), E(0,-4).
观察如图坐标系,填写各象限内的点的坐标的特征：
点的位置 横坐标的符号 纵坐标的
符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
+
+
+
-
-
-
+
-
A(4,5)
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
B
C
D
E
2.直角坐标系中坐标的特征
交流:不看平面直角坐标系,你能迅速说出点A(4,5) , B(-2,3),
C(-4,-1), D(2.5,-2)所在的象限吗？点E(0,-4)在哪个坐标轴上？
(-2,3)
(-4,-1)
(2.5,-2)
(0,-4)
总结：平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征：
点M(x，y)所处的位置 坐标特征
象限内的点 点M 在第一象限 M(正，正)
点M 在第二象限 M(负，正)
点M 在第三象限 M(负，负)
点M 在第四象限 M(正，负)
坐标轴 上的点 点M 在x 轴上 x轴上的点的纵坐标为0；
点M 在y 轴上 y轴上的点的横坐标为0.
问题4 ：例2 已知点P 的坐标为(a+3，b－1).
(1)若点P 在x 轴上，则b= ________；
(2)若点P 在y 轴上，则a= ________ ；
(3)若点P 在第三象限，则a 的取值范围为________ ，b 的取值范围为________ .
(4)若点P 在第四象限，则a 的取值范围为 ________ ，b的取值范围为________ .
1
－3
a<－3
b<1
a>－3
b<1
解题秘方：紧扣x 轴、y 轴上及象限内点的坐标特征解答.
解：(1)∵点P 在x 轴上，∴ b－1=0，解得b=1.
(2) ∵点P 在y 轴上，∴ a+3=0，解得a=－3.
(3) ∵ 点P 在第三象限，∴ a+3<0，b－1<0，∴ a<－3，b<1.
(4) ∵ 点P 在第四象限，∴ a+3>0，b－1<0，∴ a>－3，b<1.
问题5 ：例3 长方形ABCD 的长AB=5，宽BC=3，请建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的顶点A，B，C，D 的坐标.
解题秘方：建立适当的平面直角坐标系，然后根据长方形的长AB=5，宽BC=3，写出四个顶点的坐标.
方法点拨：几何图形中建立适当的平面直角坐标系的方法(1)使图形中尽量多的点在坐标轴上；(2)以某些特殊线段所在的直线为x 轴或y 轴；(3)若图形被一条直线分得的两部分形状、大小相同，则可以将此直线作为x 轴或y 轴；(4)以某已知点为原点，使它的坐标为(0，0).
解：建立平面直角坐标系如图7.1-7 所示(建立坐标系方法不唯一)，A (0，3) ，B (5，3) ，C (5，0) ，D (0，0).
已知点P的横坐标是-3,且到x轴的距离为5,则点P的坐标是 (　　)
A.(-3,-5) 　　　B.(-3,5)或(-3,-5)
C.(-3,5) 　　　 D.(5,-3)或(-5,-3)
练习1
B
若|a|=5,b =16,且点M(a,b)在第二象限,则点M的坐标是 (　　)
A.(5,4) B.(-5,4)
C.(-5,-4) D.(5,-4)
练习2
B
已知点P(a-2,2a+8),分别根据下列条件求出点P的坐标.(1)点P在y轴上;(2)点P到x轴、y轴的距离相等.
练习3
解:(1)∵点P(a-2,2a+8)在y轴上,
∴a-2=0,解得a=2,∴2a+8=12,
∴点P的坐标为(0,12).
(2)∵点P到x轴、y轴的距离相等,
∴a-2=2a+8或a-2+2a+8=0,解得a=-10或a=-2.
当a=-10时,a-2=2a+8=-12,
∴点P的坐标为(-12,-12);
当a=-2时,a-2=-4,2a+8=4,
∴点P的坐标为(-4,4).
综上所述,点P的坐标为(-12,-12)或(-4,4).
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点:A(1,2),B(-3,3),C(1,3),
D(-1,3),E(1,-4),F(3,3)(小方格的边长均为1).由描出的点你发现了什么规律
(2)应用:已知P(m,-2),Q(3,m-1),且PQ∥x轴,求线段PQ的长.
练习4
(2)∵PQ∥x轴,∴m-1=-2,∴m=-1,
∴P(-1,-2),Q(3,-2),
∴PQ=|-1-3|=4,即线段PQ的长为4.
解:(1)如图所示。
发现的规律:纵坐标相同的点在平行于x轴的直线上,横坐标相同的点在平行于y轴的直线上。
象限点、x轴及y轴上点的坐标的特征：
知识点：
课堂小结
第一象限：(＋，＋) 第二象限：(－，＋)
第三象限：(－，－) 第四象限：(＋，－)
x轴上的点的纵坐标为0，表示为(x，0)
y轴上的点的横坐标为0，表示为(0，y)
再见

展开更多......

收起↑