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晶体中电子的波函数
晶体中电子的波函数
(VIP)布洛赫定理：在周期性势场中运动的电子，若势函数V(x)具有晶格的周期性，即： ，
则晶体中电子的波函数 具有如下形式：
其中，uk(x)为具有晶格周期性的函数，即：
布洛赫函数 (Bloch)
不是势函数
几点结论：
1、Bloch函数 是一个被调幅的平面波，振幅uk(x)变化周期与晶格周期相同。
2、电子在各原胞对应点上出现的几率相同，
3、上面结果说明，电子可以从晶胞中某一点自由地运动到其他晶胞的对应点上，这正是电子的共有化运动的体现。可以认为uk(x)描述的是单个原胞内的电子运动，而eikx描述的是电子在整个晶体内的运动。
而这两个波矢相差 ，恰好为倒格矢的整数倍，即：相差倒格矢整数倍的两个波矢k代表同一个状态。则在一个倒格矢 范围内的波矢k就可以表示晶体中所有的电子状态。
而这两个波矢相差 ，恰好为倒格矢的整数倍，即：相差倒格矢整数倍的两个波矢k代表同一个状态。则在一个倒格矢 范围内的波矢k就可以表示晶体中所有的电子状态。
通常取相对于原点对称的区域：
这个区域称为一维晶格的第一布里渊区
(Brillouin Zone)
这种性质来源于布洛赫函数的周期性。
第一布里渊区
第二布里渊区
第三布里渊区
一维情况：
晶体中的电子与自由电子的比较：
1、都可以用波矢量k描述电子能量取确定值的状态；
2、自由电子具有确定的动量 ；
晶体中的电子，k状态不具有确定的动量， ，具有与自由电子动量相似的性质，称为准动量。
3、自由电子的动量与k成正比，k的取值遍及整个k空间;
晶体中的电子，k值可限制在第一布里渊区。
对于有限的晶体，需考虑一定的边界条件。根据周期性边界条件，可以得出波矢k只能取分立的值：
对边长分别为Lx、Ly、Lz的长方形晶体，设其为立方格子，基矢为 a，则波矢k的三个分量 分别为：
因此，波矢k具有量子数的作用，描述晶体中电子共有化运动的量子状态。
（补充1式）
由（补充1式）可以证明：
每一个布里渊区中有N个k状态。
与每一个k值对应有一个能量状态（能级），由于k值是分立的，所以布里渊区中的能级是准连续的，
每一个能带中有N个能级。N为晶体的固体物理学原胞数。
晶体中电子的能量谱值
若得知晶体中势函数V(x)的具体表达式，就可求解薛定谔方程，得出电子的能量谱值。
实际晶体的V(x)往往很复杂，因此要用近似方法求解。
克龙尼克－潘纳(Kronig-Penney)提出了一个晶体势场的简单模型，以便确定晶体中的势函数V(x)。
(1). Kronig-Penney势场模型：图3.6
由周期排列的方形势阱和势垒组成。势阱宽：a；势垒宽：b；势垒高：V0；势函数周期：a＋b，可以反映周期势场的主要特点。
图3.6 Kronig-Penney势场
(2). 薛定谔方程的解：

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