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费米分布函数
费米分布函数
一、导出费米分布函数的条件（适用性）
⑴把半导体中的电子看作是近独立体系,即认为电子之间的相互作用很微弱.
⑵电子的运动是服从量子力学规律的,用量子态描述它们的运动状态.电子的能量是量子化的,即其中一个量子态被电子占据,不影响其他的量子态被电子占据.并且每一能级可以认为是双重简并的,这对应于自旋的两个容许值.
⑶在量子力学中,认为同一体系中的电子是全同的,不可分辨的。任意两个电子的交换，不引起新的微观状态。
⑷电子在状态中的分布,要受到泡利不相容原理的限制.
适合上述条件的量子统计,称为费米-狄拉克统计.
能带中的电子在能级上的分布，服从费米-狄拉克统计规律。
二、费米分布函数和费米能级
⒈费米-狄拉克统计分布：
热平衡时,能量为E的单电子态被电子占据的几率为
其中,F(E)被称为费米分布函数,它描述每个量子态被电子占据的几率随E的变化.K是波尔兹曼常数,T是绝对温度,EF是一个待定参数,具有能量的量纲,称为费米能级.
(4.10)
⒉ EF的确定
⑴. 在整个能量范围内状态被占据的数目等于实际存在的电子总数N。设能级能量为E的量子态有G(E)个,则有
或
EF是反映电子在各个能级中分布情况的参数.
与EF相关的因素:
①与表示量子态分布的函数G(E)有关; (内因)
②与电子总数N有关，（如掺杂）
③与温度T有关;
(外因)
对于具体的电子体系, 在一定温度下, 只要EF确定了, 电子在能级中的分布情况就完全确定了.
(2)由热力学统计理论
费米能级EF是半导体中大量电子构成的热力学系统的化学势.
代表系统的化学势,F是系统的自由能.
意义:热平衡时,系统每增加一个电子,引起的系统自由能的
变化,等于系统的化学势,即系统的费米能级.
处于热平衡状态的系统有统一的化学势，所以处于热平衡状态的电子系统,有统一的费米能级.
注:化学势
当温度T，压力p和所有其他组分 ni 都保持不变的情况下，增加1摩尔i物质时体系Gibbs自由能的增加量，就称为i 物质的化学势。
三、费米分布函数性质
⒈量子态：空着的，或被电子占据的。
能量为E的量子态未被电子占据(空着)的几率是：
费米分布函数的性质:
⑴随着能量E的增加,每个量子态被电子占据的几率
逐渐减小,而空着的几率
则逐渐增大.即电子优
当E等于EF时,有
先占据能量较低的能级.
被电子占据的几率与空着的几率相等
.
EF实际上是一个参考能级,低于EF的能级被电子占据的几率大于空着的几率;能量高于EF的量子态,被电子占据的几率则小于空着的几率.
1.0
(
)
E
f
-
1
0.5
0
图4.2 分布函数随
的变化
从图4.2可以看出,函数
和
相对于费米能级EF
是对称的.
⑵. E-EF>>kT时,
此时分布函数的形式同经典的波尔兹曼分布是一致的.对于能级比EF高很多的量子态,被电子占据的几率非常小,因此泡利不相容原理的限制显得就不重要了.
⑶. EF-E>>kT时,
上式给出的是能级比EF低很多的量子态,被空穴占据的几率.
因子
中无负号是因为上式中的E 表示电子的能级.
在电子能级图中,电子从低能级跳到高能级,相当于空穴从高能级跳到低能级,所以在越高的电子能级上空穴的能量越低.
空穴占据能量高的电子能级（也就是空穴能量低的能级）的几率大，因而，和Boltzman分布完全一致。
⑷当T=0K时,
当T>0K时,
例:
EF标志电子填充能级的水平
扩充：
引入无量纲的变数
和简约费米能级
再利用Nc的表达式，导带电子浓度为
其中
称为费米积分．（p102表4.5)
同理可得：价带空穴浓度
在非简并情况下，费米能级位于离开带边较远的禁带中，
即：
则：

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