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必修第四册 11.1 空间几何体
一、选择题（共10小题）
1. 已知圆台和圆锥的母线长相等，圆锥底面半径等于圆台上底面半径，且圆台侧面积 圆锥侧面积 ，则圆台的上、下底面半径之比是
A. B. C. D.
2. 若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于
A. B. C. D.
3. 下列说法：
①圆柱的任意两条母线相互平行；
②夹在圆柱的两个平行截面之间的几何体是圆柱体；
③圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；
④圆柱的侧面是曲面．
其中错误的说法有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 下列三个命题，其中正确的是
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 如图所示为一个水平放置的正方形 ，它在直角坐标系 中，点 的坐标为 ，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 到 轴的距离为
A. B. C. D.
6. 已知圆柱轴截面的对角线为定值，要使圆柱的侧面积最大，轴截面对角线与底面所成的角应为
A. B. C. D.
7. 若圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为 的正方形 ，则圆柱侧面上从 到 的最短距离为
A. B. C. D.
8. 已知圆台的母线与下底面所成角为 ，则它的侧面展开图扇环的圆心角为
A. B. C. D.
9. 若一个三棱锥的底面是直角三角形，则它的三个侧面
A. 一定都不是直角三角形 B. 至多有一个是直角三角形
C. 至多有两个是直角三角形 D. 三个都可以是直角三角形
10. 已知点 ， 在半径为 的球 表面上运动，且 ，过 作相互垂直的平面 ，，若平面 ， 截球 所得的截面分别为圆 ，，则
A. 长度的最小值是 B. 的长度是定值
C. 圆 面积的最小值是 D. 圆 ， 的面积和是定值
二、填空题（共7小题）
11. 思考辨析 判断正误
棱锥的体积等于底面面积与高之积．
12. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆．制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有．一个长方体形状的纸盒中恰好放入 个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为 ，则一个麻团的体积为 ．
13. 一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是 ．
14. 一个圆柱的母线长为 ，底面半径为 ，则此圆柱的轴截面的面积为 ．
15. 设圆锥的高是 ，母线长是 ，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为 ．
16. 在正方体上任意选择 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 个顶点，这些几何体是 ．（写出所有正确结论的编号）
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
17. 如图所示，已知三棱柱 的所有棱长均为 ，且 ，则三棱锥 的体积为 ．
三、解答题（共7小题）
18. 正三棱柱 的底面边长是 ，过 的一个平面交侧棱 于 ，若 的长是 ，试求截面 的面积．
19. 四面体 中，，异面直线 与 所成角的大小为 ，过 ，， 的中点 ，， 作一截面，并求出该截面面积．
20. 由三条直线 ， 和 围成一个封闭的平面图形，求此平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的表面积．
21. 如图，在圆锥 中，圆锥的母线长为 ，求过圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值．
22. 解答下列问题：
（1）一个正三棱台的上、下底面边长分别是 和 ，侧面与底面成 角，求它的全面积；
（2）已知正三棱台两底面边长分别为 ，（），每个侧面均与底面成 角，求此三棱台的侧面积．
23. 已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 倍，它的轴截面的面积等于 ，母线与轴的夹角是 ，求该圆台的高与母线长．
24. 已知四面体的各面都是棱长为 的正三角形，求它外接球的体积．
答案
1. B
2. C
【解析】因为圆台的母线长为 ，
所以 ．
3. B
【解析】由圆柱母线的定义知，圆柱的任意两条母线相互平行，所以①正确；②中只有两个平行截面与底面平行时才正确，否则不正确，所以②错误；③中没有说明对称轴，所以③不正确④正确，故选 B .
4. A
【解析】对①，如图（1），当截面不平行于底面时棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．对②③如图（2）中 ， 交于一点，而 ， 交于另一点，此几何体不能还原成四棱锥，故不是棱台．
5. B
6. B
7. B
【解析】如图（1），
正方形 是圆柱的轴截面，且其边长为 ，设圆柱的底面圆半径为 ，则 ．所以底面圆的周长为 ．将圆柱沿母线 剪开后平放在一个平面内，则从 到 的最短距离即为图（2）中 的长．由于 ，，所以 ．
8. C
9. D
10. B
11.
12.
13.
14.
15.
【解析】因为圆锥的高是 ，母线长是 ，
所以底面半径 ，
设过圆锥顶点的平面 与圆锥底面交于 ，过底面中心 作 于 ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以截面 的面积 ．
16. ①③④⑤
【解析】如图：
①正确，如图四边形 为矩形；②错误，任意选择 个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形 为正方形，四边形 为矩形；③正确，如四面体 ；④正确，如四面体 ；⑤正确，如四面体 ；则正确的说法是①③④⑤．
17.
【解析】解法一：因为三棱柱 的所有棱长均为 ，
所以底面 为正三角形，面积 ，
又因为 ，，
所以三棱柱 的体积 ，
因为三棱锥 ，三棱锥 与三棱柱 等底等高，
所以 ，
由此可得三棱锥 的体积 ．
解法二：
18. 如图，取 的中点 ，连接 ，，
则 ，．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
所以截面 的面积是 ．
19. 因为 ， 为 ， 的中点，
所以 ，，
所以 ；
又因为 在平面 内，且 ，
所以 ；
同理可证，，
所以四边形 是平行四边形．
因为异面直线 与 成 ，
所以平行四边形 的一个内角为 ，
所以 ．
20. ．
21. 当轴截面的顶角 时，，最大值为 ；
当轴截面的顶角 时，，最大值为 ．
22. （1） ．
（2） ．
23. 如图所示，
设上底面半径为 ．
因为下底面周长是上底面周长的 倍，
所以下底面半径为 ．
在直角三角形 中，，
所以 ，．
因为轴截面面积为 ，
所以 ．
解得：．
所以 ，，即圆台的高与母线长分别是 ，．
24. 如图，
设 是四面体 的高，则外接球的球心 在 上．
设外接球半径为 ．
因为四面体的棱长为 ， 为正 的中心，
所以 ，，
在 中，，
即 ，
解得 ，
所以所求外接球的体积 ．
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