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晶体中电子的波函数和能量谱值
晶体中电子的波函数和能量谱值
多体问题 多电子问题 单电子问题
晶体是一个包含大量的原子核、内层电子和外层电子（价电子）的体系。通常把原子核和内层电子看成一个整体，称为离子心（或原子实）。电子之间、离子心之间、电子和离子心之间存在库仑相互作用。因而，实际晶体是一个多体系统.
绝热近似：电子的质量比原子核小的多，电子运动快，离子心整体运动慢。可把两者分开考虑。即假设离子心和价电子相互独立，二者之间不交换能量，因而称为绝热近似。
晶体中电子的波函数和能量谱值
多体问题 多电子问题 单电子问题
多电子近似：在绝热近似前提下，假设离子心固定在平衡位置，大量价电子在离子心势场中运动。将多体问题化为多电子问题。
单电子近似：把每个电子的运动单独考虑，认为电子在
离子心势场和其它所有电子的平均势场中
运动。这个势场与晶格具有相同的周期性,
称为周期性势场。
(VIP)
晶体中的电子在与晶格有相同周期性的周期性势场中运动
讨论晶体中的电子状态，也就是确定电子的波函数
和能量谱值.
晶体的一维单电子薛定谔方程:
其中V(x)是与晶格具有相同周期性的势函数，
是本征函数，E是能量本征值。
求解单电子的薛定谔方程。
晶体的三维单电子薛定谔方程：
每一个能带包含的能级数（或者说共有化状态数），与孤立原子能级的简并度有关。例如s能级没有简并（不计自旋），N个原子结合成晶体后，s能级分裂为N个十分靠近的能级，形成一个能带，这个能带中共有N个共有化状态。P能级是三度简并的，便分裂成3N个十分靠近的能级，形成的能带中共有3N个共有化状态。
实际的晶体，N是一个很大的数因此能级靠得很近，所以每一个能带中的能级可视为连续的，或称为“准连续”。
3.3
金刚石：以及锗（Ge），硅（Si）
碳原子有6个电子，1s2，2s2，2p2，4个外层电子为价电子，原子结合为晶体时，
内层电子态变化不大，对晶体性质影响不明显，则只考虑价电子状态的变化。
2s、2p能级构成sp3杂化轨道：由1个s态和3个p态组成。根据泡里不相容原理，考虑自旋，则2s能级有N个电子态，可容纳2N个电子；2p能级有3N个电子态，可容纳6N个电子。
3.3
6N
金刚石，以及锗（Ge），硅（Si） 具有相同的晶体结构：金刚石结构
碳原子有6个电子，1s2，2s2，2p2，4个外层电子为价电子，原子结合为晶体时，
内层电子态变化不大，对晶体性质影响不明显，则只考虑价电子状态的变化。
2s、2p能级构成sp3杂化轨道：由1个s态和3个p态组成。根据泡里不相容原理，考虑自旋，则2s能级有N个电子态，可容纳2N个电子；2p能级有3N个电子态，可容纳6N个电子。
金刚石结构价电子能带示意图
所以，许多实际晶体的能带不一定同孤立原子的某个能级相当，即不一定能区分s能级和p能级所过渡的能带。金刚石和Ge、Si，它们的原子都有4个价电子，2个s电子，2个p电子，组成晶体后，由于轨道杂化的结果，其价电子形成的能带如下图所示。
空带 导带
满带 价带
定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用，使能级分裂形成能带。
定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动，其能量不连续形成能带。
能带（energy band）包括允带和禁带。
允带（allowed band）：允许电子能量存在的能量范围。
禁带（forbidden band）：不允许电子能量存在的能量范围。
允带又分为空带、满带、导带、价带。
空带（empty band）：未被电子占据的允带。
满带（filled band）：允带中的能量状态（能级）均被电子占据。
导带（conduction band）：电子未占满的允带（有部分电子。）
价带（valence band）:被价电子占据的允带（低温下通常被价电子占满）。
总结：能带的特点

1：形成能带后，电子态数目保持不变，每个电子态不再属于个别原子，而是延展于整个晶体。
2：电子的能带结构由它们所在势场决定，因而与组成晶体的原子结构和晶体结构有关，同晶体中原子数目无关。当晶体中原子数目增加时，只增加每个能带中的电子态数，使能带中子能级的密集程度增加，对能带结构，如允带和禁带的宽度及相对位置无影响。
3：处于低能级的内壳层电子共有化运动弱，所以能级分裂小，能带较窄；处于高能级的外壳层电子共有化运动强，能级分裂大，因而能带较宽。
4：每个能带都是共有化电子可能的能量状态，称为允带；各允带之间有一定的能量间隙，电子能量不可能在这一能量间隙内，称之为禁带。
6：许多实际晶体的能带与孤立原子能级间并不是一一对应的。
5：每个允带包含的能级数一般等于孤立原子相应能级的简并度（不计自旋简并）× 组成晶体的原子数目。

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